矩陣空間上正線性映射的一個(gè)不等式

劉建忠

(江蘇理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 常州 213001)

0 引言

矩陣及算子不等式理論在自然科學(xué)、工程技術(shù)及社會(huì)科學(xué)各領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用，通過(guò)對(duì)矩陣不等式的研究，可以深刻揭示數(shù)量之間的內(nèi)在關(guān)系，而且其理論本身富有技巧性和創(chuàng)造性，在學(xué)術(shù)上是深刻有趣的.由于研究方法靈活多樣，應(yīng)用背景涉及眾多學(xué)科領(lǐng)域，有關(guān)矩陣不等式的結(jié)果散見(jiàn)在各種刊物和著作中，近年來(lái)的一種趨勢(shì)是利用一些一般的理論模式給出各種矩陣不等式的統(tǒng)一形式，例如通過(guò)控制不等式理論統(tǒng)一研究有關(guān)矩陣特征值、奇異值及酉不變范數(shù)的不等式[1]，利用矩陣空間上線性映射的理論統(tǒng)一處理有關(guān)矩陣二次型、跡、行列式、積和式等不等式[1－2]。

本文利用矩陣張量積的一些基本性質(zhì)及矩陣分塊技巧，得到了矩陣空間上正線性映射的一個(gè)不等式.在所得結(jié)果的基礎(chǔ)上，通過(guò)選取適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，可統(tǒng)一導(dǎo)出一些經(jīng)典的矩陣不等式，并可在此基礎(chǔ)上得到一些新的矩陣不等式.有關(guān)結(jié)論容易推廣到Hilbert空間上緊算子所構(gòu)成的空間上，為避免細(xì)節(jié)上的繁瑣，本文的論證僅在矩陣空間上展開(kāi)。

1 記號(hào)及引理

Mn表示n階復(fù)方陣所成的線性空間，對(duì)于A∈Mn，A＞0，A≥0分別表示A為正定、半正定Herimitian陣，A*表示A的共軛轉(zhuǎn)置，σ(A)表示A的譜，即A的特征值所成的集合。若映射Φ:Mn→Mk滿足:

(i)Φ(A+B)=Φ(A)+Φ(B)，A，B∈Mn;

(ii)Φ(c A)=cΦ(A)，A∈Mn，c為復(fù)數(shù);

(iii)當(dāng)A≥0時(shí)，Φ(A)≥0。

則稱Φ為Mn上的正線性映射;若進(jìn)一步滿足當(dāng)A＞0時(shí)，Φ(A)＞0，則稱Φ為Mn上的嚴(yán)格正線性映射;若Φ(In)=Ik，其中In為n階單位矩陣，則稱其為Mn上的單位映射。

引理1[2]設(shè)A，B均為正定陣，則分塊矩陣的充要條件是A≥XB－1X*。

引理2[3]設(shè) A≥0，B≥0，則 A?B≥0。

引理3[2]設(shè)H為Herimitian陣，且分塊矩陣，Φ為正線性映射，則0。

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)A為n階Herimitian陣且 σ(A)?[m，M]，f，g，h為[m，M]上的實(shí)值函數(shù)且當(dāng) λ∈[m，M]時(shí) f(λ)≥0，g(λ)≥0，f(λ)g(λ)≥h2(λ)，Φ為Mn上的正線性映射且 Φ(f(A))＞0，Φ(g(A))＞0，則有 Φ(f(A))≥Φ(h(A))Φ－1(g(A))Φ(h(A))。

由引理3及(1)得

由引理1及(2)即得結(jié)論。

通過(guò)選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)f，g，g，由定理1可得到一些經(jīng)典的矩陣不等式，例如分別選取f(λ)=λ2，g(λ)，由定理1經(jīng)直接驗(yàn)算可得

推論1(Kadison's不等式)設(shè)Φ:Mn→Mk為單位正線性映射，則對(duì)任意的Herimitian矩陣A，

Φ2(A)≥Φ(A2)。

推論2(Choi's不等式)設(shè)Φ:Mn→Mk為單位正線性映射，則對(duì)任意的正定矩陣A，

Φ－1(A)≤Φ(A－1)。

當(dāng)k=1時(shí)，稱Φ為Mn上的線性泛函，下面我們借助于定理1給出矩陣空間上正線性泛函的一個(gè)新的矩陣不等式。

定理2 設(shè) Φ為Mn上的正線性泛函，A為正定陣，α1，α2，…，αm∈R，則有

證明 不妨設(shè)Φ為嚴(yán)格正線性泛函，取一組參數(shù)c1，c2，…，cm∈R+，使得c1c2…cm=1，由算術(shù)－幾何平均不等式得

Φ(f(A))≥Φ(h(A))Φ－1(g(A))Φ(h(A))，即

在定理2中分別取Φ(A)=x*A x，tr(AX)，其中x∈Cn，X為正定矩陣，可得

推論 3[4]設(shè) A為n 階正定 Herimitian 陣，x為n 維列向量，α1，α2，…，αm∈ R，則 有推論4 設(shè) A，X為n階正定 Herimitian陣，α1，α1，…，αm∈R，則有(Aα1X)tr(Aα2X)…tr(AαmX)。

[1]Rajendra B.Matrix analysis[M].New York:Springer－ Verlag，1997.

[2]Rajendra B.Positive Definite Matrices[M].Princeton:Princeton University Press，2007.

[3]詹興致.矩陣論[M].北京:高等教育出版社，2008.

[4]劉建忠.Cauchy不等式和 Kantorovich不等式的推廣[J].河北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2004，24(3):240－242.