基于MATLAB的機(jī)床導(dǎo)軌垂直度誤差的評(píng)定

周景亮

(福建工程學(xué)院機(jī)械與汽車工程學(xué)院，福建 福州 350108)

0 引言

檢驗(yàn)機(jī)床導(dǎo)軌線對(duì)線垂直度誤差的方法很多．文獻(xiàn) [1]采用平尺、直角尺和千分表來測(cè)量，但這種方法用平尺、直角尺作為測(cè)量基準(zhǔn)，其精度較低;文獻(xiàn)[2]采用經(jīng)緯儀測(cè)量大尺寸三維導(dǎo)軌垂直度誤差;文獻(xiàn) [3]采用激光干涉儀;文獻(xiàn) [4]則采用雙頻激光干涉儀測(cè)量電梯導(dǎo)軌的垂直度誤差．經(jīng)緯儀和激光干涉儀測(cè)量精準(zhǔn)，但價(jià)格昂貴，尤其是激光干涉儀，不利于中小型企業(yè)以及高校教學(xué)的推廣應(yīng)用．

在企業(yè)和高校實(shí)驗(yàn)室最常采用的是自準(zhǔn)直儀或框式水平儀，它們可以對(duì)基準(zhǔn)要素和被測(cè)要素進(jìn)行分段測(cè)量，這種設(shè)備成本低，檢測(cè)方法易于掌握．一般先確定基準(zhǔn)要素的方位，再求被測(cè)要素對(duì)基準(zhǔn)要素的垂直度誤差，然后用圖解法處理測(cè)量數(shù)據(jù)，但這種圖解法數(shù)據(jù)處理效率低，尤其是測(cè)量點(diǎn)數(shù)較多時(shí)，容易引起作圖誤差．

因此，本文采用框式水平儀進(jìn)行測(cè)量，建立垂直度誤差的數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB軟件編制相應(yīng)的計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)來滿足基準(zhǔn)要素的直線度誤差和被測(cè)要素的垂直度誤差的求解．

1 數(shù)據(jù)處理

機(jī)床導(dǎo)軌垂直度誤差，其實(shí)質(zhì)就是在給定方向上的線對(duì)線垂直度誤差．根據(jù)GB/T 1958—2004的原則，垂直度誤差值是用定向最小區(qū)域的寬度f來表示[5]，而定向最小區(qū)域的方向由基準(zhǔn)確定．

1.1 建立基準(zhǔn)方向

直線度誤差的數(shù)據(jù)處理方法較多，常用的有兩端點(diǎn)連線法、最小二乘法和最小包容區(qū)域法．其主要任務(wù)都是找出理想直線．假設(shè)該理想直線方程為y=Ax+B，基準(zhǔn)提取要素各采樣點(diǎn)Pi(xi，yi)(i=1，2，…，n)到理想直線的距離為

那么直線度誤差即為

直線度誤差評(píng)定示意圖如圖1所示．

圖1 直線度誤差評(píng)定示意圖Fig.1 Schematics of straightness error

1.1.1 最小條件法

最小條件法是國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的方法，該方法是一種仲裁方法，所得的誤差值是唯一的、最小的．按該方法評(píng)定直線度誤差實(shí)質(zhì)上是尋找包容基準(zhǔn)提取要素且距離最短的兩平行直線．

根據(jù)式 (1)，建立最小條件法的目標(biāo)函數(shù)F(A，B)=[di]max－[di]min，當(dāng)其滿足最小化時(shí)，F(xiàn)(A，B)的A，B即理想直線的斜率和截距，且該二元函數(shù)的最小值即為直線度誤差，或根據(jù)式 (2)求得直線度誤差．

1.1.2 最小二乘法

最小二乘中線即為理想直線，它使基準(zhǔn)提取要素各采樣點(diǎn)到該直線的距離的平方和為最?。虼?，最小二乘法的目標(biāo)函數(shù)當(dāng)其滿足最小化時(shí)，F(xiàn)(A，B)的(A，B)即為理想直線的參數(shù)，進(jìn)而根據(jù)式 (2)求得直線度誤差．

1.1.3 兩端點(diǎn)法

以測(cè)得的誤差曲線首末兩端點(diǎn)的連線為理想直線，兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(xn，yn)．則A=(yn－y1)/(xn－x1)，B=yn－Ax．同理求得直線度誤差．

1.2 線對(duì)線垂直度誤差評(píng)定

圖2 垂直度誤差評(píng)定示意圖Fig.2 Schematics of perpendicular error

在同一坐標(biāo)系中，過被測(cè)提取要素的各個(gè)測(cè)點(diǎn)做垂直于理想直線的垂直線族．過最遠(yuǎn)點(diǎn)和最近點(diǎn)的兩條平行直線F1、F2間區(qū)域即為定向最小包容區(qū)域，這兩平行線之間的距離就是垂直度誤差，如圖2所示．

設(shè)過第一個(gè)被測(cè)提取要素采樣點(diǎn)A(x1，y1)，做基準(zhǔn)方向理想直線y=Ax+B的垂線，該垂線的斜率K=－1/A，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，可求出該垂線方程為:y－y1=(－1/A)×(x－x1)．

求各被測(cè)提取要素采樣點(diǎn) Mi(xi，yi)(i=1，2，3…，n)到上述垂線的距離那么垂直度誤差F=max{Di}－min{Di}．

2 測(cè)量實(shí)驗(yàn)

筆者按前述的數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB軟件，編寫了數(shù)據(jù)處理程序，并制作了友好界面[6－7]，用戶只需輸入測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，計(jì)量器具的分度值，橋板跨距，并選擇評(píng)定方法，就可得到直線度以及垂直度誤差，并繪出誤差圖形．可清楚的反映出被測(cè)量的幾何特征，評(píng)定準(zhǔn)則的應(yīng)用情況，并對(duì)計(jì)算結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證．

測(cè)量X6132銑床橫向?qū)к壓痛怪睂?dǎo)軌在給定平面內(nèi)的垂直度誤差．測(cè)量示意圖如圖3所示．以較長(zhǎng)的垂直導(dǎo)軌面為基準(zhǔn)要素，橫向?qū)к壝鏋楸粶y(cè)要素．采用框式水平儀，其分度值p為0.02 mm/m，橋板跨距l(xiāng)為100 mm，橫向?qū)к夐L(zhǎng)度為650 mm，分6段進(jìn)行測(cè)量;垂直導(dǎo)軌長(zhǎng)度為1300 mm，分10段進(jìn)行測(cè)量．測(cè)量數(shù)值見表1．

圖3 測(cè)量示意圖Fig.3 Schematic of measuring method

表1 測(cè)量數(shù)據(jù)Tab．1 Measured data

圖4 最小區(qū)域法數(shù)據(jù)處理界面Fig.4 Data processing interface for the minimum region method

將測(cè)量數(shù)據(jù)輸入系統(tǒng)的界面，選擇基準(zhǔn)要素的評(píng)定方法，可分別計(jì)算直線度及垂直度誤差．并在界面右邊繪出誤差示意圖，進(jìn)一步驗(yàn)證算法的正確性．基準(zhǔn)符合最小條件法的直線度、垂直度誤差數(shù)據(jù)處理操作界面如圖4所示．界面右上角區(qū)域?yàn)橹本€度誤差示意圖，上包容線過最高二個(gè)點(diǎn) (3點(diǎn)、9點(diǎn))，下包容線過最低點(diǎn)8點(diǎn)．從直線度誤差最小區(qū)域判別準(zhǔn)則上來看，該條件滿足高—低—高準(zhǔn)則;界面右下角區(qū)域?yàn)榇怪倍日`差示意圖，該圖形左側(cè)為基準(zhǔn)要素，右側(cè)為被測(cè)要素，被測(cè)要素的左包容線過最近點(diǎn)0點(diǎn)，右包容線過最遠(yuǎn)6點(diǎn)．且都垂直于基準(zhǔn)方向．二者間即構(gòu)成定向最小包容區(qū)域．可見該系統(tǒng)采用最小區(qū)域法評(píng)定的結(jié)果符合形位誤差國(guó)標(biāo)定義的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)．本系統(tǒng)對(duì)三種數(shù)據(jù)處理方法都進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果都符合其建模原理．三種數(shù)據(jù)處理方法所得的結(jié)果見表2．

表2 測(cè)量結(jié)果Tab．2 Measured result

繪制誤差曲線圖時(shí)，為了更直觀地看出誤差曲線的走向，基準(zhǔn)要素橫坐標(biāo)按比例縮小，縱坐標(biāo)按比例擴(kuò)大;被測(cè)要素縱坐標(biāo)按比例縮小，橫坐標(biāo)按比例擴(kuò)大，誤差折線是變了形的實(shí)際輪廓線，誤差按縱、橫向讀取值為f'，按法向方向上讀取值為 f，f'=1.000000001f[8]，不會(huì)影響測(cè)量結(jié)果的精確度．因此若采用作圖法求解時(shí)，應(yīng)分別在最小包容區(qū)域的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)方向上讀取數(shù)值，而不是在包容區(qū)域的法向方向上讀?。?/p>

本系統(tǒng)利用MATLAB數(shù)學(xué)軟件求解誤差值，橫、縱坐標(biāo)可按實(shí)際測(cè)量值帶入計(jì)算，因而在最小包容區(qū)域的法向上計(jì)算數(shù)值．

筆者又通過AUTOCAD作圖法分別用端點(diǎn)法和最小區(qū)域法對(duì)相同數(shù)據(jù)進(jìn)行圖解法計(jì)算 (見圖5、圖6)．當(dāng)用框式水平儀測(cè)量時(shí)，原始采樣數(shù)據(jù)的單位用水平儀的格數(shù)，因此將作圖法所得數(shù)值乘以當(dāng)量系數(shù)C=p×l=(0.02/1000)×100=0.002 mm，即得到與數(shù)據(jù)處理軟件相同的結(jié)論．進(jìn)一步證明了該系統(tǒng)的可靠性和準(zhǔn)確性．

圖5 AUTOCAD兩端點(diǎn)連線圖解法Fig.5 Graphic method with the two-endpoint based on AUTOCAD

圖6AUTOCAD最小區(qū)域圖解法Fig.6 Graphic method with the minimum region based on AUTOCAD

3 結(jié)論

實(shí)踐表明，用計(jì)算機(jī)對(duì)機(jī)床導(dǎo)軌垂直度誤差進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，該系統(tǒng)能同時(shí)滿足真正符合最小包容條件的機(jī)床導(dǎo)軌直線度誤差和垂直度誤差的求解．可大大提高計(jì)量人員的工作效率，把每次測(cè)量數(shù)據(jù)依次輸進(jìn)去，在輸出窗口顯示誤差值和圖解法處理的示圖．這是一種方便可靠的數(shù)據(jù)處理方法．

[1]接明，王樹杰，孫彥斌．利用激光干涉儀對(duì)重大型數(shù)控機(jī)床兩線性軸間垂直度測(cè)量方法的探索 [J]．計(jì)量技術(shù)，2009(5):34－36．

[2]任順清，陳海兵，趙洪波．用光學(xué)經(jīng)緯儀測(cè)量大尺寸三維導(dǎo)軌垂直度的方法[J]．儀器儀表學(xué)報(bào)，2012，33(1):188－193．

[3]姜孟鵬．極坐標(biāo)數(shù)控銑齒機(jī)直線度和垂直度的干涉測(cè)量 [J]．機(jī)械設(shè)計(jì)與制造．2010(10):160－162．

[4]李醒飛．電梯導(dǎo)軌幾何誤差測(cè)試系統(tǒng)[J]．中國(guó)機(jī)械工程，2005，16(4):303－306．

[5]中國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)化管理委員會(huì)．GB/T 1958—2004 產(chǎn)品幾何量技術(shù)規(guī)范 (GPS)形狀和位置公差檢測(cè)規(guī)定 [S]．北京:中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社，2005．

[6]飛思科技產(chǎn)品開發(fā)中心．MATLAB 7基礎(chǔ)與提高[M]．北京:電子工業(yè)出版社，2005．9．

[7]GERALD RECKTENWALD．?dāng)?shù)值方法和MATLAB實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用[M]．伍衛(wèi)國(guó)，方群，張輝，等譯．北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2002．

[8]遲彥孝．直線度誤差的評(píng)定方法及其數(shù)學(xué)證明 [J]．機(jī)械制造與自動(dòng)化，2003(5):14－16．