孤子方程的達布變換及其精確解

王振輝，李世金

（河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南焦作454003）

且b、c滿足方程組

孤子方程的達布變換及其精確解

王振輝，李世金

（河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南焦作454003）

總結(jié)比對了多組孤子方程如KdV方程、MKdV方程、KP方程等的達布變換，并借助其平凡解，討論了若干孤子方程的精確解。

孤子方程；達布變換；精確解

達布變換最先是由19世紀(jì)末法國數(shù)學(xué)家Darboux在研究線性Sturm-Liouville問題時提出的。其基本思路是利用非線性偏微分方程的一個解及其對應(yīng)的特征方程的解，用代數(shù)算法微分運算來得出非線性偏微分方程的新解和特征方程的新解，再利用達布變換的迭代性質(zhì)，得到非線性偏微分方程的無數(shù)個新解。

1986年，中國科學(xué)院院士谷超豪等人將Dar?boux變換用矩陣形式表述，說明達布變換實際上就是帶譜參數(shù)的規(guī)范變換。可以利用純代數(shù)算法來構(gòu)造達布變換，并可以將達布變換推廣到兩個和多個空間變量的情形，極大地推廣了達布變換的應(yīng)用范圍。目前達布變換已經(jīng)成為孤子理論中的一個重要研究熱點［1-2］。

1 多組孤子方程的達布變換

1.1 KdV方程的達布變換KdV方程是關(guān)于φ的線性方程組

的可積條件，這里u和φ是關(guān)于x和t的函數(shù)。

設(shè)u(x)和φ(x，λ)是滿足方程（2）的兩個函數(shù)，對任意給定的常數(shù)λ0，令f(x)=φ(x，λ0)，即f是方程（1）當(dāng)λ=λ0時的一個解。

經(jīng)過計算可知，由

所定義的函數(shù)u′滿足與方程（1）具有相同形式的方程方程組（3）即為KdV方程的達布變換。

1.2 MKdV方程的達布變換MKdV方程

是關(guān)于二元列向量φ的線性方程組的可積條件，這里u和φ是關(guān)于x和t的函數(shù)。已知φ=

是方程組（6）的解，令ψ=φ1+iφ2，則ψ滿足方程

設(shè)u是MKdV方程的一個解，記方程（7）當(dāng)λ=λ0時的解f=f1+i f2，則可以推導(dǎo)出MKdV方程的另一個解變換（8）即可以作為MKdV方程的達布變換。

1.3 KP方程的達布變換

KP方程反映了二維水波的運動，最早是由Kadomtsev和Petviashvili提出的。

KP方程是關(guān)于φ的線性方程組的可積條件，其中u和φ是關(guān)于x、y和t的函數(shù)。

取h為方程（9）的一個解，設(shè)φ是方程組（10）的任一解，定義則φ′滿足方程組

其中，方程組（12）與（10）形式相同，僅僅是(u，φ)換成了(u′，φ′)，變換（13）即可以作為KP方程的達布變換。

1.4 Broer-Kaup（BK）系統(tǒng)問題的達布變換［3-5］

BK系統(tǒng)問題

是關(guān)于二元列向量φ的線性方程組的可積條件，這里的u和φ是關(guān)于x和t的函數(shù)。引入規(guī)范變換φˉ=Tφ，滿足方程

（15）的兩個基本解，令

經(jīng)過計算推導(dǎo)，可以給出達布變換

其中，a、b、c、d滿足方程組

且b、c滿足方程組

由式（16）可得

方程組（21）即為BK系統(tǒng)問題的達布變換。

1.5 Boussinesq方程的達布變換

Boussinesq方程

是關(guān)于φ的線性方程組的可積條件，其中，

經(jīng)過計算推導(dǎo)可知，Boussinesq方程的達布變換是

其中，f是方程組（23）當(dāng)λ=λ0時的一個解。

2 兩組孤子方程的精確解

下面分別從MKdV方程和BK系統(tǒng)問題的一個平凡解出發(fā)，利用變換（8）和（21），討論運用達布變換方法如何求孤子方程的精確解。

2.1 MKdV方程的精確解

取MKdV方程（5）的平凡解u=0作為出發(fā)點，取方程組（6）的基本解為

對常數(shù)λ1≠0及μ1=exp() 2α1，有

從而

其中，

利用達布變換（8）可以給出MKdV方程的單孤子解

相應(yīng)于u′，方程組（6）的新解為

如果將u′作為新的出發(fā)點，則可以利用φ′作新的達布陣，以得到MKdV方程的一系列的新解，推導(dǎo)過程與上面類似，這里直接給出MKdV方程的雙孤子解

其中vi=2λix-8λ3it+2αi(i=1，2)，λ2≠0為常數(shù)。

2.2 BK系統(tǒng)問題的精確解

取BK系統(tǒng)問題的平凡解u=0，v=1，代入

方程組（15），求得基本解

將（33）式代入（17）式，經(jīng)過計算可得

其中，ξi=Ai() x+λit，Ai=為任意常數(shù)。

利用達布變換（21）得到BK系統(tǒng)問題的新解為

3 結(jié)語

在求解孤子方程的諸多方法中，達布變換方法是一種自然而美妙的方法，它從平凡解出發(fā)可以得到孤子方程的精確解。達布變換方法的優(yōu)點是只須作一次完全可積的線性方程組的求解，然后便可利用代數(shù)運算得到非線性孤子方程的新解，它的關(guān)鍵點是尋找一種保持相應(yīng)的Lax對不變的規(guī)范變換。

（References）

［1］谷超豪，胡和生，周子翔.孤子理論中的達布變換及其幾何應(yīng)用［M］.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1999：1-12.

［2］LI Y S，MA W X，ZHANG J E．Darboux transforma?tions of classical boussinesq system and its new solu?tions［J］.Phys Lett A，2000，275（2）：60-66.

［3］周振江，李志斌.Broer-Kaup系統(tǒng)的達布變換和新的精確解［J］.物理學(xué)報，2003，52（2）：262-266.

［4］劉萍，張金順.Broer-Kaup系統(tǒng)的達布變換及其奇孤子解［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2006，3l（5）：31-36.

［5］黃坤，陳友軍.Broer-Kaup系統(tǒng)3類達布變換間的關(guān)系及其精確解［J］.鄭州大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2012，44（3）：38-41.

（責(zé)任編輯：強士端）

Darboux Transformation and Explicit Solutions of Soliton Equations

WANG Zhenhui，LI Shijin
（School of Mathematics and Information Science，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454003，Henan，China）

Summaries and contrasts Darboux transformation of several group soliton equations such as KdV equation，MKdV equation，KP equations and so on，and with the assistance of the trivial so?lution，discusses the exlicit solutions of some Soliton equations.

soliton equation；Darboux transformation；exlicit solution

O175.29

A

1673-0143（2014）02-0034-03

2014-03-06

國家自然科學(xué)基金資助項目（11226102）；河南理工大學(xué)青年基金項目（Q2012-30A）

王振輝（1982—），男，講師，碩士，研究方向：孤子理論。