Matlab在線性代數(shù)實(shí)踐教學(xué)中的應(yīng)用

Matlab在線性代數(shù)實(shí)踐教學(xué)中的應(yīng)用

邱廣文

（昭通學(xué)院圖書館，云南 昭通 657000）

摘要：文中論述了在線性代數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)計(jì)算能力的必要性和重要性，通過把Matlab引入到定理驗(yàn)證、含符號變量行列式和線性方程組的教學(xué)實(shí)踐，說明將線性代數(shù)理論、應(yīng)用及Matlab有機(jī)結(jié)合，可以幫助學(xué)生直觀地理解掌握理論知識，通過Matlab的應(yīng)用掌握科學(xué)計(jì)算方法，提高學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；Matlab；科學(xué)計(jì)算能力；實(shí)踐教學(xué)

中圖分類號：TP393 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）13-3026-03

Practice Teaching， the Application of Matlab in Linear Algebra

QIU Guang-wen

（Zhaotong of Yunnan Zhaotong College Library， Zhaotong 657000， China）

Abstract： This paper discusses the in linear algebra teaching to cultivate students the necessity and importance of scientific computing ability， through the Matlab is introduced into the theorem of validation， with symbolic variable determinant and the teaching practice of system of linear equations， Matlab shows that the linear algebra theory， application and organic combination， can help students intuitively understand master the theoretical knowledge， through the application of Matlab to master scientific computing method， improve the students' ability of scientific computing.

Key words： Linear algebra； Matlab； scientific computing ability； practice teaching

MATLAB是一個(gè)交互式的矩陣運(yùn)算軟件，是“Matrix Laboratoy” 的縮寫，意思是“矩陣實(shí)驗(yàn)室”，由MathWorks公司發(fā)布。多年來MATLAB經(jīng)歷一系列的擴(kuò)展和改版，具有以矩陣為基礎(chǔ)的強(qiáng)大的數(shù)值分析、矩陣運(yùn)算、信號處理、可視化圖形表現(xiàn)、建模仿真功能，以及方便的程序設(shè)計(jì)能力，現(xiàn)已成為科學(xué)及工程計(jì)算中的首選軟件。

在高校線性代數(shù)教學(xué)過程中，把線性代數(shù)的理論、應(yīng)用及MATLAB三者有機(jī)融為一體，在教學(xué)過程中穿插Matlab實(shí)例，讓學(xué)生通過Matlab練習(xí)加深對線性代數(shù)的理解，結(jié)合實(shí)際問題提高學(xué)生應(yīng)用線性代數(shù)解決實(shí)際問題的能力。

1 在線性代數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力

線性代數(shù)是討論矩陣?yán)碚?、與矩陣結(jié)合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學(xué)科。廣泛應(yīng)用于物理、力學(xué)、信號與信號處理、系統(tǒng)控制、電子、通信、航空等學(xué)科領(lǐng)域，隨著計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，線性代數(shù)也成為計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)的理論和算法基礎(chǔ)的一部分，因而成為現(xiàn)代各高等院校工、管、理專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，成為用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的一個(gè)強(qiáng)有力的工具。計(jì)算機(jī)技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展已經(jīng)對人們的物質(zhì)生活和文化生活產(chǎn)生了十分巨大的影響，其最顯著的功能就是進(jìn)行高速度地海量計(jì)算，這種高速計(jì)算使得過去許多無法求解的問題成為可能，因此科學(xué)計(jì)算已成為與理論研究、科學(xué)實(shí)驗(yàn)并列的科學(xué)研究三大手段之一。線性代數(shù)在其發(fā)展過程中所表現(xiàn)出的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，運(yùn)用第二代數(shù)學(xué)模型的公理化表述方式，其巧妙的歸納綜合及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C等，對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、抽象思維能力、基本運(yùn)算能力有著重要的作用。除此之外還應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力，所謂科學(xué)計(jì)算能力就是利用現(xiàn)代計(jì)算工具（包括硬件和軟件）解決教學(xué)和科研中計(jì)算問題的能力。它包括掌握最新的科學(xué)計(jì)算軟件、建立適當(dāng)?shù)挠?jì)算模型、采用正確的計(jì)算方法、實(shí)現(xiàn)高效的編程和運(yùn)算、對計(jì)算結(jié)果作最佳的表述和圖解等多方面的綜合能力[1]。但是，線性代數(shù)的應(yīng)用與科學(xué)計(jì)算是目前高校線性代數(shù)教學(xué)中的一個(gè)薄弱環(huán)節(jié)。如在傳統(tǒng)教材中，涉及線性代數(shù)應(yīng)用的實(shí)例很少，涉及行列式和矩陣的階數(shù)和規(guī)模很低，其中的數(shù)字也比較簡單。然而，來源于實(shí)際問題的代數(shù)形式的數(shù)學(xué)模型中，情況則大不相同，行列式的階數(shù)可能很高，矩陣的規(guī)?？赡芎艽?，其中的數(shù)字也可能比較復(fù)雜，在這種情況下僅用筆算幾乎是不可能實(shí)現(xiàn)的。因此在線性代數(shù)教學(xué)中引入Matlab計(jì)算軟件，通過實(shí)例教學(xué)與練習(xí)有利于培養(yǎng)和提高學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力。

2 在線性代數(shù)教學(xué)中Matlab的實(shí)踐應(yīng)用

2.1用Matlab驗(yàn)證行列式按行（列）展開定理

行列式按行（列）展開定理是行列式計(jì)算中的一個(gè)重要定理，這個(gè)定理也叫做行列式按行（列）展開法則，利用這一法則并結(jié)合行列式的性質(zhì)，可簡化行列式的計(jì)算。在教學(xué)中由于此定理證明較為繁瑣，為降低難度很多教材沒有證明。為此可通過Matlab程序驗(yàn)證這一定理。

n階行列式按行（列）展開公式為：

[k=1naikAjk=A，當(dāng)i=j0，當(dāng)i≠j]endprint

1）用Matlab程序構(gòu)造一個(gè)8階方陣，按第5行展開：

[s=a51A51+a52A52+…+a58A58]，驗(yàn)證s是否與A的行列式相等。

啟動(dòng)Matlab程序并打開編輯器編寫程序ex01.m：

%驗(yàn)證行列式按行（列）展開公式

clc；clear all %清屏并清除所有變量

A=magic（8）； %生成一個(gè)8階魔方方陣

D=det（A）； %計(jì)算A的行列式

%矩陣A按行列式公式展開：s=a51*A51+a52*A52+……+a58*A58

s=0；

for i=1：8

E=A；

E（5，：）=[]； %刪去矩陣E第1行

E（：，i）=[]； %刪去矩陣E第i列，則E為矩陣A元素a5i的余子式

s=s+A（5，i）*（-1）^（5+i）*det（E）； %求s=a51*A51+a52*A52+……+a58*A58

end

F=D-s %驗(yàn)算D與s是否相等

在Matlab命令窗口中輸入：

>>ex01

F=

0

用Matlab隨機(jī)函數(shù)rand（）構(gòu)造一個(gè)8階矩陣，計(jì)算A的第3行元素與第5行元素對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和：[s=a31A51+a32A52+…+a38A58]，驗(yàn)證是否為0。

在Matlab的M文件編輯器中編寫程序ex02.m：

%對8階方陣A計(jì)算s=a31*A51+a32*A52+……+a38*A58

clc；clear

A=round（20*rand（8））； %構(gòu)造8階隨機(jī)數(shù)方陣

s=0；

for i=1：8

T=A；

T（5，：）=[]； %刪去矩陣T第5行

T（：，i）=[]； %刪去矩陣T第i列，此時(shí)T為矩陣A元素a5i的余子式

s=s+A（3，i）*（-1）^（5+i）*det（T）； %計(jì)算 s=a31*A51+a32*A52+……+a38*A58

end

fprintf（'s=a31*A51+a32*A52+……+a38*A58＼n'）；

s %驗(yàn)證s是否為0

在Matlab命令窗口中輸入：

>>ex01

s=a31*A51+a32*A52+……+a38*A58

s =

0

2.2 Matlab符號運(yùn)算在行列式、線性方程組中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)運(yùn)算中有數(shù)值運(yùn)算與符號運(yùn)算之分，進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算時(shí)其表達(dá)式、矩陣變量中不允許有未定義的自由變量，為輔助數(shù)值計(jì)算，Matlab使用了符號工具箱來進(jìn)行符號運(yùn)算。符號工具箱用于處理符號表達(dá)式，因此可求解含有符號變量的方程組、微分和積分函數(shù)，以及進(jìn)行符號矩陣運(yùn)算。

2.2.1 求行列式[1-aa000-11-aa000-11-aa000-11-aa000-11-a]的值，并進(jìn)行因式分解

在Matlab命令窗口中輸入以下命令：

>>clear all %清除各種變量

>>clc

>>syms a %定義a為符號變量

>>A=[1-a a 0 0 0；-1 1-a a 0 0；0 -1 1-a a 0；

0 0 -1 1-a a；0 0 0 -1 1-a]；%給矩陣A賦值

>>D=det（A） %計(jì)算含符號變量矩陣A的行列式

D =a^4 - a^5 - a^3 + a^2 - a + 1

>> f=factor（D） %對多項(xiàng)式D進(jìn)行因式分解

f =-（a - 1）*（a^2 - a + 1）*（a^2 + a + 1）

2.2.2 齊次線性方程組：[（1+k）x1+x2+x3+x4+x5=02x1+（2+k）x2+2x3+2x4+2x5=03x1+3x2+（3+k）x3+3x4+3x5=04x1+4x2+4x3+（4+k）x4+x5=05x1+5x2+5x3+5x4+（5+k）x5=0]

當(dāng)[k]為何值時(shí)，方程組有非零解。并求出齊次線性方程組的通解。

在Matlab的命令窗口中輸入以下命令：

>>clc；clear

>>syms k %定義符號變量中k

>>A=[1+k 1 1 1 1；2 2+k 2 2 2；3 3 3+k 3 3；4 4 4 4+k 4； 5 5 5 5 5+k]； %輸入系數(shù)矩陣A

>>D=det（A）； %求出矩陣A的行列式值D

>>factor（D） %對D進(jìn)行因式分解

ans =

k^4*（k + 15）

從D的因式分解可看出當(dāng)[k]=0或[k]=-15時(shí)齊次線性方程組有非零解。下面求方程組的基礎(chǔ)解系， 在Matlab的命令窗口中繼續(xù)輸入以下命令：

>> kk=solve（D） %求出方程D=0的解即k的值

kk =

-15

0

0

0

0

求當(dāng)[k]=-15時(shí)，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：

>> AA=subs（A，k，kk（1））； %把k值代入系數(shù)矩陣A中

>>null（AA） %求基礎(chǔ)解系

ans =

1/5

2/5

3/5

4/5

1

所以當(dāng)[k=-15]時(shí)，方程組的基礎(chǔ)解系為[η=[1，2，3，4，5]t]，其通解為[x=kη]，[k]為任意常數(shù)。

同樣的方法可得，當(dāng)[k=0]時(shí)，方程組的基礎(chǔ)解系為[η1=[-1，1，0，0，0]t]，[η2=[-1，0，1，0，0]t]，[η3=[-1，0，0，1，0]t]，[η4=[-1，0，0，0，1]t]，其通解為[x=k1η1+k2η2+k3η3+k4η4]，其中[k1，…，k4]為任意常數(shù)。

3 結(jié)束語

文中結(jié)合線性代數(shù)中的行列式、線性方程組等知識點(diǎn)，通過Matlab在線性代數(shù)定理驗(yàn)證、含符號變量高階行列、線性方程組教學(xué)中的應(yīng)用，說明把Matlab引入到線性代數(shù)教學(xué)過程中，將線性代數(shù)理論、應(yīng)用及Matlab有機(jī)結(jié)合，一方面可以幫助學(xué)生直觀地理解掌握知識點(diǎn)，另一方面可讓學(xué)生應(yīng)用Matlab編程技術(shù)掌握科學(xué)計(jì)算方法，提高學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力。

參考文獻(xiàn)：

[1] 陳懷琛.線性代數(shù)要與科學(xué)計(jì)算結(jié)成好伙伴[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010 （s1）：28-33.

[2] 屠小明，馮元珍.Matlab軟件在線性代數(shù)教學(xué)的應(yīng)用舉例[J].科技視界，2012（31）：11-12.

[3] 楊威，高淑萍.線性代數(shù)機(jī)算與應(yīng)用指導(dǎo)（Matlab版）[M].西安電子科技大學(xué)出版社，2009.4：20-21.

[4] 陳懷琛.大學(xué)理工科要把‘科學(xué)計(jì)算能力當(dāng)作一個(gè)重要培養(yǎng)目標(biāo). 2005 年5 月在南京舉行的精品課程研討會上的發(fā)言.

[5] 陳世發(fā)，薛德黔.MATLAB在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].福建電腦，2006（10）：214，162.

[6] 高智中，武潔，王洋軍.Matlab在線性代數(shù)教學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用[J].衡水學(xué)院學(xué)報(bào)， 2010（1）：92-93.endprint

1）用Matlab程序構(gòu)造一個(gè)8階方陣，按第5行展開：

[s=a51A51+a52A52+…+a58A58]，驗(yàn)證s是否與A的行列式相等。

啟動(dòng)Matlab程序并打開編輯器編寫程序ex01.m：

%驗(yàn)證行列式按行（列）展開公式

clc；clear all %清屏并清除所有變量

A=magic（8）； %生成一個(gè)8階魔方方陣

D=det（A）； %計(jì)算A的行列式

%矩陣A按行列式公式展開：s=a51*A51+a52*A52+……+a58*A58

s=0；

for i=1：8

E=A；

E（5，：）=[]； %刪去矩陣E第1行

E（：，i）=[]； %刪去矩陣E第i列，則E為矩陣A元素a5i的余子式

s=s+A（5，i）*（-1）^（5+i）*det（E）； %求s=a51*A51+a52*A52+……+a58*A58

end

F=D-s %驗(yàn)算D與s是否相等

在Matlab命令窗口中輸入：

>>ex01

F=

0

用Matlab隨機(jī)函數(shù)rand（）構(gòu)造一個(gè)8階矩陣，計(jì)算A的第3行元素與第5行元素對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和：[s=a31A51+a32A52+…+a38A58]，驗(yàn)證是否為0。

在Matlab的M文件編輯器中編寫程序ex02.m：

%對8階方陣A計(jì)算s=a31*A51+a32*A52+……+a38*A58

clc；clear

A=round（20*rand（8））； %構(gòu)造8階隨機(jī)數(shù)方陣

s=0；

for i=1：8

T=A；

T（5，：）=[]； %刪去矩陣T第5行

T（：，i）=[]； %刪去矩陣T第i列，此時(shí)T為矩陣A元素a5i的余子式

s=s+A（3，i）*（-1）^（5+i）*det（T）； %計(jì)算 s=a31*A51+a32*A52+……+a38*A58

end

fprintf（'s=a31*A51+a32*A52+……+a38*A58＼n'）；

s %驗(yàn)證s是否為0

在Matlab命令窗口中輸入：

>>ex01

s=a31*A51+a32*A52+……+a38*A58

s =

0

2.2 Matlab符號運(yùn)算在行列式、線性方程組中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)運(yùn)算中有數(shù)值運(yùn)算與符號運(yùn)算之分，進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算時(shí)其表達(dá)式、矩陣變量中不允許有未定義的自由變量，為輔助數(shù)值計(jì)算，Matlab使用了符號工具箱來進(jìn)行符號運(yùn)算。符號工具箱用于處理符號表達(dá)式，因此可求解含有符號變量的方程組、微分和積分函數(shù)，以及進(jìn)行符號矩陣運(yùn)算。

2.2.1 求行列式[1-aa000-11-aa000-11-aa000-11-aa000-11-a]的值，并進(jìn)行因式分解

在Matlab命令窗口中輸入以下命令：

>>clear all %清除各種變量

>>clc

>>syms a %定義a為符號變量

>>A=[1-a a 0 0 0；-1 1-a a 0 0；0 -1 1-a a 0；

0 0 -1 1-a a；0 0 0 -1 1-a]；%給矩陣A賦值

>>D=det（A） %計(jì)算含符號變量矩陣A的行列式

D =a^4 - a^5 - a^3 + a^2 - a + 1

>> f=factor（D） %對多項(xiàng)式D進(jìn)行因式分解

f =-（a - 1）*（a^2 - a + 1）*（a^2 + a + 1）

2.2.2 齊次線性方程組：[（1+k）x1+x2+x3+x4+x5=02x1+（2+k）x2+2x3+2x4+2x5=03x1+3x2+（3+k）x3+3x4+3x5=04x1+4x2+4x3+（4+k）x4+x5=05x1+5x2+5x3+5x4+（5+k）x5=0]

當(dāng)[k]為何值時(shí)，方程組有非零解。并求出齊次線性方程組的通解。

在Matlab的命令窗口中輸入以下命令：

>>clc；clear

>>syms k %定義符號變量中k

>>A=[1+k 1 1 1 1；2 2+k 2 2 2；3 3 3+k 3 3；4 4 4 4+k 4； 5 5 5 5 5+k]； %輸入系數(shù)矩陣A

>>D=det（A）； %求出矩陣A的行列式值D

>>factor（D） %對D進(jìn)行因式分解

ans =

k^4*（k + 15）

從D的因式分解可看出當(dāng)[k]=0或[k]=-15時(shí)齊次線性方程組有非零解。下面求方程組的基礎(chǔ)解系， 在Matlab的命令窗口中繼續(xù)輸入以下命令：

>> kk=solve（D） %求出方程D=0的解即k的值

kk =

-15

0

0

0

0

求當(dāng)[k]=-15時(shí)，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：

>> AA=subs（A，k，kk（1））； %把k值代入系數(shù)矩陣A中

>>null（AA） %求基礎(chǔ)解系

ans =

1/5

2/5

3/5

4/5

1

所以當(dāng)[k=-15]時(shí)，方程組的基礎(chǔ)解系為[η=[1，2，3，4，5]t]，其通解為[x=kη]，[k]為任意常數(shù)。

同樣的方法可得，當(dāng)[k=0]時(shí)，方程組的基礎(chǔ)解系為[η1=[-1，1，0，0，0]t]，[η2=[-1，0，1，0，0]t]，[η3=[-1，0，0，1，0]t]，[η4=[-1，0，0，0，1]t]，其通解為[x=k1η1+k2η2+k3η3+k4η4]，其中[k1，…，k4]為任意常數(shù)。

3 結(jié)束語

文中結(jié)合線性代數(shù)中的行列式、線性方程組等知識點(diǎn)，通過Matlab在線性代數(shù)定理驗(yàn)證、含符號變量高階行列、線性方程組教學(xué)中的應(yīng)用，說明把Matlab引入到線性代數(shù)教學(xué)過程中，將線性代數(shù)理論、應(yīng)用及Matlab有機(jī)結(jié)合，一方面可以幫助學(xué)生直觀地理解掌握知識點(diǎn)，另一方面可讓學(xué)生應(yīng)用Matlab編程技術(shù)掌握科學(xué)計(jì)算方法，提高學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力。

參考文獻(xiàn)：

[1] 陳懷琛.線性代數(shù)要與科學(xué)計(jì)算結(jié)成好伙伴[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010 （s1）：28-33.

[2] 屠小明，馮元珍.Matlab軟件在線性代數(shù)教學(xué)的應(yīng)用舉例[J].科技視界，2012（31）：11-12.

[3] 楊威，高淑萍.線性代數(shù)機(jī)算與應(yīng)用指導(dǎo)（Matlab版）[M].西安電子科技大學(xué)出版社，2009.4：20-21.

[4] 陳懷琛.大學(xué)理工科要把‘科學(xué)計(jì)算能力當(dāng)作一個(gè)重要培養(yǎng)目標(biāo). 2005 年5 月在南京舉行的精品課程研討會上的發(fā)言.

[5] 陳世發(fā)，薛德黔.MATLAB在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].福建電腦，2006（10）：214，162.

[6] 高智中，武潔，王洋軍.Matlab在線性代數(shù)教學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用[J].衡水學(xué)院學(xué)報(bào)， 2010（1）：92-93.endprint

1）用Matlab程序構(gòu)造一個(gè)8階方陣，按第5行展開：

[s=a51A51+a52A52+…+a58A58]，驗(yàn)證s是否與A的行列式相等。

啟動(dòng)Matlab程序并打開編輯器編寫程序ex01.m：

%驗(yàn)證行列式按行（列）展開公式

clc；clear all %清屏并清除所有變量

A=magic（8）； %生成一個(gè)8階魔方方陣

D=det（A）； %計(jì)算A的行列式

%矩陣A按行列式公式展開：s=a51*A51+a52*A52+……+a58*A58

s=0；

for i=1：8

E=A；

E（5，：）=[]； %刪去矩陣E第1行

E（：，i）=[]； %刪去矩陣E第i列，則E為矩陣A元素a5i的余子式

s=s+A（5，i）*（-1）^（5+i）*det（E）； %求s=a51*A51+a52*A52+……+a58*A58

end

F=D-s %驗(yàn)算D與s是否相等

在Matlab命令窗口中輸入：

>>ex01

F=

0

用Matlab隨機(jī)函數(shù)rand（）構(gòu)造一個(gè)8階矩陣，計(jì)算A的第3行元素與第5行元素對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和：[s=a31A51+a32A52+…+a38A58]，驗(yàn)證是否為0。

在Matlab的M文件編輯器中編寫程序ex02.m：

%對8階方陣A計(jì)算s=a31*A51+a32*A52+……+a38*A58

clc；clear

A=round（20*rand（8））； %構(gòu)造8階隨機(jī)數(shù)方陣

s=0；

for i=1：8

T=A；

T（5，：）=[]； %刪去矩陣T第5行

T（：，i）=[]； %刪去矩陣T第i列，此時(shí)T為矩陣A元素a5i的余子式

s=s+A（3，i）*（-1）^（5+i）*det（T）； %計(jì)算 s=a31*A51+a32*A52+……+a38*A58

end

fprintf（'s=a31*A51+a32*A52+……+a38*A58＼n'）；

s %驗(yàn)證s是否為0

在Matlab命令窗口中輸入：

>>ex01

s=a31*A51+a32*A52+……+a38*A58

s =

0

2.2 Matlab符號運(yùn)算在行列式、線性方程組中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)運(yùn)算中有數(shù)值運(yùn)算與符號運(yùn)算之分，進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算時(shí)其表達(dá)式、矩陣變量中不允許有未定義的自由變量，為輔助數(shù)值計(jì)算，Matlab使用了符號工具箱來進(jìn)行符號運(yùn)算。符號工具箱用于處理符號表達(dá)式，因此可求解含有符號變量的方程組、微分和積分函數(shù)，以及進(jìn)行符號矩陣運(yùn)算。

2.2.1 求行列式[1-aa000-11-aa000-11-aa000-11-aa000-11-a]的值，并進(jìn)行因式分解

在Matlab命令窗口中輸入以下命令：

>>clear all %清除各種變量

>>clc

>>syms a %定義a為符號變量

>>A=[1-a a 0 0 0；-1 1-a a 0 0；0 -1 1-a a 0；

0 0 -1 1-a a；0 0 0 -1 1-a]；%給矩陣A賦值

>>D=det（A） %計(jì)算含符號變量矩陣A的行列式

D =a^4 - a^5 - a^3 + a^2 - a + 1

>> f=factor（D） %對多項(xiàng)式D進(jìn)行因式分解

f =-（a - 1）*（a^2 - a + 1）*（a^2 + a + 1）

2.2.2 齊次線性方程組：[（1+k）x1+x2+x3+x4+x5=02x1+（2+k）x2+2x3+2x4+2x5=03x1+3x2+（3+k）x3+3x4+3x5=04x1+4x2+4x3+（4+k）x4+x5=05x1+5x2+5x3+5x4+（5+k）x5=0]

當(dāng)[k]為何值時(shí)，方程組有非零解。并求出齊次線性方程組的通解。

在Matlab的命令窗口中輸入以下命令：

>>clc；clear

>>syms k %定義符號變量中k

>>A=[1+k 1 1 1 1；2 2+k 2 2 2；3 3 3+k 3 3；4 4 4 4+k 4； 5 5 5 5 5+k]； %輸入系數(shù)矩陣A

>>D=det（A）； %求出矩陣A的行列式值D

>>factor（D） %對D進(jìn)行因式分解

ans =

k^4*（k + 15）

從D的因式分解可看出當(dāng)[k]=0或[k]=-15時(shí)齊次線性方程組有非零解。下面求方程組的基礎(chǔ)解系， 在Matlab的命令窗口中繼續(xù)輸入以下命令：

>> kk=solve（D） %求出方程D=0的解即k的值

kk =

-15

0

0

0

0

求當(dāng)[k]=-15時(shí)，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：

>> AA=subs（A，k，kk（1））； %把k值代入系數(shù)矩陣A中

>>null（AA） %求基礎(chǔ)解系

ans =

1/5

2/5

3/5

4/5

1

所以當(dāng)[k=-15]時(shí)，方程組的基礎(chǔ)解系為[η=[1，2，3，4，5]t]，其通解為[x=kη]，[k]為任意常數(shù)。

同樣的方法可得，當(dāng)[k=0]時(shí)，方程組的基礎(chǔ)解系為[η1=[-1，1，0，0，0]t]，[η2=[-1，0，1，0，0]t]，[η3=[-1，0，0，1，0]t]，[η4=[-1，0，0，0，1]t]，其通解為[x=k1η1+k2η2+k3η3+k4η4]，其中[k1，…，k4]為任意常數(shù)。

3 結(jié)束語

文中結(jié)合線性代數(shù)中的行列式、線性方程組等知識點(diǎn)，通過Matlab在線性代數(shù)定理驗(yàn)證、含符號變量高階行列、線性方程組教學(xué)中的應(yīng)用，說明把Matlab引入到線性代數(shù)教學(xué)過程中，將線性代數(shù)理論、應(yīng)用及Matlab有機(jī)結(jié)合，一方面可以幫助學(xué)生直觀地理解掌握知識點(diǎn)，另一方面可讓學(xué)生應(yīng)用Matlab編程技術(shù)掌握科學(xué)計(jì)算方法，提高學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 屠小明，馮元珍.Matlab軟件在線性代數(shù)教學(xué)的應(yīng)用舉例[J].科技視界，2012（31）：11-12.

[3] 楊威，高淑萍.線性代數(shù)機(jī)算與應(yīng)用指導(dǎo)（Matlab版）[M].西安電子科技大學(xué)出版社，2009.4：20-21.

[4] 陳懷琛.大學(xué)理工科要把‘科學(xué)計(jì)算能力當(dāng)作一個(gè)重要培養(yǎng)目標(biāo). 2005 年5 月在南京舉行的精品課程研討會上的發(fā)言.

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[6] 高智中，武潔，王洋軍.Matlab在線性代數(shù)教學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用[J].衡水學(xué)院學(xué)報(bào)， 2010（1）：92-93.endprint