負三項分布的性質(zhì)研究

王 慧，卓澤朋

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是高等院校理工科各專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程，是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，其蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法已經(jīng)廣泛地滲透到計算機科學(xué)、經(jīng)濟、金融、生物、醫(yī)學(xué)等多個領(lǐng)域.伯努利試驗是一種非常重要的概率模型，它是“在同樣條件下進行重復(fù)試驗”的一種數(shù)學(xué)模型.歷史上，伯努利概型是概率論中最早研究的模型之一，不僅在理論上具有重要意義，而且在實際生活中的應(yīng)用也非常廣泛.在一般的概率統(tǒng)計教材中均可見一些重要的基于伯努利試驗的概率分布模型，如幾何分布，二項分布，負二項分布等［1］.其中負二項分布又稱巴斯卡分布，是近年來的研究熱點之一，取得了豐富的研究成果：具體內(nèi)容涉及負二項分布的統(tǒng)計性質(zhì)及其應(yīng)用［2-3］、數(shù)字特征［4-5］、概率的最大值點［6］、參數(shù)估計問題［7-8］、近似分布［9］等.文獻［10］在負二項分布的基礎(chǔ)上進行推廣，提出負三項分布，并討論負三項分布的概率分布和數(shù)字特征.但圍繞負三項分布的研究還不夠完善，本文將對其若干性質(zhì)作進一步地探討，首先從其特征函數(shù)出發(fā)，計算出其數(shù)字期望、方差及可加性，最后分析其概率的最大值點.

1 預(yù)備知識

文獻［10］提出負三項分布的定義，并得出其概率分布.

定義1設(shè)在獨立重復(fù)試驗中，每次試驗可能有3 種結(jié)果：A1,A2,A3，且P(Aj)=pj，j=1,2,3，p1+p2+p3=1，以Xj(j=1,2,3)表示Aj在獨立重復(fù)試驗中出現(xiàn)的次數(shù)，以X表示在獨立重復(fù)試驗中Aj出現(xiàn)rj(j=1,2)次時的試驗次數(shù)，則稱X服從負三項分布，記為X～NM(r1,r2;p1,p2).

設(shè)隨機變量X～NM(r1,r2;p1,p2)，則X的可能取值為r1+r2，r1+r2+1，…，r1+r2+l，…，（rj≥1,j=1,2），其分布列為

下面給出特征函數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)［1］.

定義2設(shè)X是一個實值隨機變量，其分布函數(shù)為F(x)，則稱eitX的數(shù)學(xué)期望E(eitX)為隨機變量X或其分布函數(shù)F(x)的特征函數(shù)，記為φX(x)或φ(x)，即

如果X是離散型隨機變量，其分布列為

則

性質(zhì)1如果隨機變量X有n階（原點）矩，則它的特征函數(shù)可微分n次，并且有

成立.

性質(zhì)2如果隨機變量X1,X2,…,Xm相互獨立，則

2 負三項分布的性質(zhì)

2.1 特征函數(shù)

引理1［10］設(shè)隨機變量X服從負三項分布，即X～NM(r1,r2;p1,p2)，其中rj≥1，0＜pj＜1(j=1,2)，則

定理1設(shè)隨機變量X服從負三項分布，即X～NM(r1,r2;p1,p2)，其中rj≥1，0＜pj＜1(j=1,2)，則X的特征函數(shù)為

證明已知負指數(shù)二項展開式

特征函數(shù)在概率論中是一個極其重要的分析工具，利用其定義和性質(zhì)可以簡化概率論中的許多定理證明過程，下面通過特征函數(shù)來研究負三項分布的數(shù)字特征和可加性.

2.2 數(shù)學(xué)期望

定理2設(shè)隨機變量X服從負三項分布，即X～NM(r1,r2;p1,p2)，其中rj≥1，0＜pj＜1(j=1,2)，則X的數(shù)學(xué)期望為

證明記r1+r2=r0，p1+p2=p0，1-p0=q0，由（7）式得

2.3 方差

定理3設(shè)隨機變量X服從負三項分布，即X～NM(r1,r2;p1,p2)，其中rj≥1，0＜pj＜1(j=1,2)，則X的方差為

證明先求φ″(t)，記號r0，p0，q0同上，則

即（9）式成立.

注將定理2和定理3的證明過程與文獻［10］中的證明過程相比，結(jié)果表明，使用特征函數(shù)證明負三項分布的數(shù)學(xué)期望和方差，計算量大大減少，過程更加簡潔.

2.4 可加性

所謂可加性，是指有限個相互獨立的、服從統(tǒng)一分布的隨機變量，其和也服從該分布，且該分布中的參數(shù)是相應(yīng)參數(shù)之和.例如，二項分布、泊松分布、正態(tài)分布等均具有可加性［1］，本文接下來給出負三項分布在同參數(shù)p1,p2下也具有可加性.

引理2（唯一性定理）［1］分布函數(shù)F1(x)與F2(x)相等的充要條件是它們的特征函數(shù)φ1(x)與φ2(x)相等.

定理5設(shè)隨機變量X1,X2,…,Xm相互獨立，且均服從負三項分布，即X1～NM(s11,s21;p1,p2)，X2～NM(s12,s22;p1,p2)，…，Xm～NM(s1m,s2m;p1,p2)，其中shj≥1,h=1,2;j=1,…,m，則也服從負三項分布，即X～NM(r1,r2;p1,p2)，其中r1=s11+s12+…+s1m,r2=s21+s22+…+s2m.

證明用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)m=2 時，若X1～NM(s11,s21;p1,p2)，X2～NM(s12,s22;p1,p2)，且相互獨立，X=X1+X2，記p1+p2=p0，1-p0=q0，s11+s12=s01，s21+s22=s02，則，由（5）式得

由引理2知，X～NM(s01,s02;p1,p2)，即X～NM(s11+s12,s21+s22;p1,p2).

假設(shè)m=k時成立，此時，Xj～NM(s1j,s2j;p1,p2)，j=1,2,…,k，則

且其特征函數(shù)為

其中s11+s12+…+s1k=s01'，s21+s22+…+s2k=s02'.

當(dāng)m=k+1時，獨立，則

其中s11+s12+…+s1k+s1,k+1=s01"，s21+s22+…+s2k+s2,k+1=s02".即

由歸納法證得，對一切正整數(shù)m，負三項分布具有可加性.

2.5 概率的最大值點

針對“負三項分布的概率何時取得最大值”這一問題進行分析，得到以下結(jié)論.

定理6負三項分布的概率分布如（1）式所示，則

證明由于

由于k∈Ζ+，因而當(dāng)不是整數(shù)時時的概率取得最大，當(dāng)為整數(shù)時，k在兩處概率同時取得最大值.

3 結(jié)束語

伯努利試驗是概率論中重要的隨機試驗，對基于伯努利試驗的概率模型——負三項分布的理論研究是一項有意義的工作，本文主要討論了負三項分布的特征函數(shù)、數(shù)學(xué)期望、方差、可加性等方面的性質(zhì)，以特征函數(shù)為工具改進了文獻［10］中的定理證明過程.同時，還給出了該分布的概率最大值點，為實際應(yīng)用中使用負三項分布的概率最大值或最大值點時提供了方便.

［1］安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.概率論與數(shù)理統(tǒng)計［M］.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1988.

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［3］孫道德.負二項分布的性質(zhì)及其應(yīng)用［J］.阜陽師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2000，17（2）：10-12.

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［10］黃偉，劉瑞元.負三項分布［J］.高師理科學(xué)刊，2007，27（5）：16-19.