彰顯數(shù)學(xué)之理性

數(shù)學(xué)是“有理”可講的，從生活現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)定說(shuō)起……

數(shù)學(xué)是一門具有嚴(yán)密的邏輯性與思考性的理性學(xué)科。

冬天，貓睡覺(jué)時(shí)總是把身體抱成一個(gè)球形，人睡覺(jué)感覺(jué)冷時(shí)，也喜歡縮成一團(tuán)。這是生活中的現(xiàn)象，但若以數(shù)學(xué)視角解讀，其隱含著規(guī)則之理：體積一定時(shí)，球形使身體的表面積最小，從而散發(fā)的熱量也最少。

我們?cè)跁r(shí)間和角度中一直沿用六十進(jìn)制，即1小時(shí) = 60分鐘，1分鐘 = 60秒，1° = 60′，1′= 60″。其有著存在之理：在1～100的自然數(shù)中，60是因數(shù)最多的數(shù)字。這對(duì)于當(dāng)時(shí)與實(shí)際生活密切相關(guān)的分?jǐn)?shù)計(jì)算，特別是約分極為有利，由此為六十進(jìn)制的淵源增添了更具說(shuō)服力的證據(jù)。

比表示兩個(gè)數(shù)相除，比與分?jǐn)?shù)是相通的。既然是這樣，那為什么學(xué)過(guò)了分?jǐn)?shù)還要學(xué)習(xí)比呢？其有著需要之理：當(dāng)遇到諸如此類的問(wèn)題“配一杯咖啡，糖3克，咖啡粉4克，水50克。請(qǐng)表述三個(gè)量之間的關(guān)系”，顯然用一個(gè)分?jǐn)?shù)只能表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，而用比表述只需要一句話：糖、咖啡粉和水的質(zhì)量比為3∶4∶50。

正如以上實(shí)例，在很多的生活現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)定的背后，我們很容易找到客觀存在的數(shù)學(xué)之理。 “講理”應(yīng)該是數(shù)學(xué)之本色。

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該“講理”，從數(shù)學(xué)課堂說(shuō)開去……

數(shù)學(xué)教學(xué)可以、也應(yīng)該給學(xué)生呈現(xiàn)“講理”的一面，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以理性的力量去感染、震撼學(xué)生，引領(lǐng)學(xué)生在日常的、樸素的數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)中，伴隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程去靜心思考這是什么，為什么這樣，應(yīng)該怎么做，還可以怎么做。

一、由具體到一般，追尋規(guī)則之理

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從本質(zhì)上看是“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，它需要借助于一個(gè)個(gè)具體的實(shí)際問(wèn)題去實(shí)現(xiàn)，但某個(gè)具體問(wèn)題的解決卻不是其最終的目的，它更需要我們帶著學(xué)生去追問(wèn)具有普遍價(jià)值和意義的規(guī)則之理（數(shù)學(xué)模型），以實(shí)現(xiàn)“就事論事”到“以理論事”的轉(zhuǎn)變。這樣，學(xué)生才有可能會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)則去解決更多具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)“以一當(dāng)十、觸類旁通、舉一反三”。

【相關(guān)內(nèi)容：蘇教版教材五下《奇妙的圖形密鋪》】

學(xué)生已經(jīng)知道正六邊形可以密鋪，在此基礎(chǔ)上，教材安排了對(duì)圖中5個(gè)圖形能否密鋪的猜和驗(yàn)。然而，教學(xué)完上述內(nèi)容后，我想到這樣一個(gè)問(wèn)題（也是我的擔(dān)憂之處）：“學(xué)生雖然知道這5個(gè)圖形能否密鋪了，但如果再出示一個(gè)規(guī)則圖形，讓學(xué)生判斷其是否能密鋪，學(xué)生會(huì)怎么做呢？學(xué)生還能輕松應(yīng)對(duì)嗎？”

于是，我試著提出：“你覺(jué)得正八邊形可以密鋪嗎？要解決這個(gè)問(wèn)題，你覺(jué)得可以怎么做？”

“用正八邊形來(lái)拼一拼?！庇袑W(xué)生提議道。（這在我的意料之中）

“動(dòng)手操作來(lái)研究是一種很好的方法，但我們沒(méi)有準(zhǔn)備正八邊形，這怎么辦呢？不如，我們來(lái)研究一下，正五邊形為什么不可以密鋪，正六邊形為什么可以，從中我們也許能有所發(fā)現(xiàn)?！?/p>

研究反例，結(jié)合圖1，我?guī)е鴮W(xué)生研究、思考：（1）正五邊形每個(gè)內(nèi)角多少度？（108度，學(xué)生四年級(jí)學(xué)過(guò)）（2）那能解釋為什么會(huì)有縫隙，不能密鋪嗎？（108+108+108=324度，而周角為360度。）

研究正例，結(jié)合圖2，學(xué)生自己思考：結(jié)合正六邊形的內(nèi)角，你能解釋它為什么可以密鋪嗎？（120×3=360度）

探尋一般規(guī)則：由此，我們可以知道：一個(gè)圖形只要符合什么條件就能密鋪？（幾個(gè)內(nèi)角合起來(lái)要為360°）那正八邊形可以嗎？

經(jīng)過(guò)以上的教學(xué)過(guò)程，如果此時(shí)再讓學(xué)生判斷一個(gè)圖形是否能密鋪，學(xué)生又會(huì)怎么做。我想更多的學(xué)生不會(huì)動(dòng)手去拼了，而是會(huì)用一般的規(guī)則（看幾個(gè)內(nèi)角能否拼成360°）去思考、研究和解決問(wèn)題。

由此看來(lái)，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要關(guān)注從個(gè)例到通例的過(guò)程，關(guān)注從具體的問(wèn)題到對(duì)一般規(guī)則追問(wèn)的過(guò)程，這樣的教學(xué)過(guò)程可以引導(dǎo)學(xué)生逐步形成一種新的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)方式（以研究者的姿態(tài)去思考、去反思），逐步形成一種自覺(jué)追問(wèn)數(shù)學(xué)一般規(guī)則的意識(shí)與習(xí)慣。

二、由常規(guī)到變化，體悟方法之理

有人說(shuō)，數(shù)學(xué)的知識(shí)、公理是固定且統(tǒng)一的。但是，我們還應(yīng)看到另外一面，即數(shù)學(xué)的方法與思維卻是多樣且可變的，并且多樣的、變化的背后又有著其相應(yīng)的合理。固定和多樣，統(tǒng)一和可變，對(duì)這辯證關(guān)系的解讀，我們唯有在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中去努力體現(xiàn)。

以《除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法》教學(xué)為例。除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算，轉(zhuǎn)化的基本方法為“除數(shù)小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)幾位，被除數(shù)也跟著移動(dòng)相同的位數(shù)”，這是本節(jié)課需要學(xué)生理解的重要轉(zhuǎn)化方法之一，但我又覺(jué)得這似乎不應(yīng)該是留給學(xué)生唯一的轉(zhuǎn)化方法思路。于是在最后的擴(kuò)展環(huán)節(jié)，我出示了這樣兩個(gè)除法算式：497÷700，1.1÷0.25。要求學(xué)生思考怎么轉(zhuǎn)化才能直接口算出結(jié)果。問(wèn)題的變化，相應(yīng)的解決方法也隨之變化：497÷700與原先的轉(zhuǎn)化思路正好相反，即被除數(shù)和除數(shù)要同時(shí)除以100，轉(zhuǎn)化為4.97÷7；1.1÷0.25可以轉(zhuǎn)化為110÷25，但最簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化方法卻是被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘4，轉(zhuǎn)化為4.4÷1。

兩道變式練習(xí)，打破了學(xué)生對(duì)所學(xué)轉(zhuǎn)化方法思路的思維定勢(shì)，學(xué)生更是經(jīng)歷了一次思維風(fēng)暴，感悟到“每個(gè)問(wèn)題其實(shí)都有一種合理或幾種相對(duì)合理的解決方法”，體會(huì)到“面對(duì)不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，有時(shí)需要變化方法思路，有時(shí)更需要變換一種思維方式”！

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅要讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)方法那固定的“一”，還需要讓學(xué)生有機(jī)會(huì)去感受數(shù)學(xué)方法那變化著的“多”和相對(duì)合理的“一”。

三、由外顯到內(nèi)在，發(fā)掘本質(zhì)之理

與很多學(xué)科不同的是，有些數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決從直覺(jué)上感知是“有理的”，但事實(shí)上卻是錯(cuò)誤的，然而這也正是數(shù)學(xué)魅力之所在，是能引起學(xué)生好奇心和探索欲的原因之所在。

【相關(guān)內(nèi)容：蘇教版教材四年級(jí)上冊(cè)《間隔規(guī)律的運(yùn)用》】

教材在新授部分安排的素材是“有5只兔子排隊(duì)做操，相鄰的兩只兔子相隔2米，隊(duì)伍長(zhǎng)多少米”，在試一試環(huán)節(jié)安排的是“如果有10只兔子像這樣排成一排做操，兔子的隊(duì)伍長(zhǎng)多少米”。我在班上進(jìn)行了以下教學(xué)實(shí)踐：

1.猜想——讓直覺(jué)先行。先讓學(xué)生求出5只兔子的隊(duì)伍長(zhǎng)度為8米，我提出：5只兔子排成的隊(duì)伍長(zhǎng)8米，同學(xué)們先不要算，用你的經(jīng)驗(yàn)與感覺(jué)猜一猜10只兔子排成的隊(duì)伍可能會(huì)長(zhǎng)多少米？（學(xué)生都認(rèn)為是16米，理由是兔子“10只”是“5只”的2倍，那長(zhǎng)度也應(yīng)該是其2倍。）

2.驗(yàn)證——讓矛盾呈現(xiàn)。師：大家都猜是16米，那猜得對(duì)不對(duì)呢？請(qǐng)你們用可靠的方法進(jìn)行驗(yàn)證。學(xué)生先求出間隔數(shù)：10-1=9（個(gè)），再求出長(zhǎng)度：2×9=18（米），這時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)算的結(jié)果與猜的結(jié)果并不一樣！于是不少學(xué)生喊了起來(lái)：“怎么不對(duì)呀？”

3.解釋——讓本質(zhì)凸顯。教師故意說(shuō)道：“‘10只兔子是5只的2倍，那長(zhǎng)度也應(yīng)該是2倍，大家的想法聽起來(lái)挺有道理，那這里為什么卻不對(duì)呢？”引導(dǎo)學(xué)生分析思考“隊(duì)伍的長(zhǎng)度其實(shí)與什么有關(guān)”。雖然從兔子只數(shù)看，10是5的2倍，但隊(duì)伍的長(zhǎng)度應(yīng)該與間隔數(shù)有關(guān)，5只兔子4個(gè)間隔，10只兔子9個(gè)間隔，9并不是4的2倍。

“10只是5只的2倍，而其排成的長(zhǎng)度卻不是2倍了?！睌?shù)學(xué)有著太多這樣的不可思議！我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不正是要關(guān)注并有效展現(xiàn)這種出乎意料的不可思議嗎？不正是要讓學(xué)生帶著理性思考主動(dòng)理解這些不可思議的本質(zhì)之理嗎？直覺(jué)、想象、質(zhì)疑、尋源……這是數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生后天理性精神養(yǎng)成的價(jià)值之所在。

數(shù)學(xué)，理所當(dāng)然應(yīng)該講理；數(shù)學(xué)教學(xué)，理所當(dāng)然應(yīng)該彰顯數(shù)學(xué)之理！

數(shù)學(xué)是“有理”可講的，從生活現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)定說(shuō)起……

數(shù)學(xué)是一門具有嚴(yán)密的邏輯性與思考性的理性學(xué)科。

冬天，貓睡覺(jué)時(shí)總是把身體抱成一個(gè)球形，人睡覺(jué)感覺(jué)冷時(shí)，也喜歡縮成一團(tuán)。這是生活中的現(xiàn)象，但若以數(shù)學(xué)視角解讀，其隱含著規(guī)則之理：體積一定時(shí)，球形使身體的表面積最小，從而散發(fā)的熱量也最少。

我們?cè)跁r(shí)間和角度中一直沿用六十進(jìn)制，即1小時(shí) = 60分鐘，1分鐘 = 60秒，1° = 60′，1′= 60″。其有著存在之理：在1～100的自然數(shù)中，60是因數(shù)最多的數(shù)字。這對(duì)于當(dāng)時(shí)與實(shí)際生活密切相關(guān)的分?jǐn)?shù)計(jì)算，特別是約分極為有利，由此為六十進(jìn)制的淵源增添了更具說(shuō)服力的證據(jù)。

比表示兩個(gè)數(shù)相除，比與分?jǐn)?shù)是相通的。既然是這樣，那為什么學(xué)過(guò)了分?jǐn)?shù)還要學(xué)習(xí)比呢？其有著需要之理：當(dāng)遇到諸如此類的問(wèn)題“配一杯咖啡，糖3克，咖啡粉4克，水50克。請(qǐng)表述三個(gè)量之間的關(guān)系”，顯然用一個(gè)分?jǐn)?shù)只能表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，而用比表述只需要一句話：糖、咖啡粉和水的質(zhì)量比為3∶4∶50。

正如以上實(shí)例，在很多的生活現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)定的背后，我們很容易找到客觀存在的數(shù)學(xué)之理。 “講理”應(yīng)該是數(shù)學(xué)之本色。

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該“講理”，從數(shù)學(xué)課堂說(shuō)開去……

數(shù)學(xué)教學(xué)可以、也應(yīng)該給學(xué)生呈現(xiàn)“講理”的一面，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以理性的力量去感染、震撼學(xué)生，引領(lǐng)學(xué)生在日常的、樸素的數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)中，伴隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程去靜心思考這是什么，為什么這樣，應(yīng)該怎么做，還可以怎么做。

一、由具體到一般，追尋規(guī)則之理

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從本質(zhì)上看是“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，它需要借助于一個(gè)個(gè)具體的實(shí)際問(wèn)題去實(shí)現(xiàn)，但某個(gè)具體問(wèn)題的解決卻不是其最終的目的，它更需要我們帶著學(xué)生去追問(wèn)具有普遍價(jià)值和意義的規(guī)則之理（數(shù)學(xué)模型），以實(shí)現(xiàn)“就事論事”到“以理論事”的轉(zhuǎn)變。這樣，學(xué)生才有可能會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)則去解決更多具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)“以一當(dāng)十、觸類旁通、舉一反三”。

【相關(guān)內(nèi)容：蘇教版教材五下《奇妙的圖形密鋪》】

學(xué)生已經(jīng)知道正六邊形可以密鋪，在此基礎(chǔ)上，教材安排了對(duì)圖中5個(gè)圖形能否密鋪的猜和驗(yàn)。然而，教學(xué)完上述內(nèi)容后，我想到這樣一個(gè)問(wèn)題（也是我的擔(dān)憂之處）：“學(xué)生雖然知道這5個(gè)圖形能否密鋪了，但如果再出示一個(gè)規(guī)則圖形，讓學(xué)生判斷其是否能密鋪，學(xué)生會(huì)怎么做呢？學(xué)生還能輕松應(yīng)對(duì)嗎？”

于是，我試著提出：“你覺(jué)得正八邊形可以密鋪嗎？要解決這個(gè)問(wèn)題，你覺(jué)得可以怎么做？”

“用正八邊形來(lái)拼一拼。”有學(xué)生提議道。（這在我的意料之中）

“動(dòng)手操作來(lái)研究是一種很好的方法，但我們沒(méi)有準(zhǔn)備正八邊形，這怎么辦呢？不如，我們來(lái)研究一下，正五邊形為什么不可以密鋪，正六邊形為什么可以，從中我們也許能有所發(fā)現(xiàn)?！?/p>

研究反例，結(jié)合圖1，我?guī)е鴮W(xué)生研究、思考：（1）正五邊形每個(gè)內(nèi)角多少度？（108度，學(xué)生四年級(jí)學(xué)過(guò)）（2）那能解釋為什么會(huì)有縫隙，不能密鋪嗎？（108+108+108=324度，而周角為360度。）

研究正例，結(jié)合圖2，學(xué)生自己思考：結(jié)合正六邊形的內(nèi)角，你能解釋它為什么可以密鋪嗎？（120×3=360度）

探尋一般規(guī)則：由此，我們可以知道：一個(gè)圖形只要符合什么條件就能密鋪？（幾個(gè)內(nèi)角合起來(lái)要為360°）那正八邊形可以嗎？

經(jīng)過(guò)以上的教學(xué)過(guò)程，如果此時(shí)再讓學(xué)生判斷一個(gè)圖形是否能密鋪，學(xué)生又會(huì)怎么做。我想更多的學(xué)生不會(huì)動(dòng)手去拼了，而是會(huì)用一般的規(guī)則（看幾個(gè)內(nèi)角能否拼成360°）去思考、研究和解決問(wèn)題。

由此看來(lái)，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要關(guān)注從個(gè)例到通例的過(guò)程，關(guān)注從具體的問(wèn)題到對(duì)一般規(guī)則追問(wèn)的過(guò)程，這樣的教學(xué)過(guò)程可以引導(dǎo)學(xué)生逐步形成一種新的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)方式（以研究者的姿態(tài)去思考、去反思），逐步形成一種自覺(jué)追問(wèn)數(shù)學(xué)一般規(guī)則的意識(shí)與習(xí)慣。

二、由常規(guī)到變化，體悟方法之理

有人說(shuō)，數(shù)學(xué)的知識(shí)、公理是固定且統(tǒng)一的。但是，我們還應(yīng)看到另外一面，即數(shù)學(xué)的方法與思維卻是多樣且可變的，并且多樣的、變化的背后又有著其相應(yīng)的合理。固定和多樣，統(tǒng)一和可變，對(duì)這辯證關(guān)系的解讀，我們唯有在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中去努力體現(xiàn)。

以《除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法》教學(xué)為例。除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算，轉(zhuǎn)化的基本方法為“除數(shù)小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)幾位，被除數(shù)也跟著移動(dòng)相同的位數(shù)”，這是本節(jié)課需要學(xué)生理解的重要轉(zhuǎn)化方法之一，但我又覺(jué)得這似乎不應(yīng)該是留給學(xué)生唯一的轉(zhuǎn)化方法思路。于是在最后的擴(kuò)展環(huán)節(jié)，我出示了這樣兩個(gè)除法算式：497÷700，1.1÷0.25。要求學(xué)生思考怎么轉(zhuǎn)化才能直接口算出結(jié)果。問(wèn)題的變化，相應(yīng)的解決方法也隨之變化：497÷700與原先的轉(zhuǎn)化思路正好相反，即被除數(shù)和除數(shù)要同時(shí)除以100，轉(zhuǎn)化為4.97÷7；1.1÷0.25可以轉(zhuǎn)化為110÷25，但最簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化方法卻是被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘4，轉(zhuǎn)化為4.4÷1。

兩道變式練習(xí)，打破了學(xué)生對(duì)所學(xué)轉(zhuǎn)化方法思路的思維定勢(shì)，學(xué)生更是經(jīng)歷了一次思維風(fēng)暴，感悟到“每個(gè)問(wèn)題其實(shí)都有一種合理或幾種相對(duì)合理的解決方法”，體會(huì)到“面對(duì)不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，有時(shí)需要變化方法思路，有時(shí)更需要變換一種思維方式”！

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅要讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)方法那固定的“一”，還需要讓學(xué)生有機(jī)會(huì)去感受數(shù)學(xué)方法那變化著的“多”和相對(duì)合理的“一”。

三、由外顯到內(nèi)在，發(fā)掘本質(zhì)之理

與很多學(xué)科不同的是，有些數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決從直覺(jué)上感知是“有理的”，但事實(shí)上卻是錯(cuò)誤的，然而這也正是數(shù)學(xué)魅力之所在，是能引起學(xué)生好奇心和探索欲的原因之所在。

【相關(guān)內(nèi)容：蘇教版教材四年級(jí)上冊(cè)《間隔規(guī)律的運(yùn)用》】

教材在新授部分安排的素材是“有5只兔子排隊(duì)做操，相鄰的兩只兔子相隔2米，隊(duì)伍長(zhǎng)多少米”，在試一試環(huán)節(jié)安排的是“如果有10只兔子像這樣排成一排做操，兔子的隊(duì)伍長(zhǎng)多少米”。我在班上進(jìn)行了以下教學(xué)實(shí)踐：

1.猜想——讓直覺(jué)先行。先讓學(xué)生求出5只兔子的隊(duì)伍長(zhǎng)度為8米，我提出：5只兔子排成的隊(duì)伍長(zhǎng)8米，同學(xué)們先不要算，用你的經(jīng)驗(yàn)與感覺(jué)猜一猜10只兔子排成的隊(duì)伍可能會(huì)長(zhǎng)多少米？（學(xué)生都認(rèn)為是16米，理由是兔子“10只”是“5只”的2倍，那長(zhǎng)度也應(yīng)該是其2倍。）

2.驗(yàn)證——讓矛盾呈現(xiàn)。師：大家都猜是16米，那猜得對(duì)不對(duì)呢？請(qǐng)你們用可靠的方法進(jìn)行驗(yàn)證。學(xué)生先求出間隔數(shù)：10-1=9（個(gè)），再求出長(zhǎng)度：2×9=18（米），這時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)算的結(jié)果與猜的結(jié)果并不一樣！于是不少學(xué)生喊了起來(lái)：“怎么不對(duì)呀？”

3.解釋——讓本質(zhì)凸顯。教師故意說(shuō)道：“‘10只兔子是5只的2倍，那長(zhǎng)度也應(yīng)該是2倍，大家的想法聽起來(lái)挺有道理，那這里為什么卻不對(duì)呢？”引導(dǎo)學(xué)生分析思考“隊(duì)伍的長(zhǎng)度其實(shí)與什么有關(guān)”。雖然從兔子只數(shù)看，10是5的2倍，但隊(duì)伍的長(zhǎng)度應(yīng)該與間隔數(shù)有關(guān)，5只兔子4個(gè)間隔，10只兔子9個(gè)間隔，9并不是4的2倍。

“10只是5只的2倍，而其排成的長(zhǎng)度卻不是2倍了?！睌?shù)學(xué)有著太多這樣的不可思議！我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不正是要關(guān)注并有效展現(xiàn)這種出乎意料的不可思議嗎？不正是要讓學(xué)生帶著理性思考主動(dòng)理解這些不可思議的本質(zhì)之理嗎？直覺(jué)、想象、質(zhì)疑、尋源……這是數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生后天理性精神養(yǎng)成的價(jià)值之所在。

數(shù)學(xué)，理所當(dāng)然應(yīng)該講理；數(shù)學(xué)教學(xué)，理所當(dāng)然應(yīng)該彰顯數(shù)學(xué)之理！

數(shù)學(xué)是“有理”可講的，從生活現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)定說(shuō)起……

數(shù)學(xué)是一門具有嚴(yán)密的邏輯性與思考性的理性學(xué)科。

冬天，貓睡覺(jué)時(shí)總是把身體抱成一個(gè)球形，人睡覺(jué)感覺(jué)冷時(shí)，也喜歡縮成一團(tuán)。這是生活中的現(xiàn)象，但若以數(shù)學(xué)視角解讀，其隱含著規(guī)則之理：體積一定時(shí)，球形使身體的表面積最小，從而散發(fā)的熱量也最少。

我們?cè)跁r(shí)間和角度中一直沿用六十進(jìn)制，即1小時(shí) = 60分鐘，1分鐘 = 60秒，1° = 60′，1′= 60″。其有著存在之理：在1～100的自然數(shù)中，60是因數(shù)最多的數(shù)字。這對(duì)于當(dāng)時(shí)與實(shí)際生活密切相關(guān)的分?jǐn)?shù)計(jì)算，特別是約分極為有利，由此為六十進(jìn)制的淵源增添了更具說(shuō)服力的證據(jù)。

比表示兩個(gè)數(shù)相除，比與分?jǐn)?shù)是相通的。既然是這樣，那為什么學(xué)過(guò)了分?jǐn)?shù)還要學(xué)習(xí)比呢？其有著需要之理：當(dāng)遇到諸如此類的問(wèn)題“配一杯咖啡，糖3克，咖啡粉4克，水50克。請(qǐng)表述三個(gè)量之間的關(guān)系”，顯然用一個(gè)分?jǐn)?shù)只能表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，而用比表述只需要一句話：糖、咖啡粉和水的質(zhì)量比為3∶4∶50。

正如以上實(shí)例，在很多的生活現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)定的背后，我們很容易找到客觀存在的數(shù)學(xué)之理。 “講理”應(yīng)該是數(shù)學(xué)之本色。

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該“講理”，從數(shù)學(xué)課堂說(shuō)開去……

數(shù)學(xué)教學(xué)可以、也應(yīng)該給學(xué)生呈現(xiàn)“講理”的一面，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以理性的力量去感染、震撼學(xué)生，引領(lǐng)學(xué)生在日常的、樸素的數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)中，伴隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程去靜心思考這是什么，為什么這樣，應(yīng)該怎么做，還可以怎么做。

一、由具體到一般，追尋規(guī)則之理

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從本質(zhì)上看是“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，它需要借助于一個(gè)個(gè)具體的實(shí)際問(wèn)題去實(shí)現(xiàn)，但某個(gè)具體問(wèn)題的解決卻不是其最終的目的，它更需要我們帶著學(xué)生去追問(wèn)具有普遍價(jià)值和意義的規(guī)則之理（數(shù)學(xué)模型），以實(shí)現(xiàn)“就事論事”到“以理論事”的轉(zhuǎn)變。這樣，學(xué)生才有可能會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)則去解決更多具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)“以一當(dāng)十、觸類旁通、舉一反三”。

【相關(guān)內(nèi)容：蘇教版教材五下《奇妙的圖形密鋪》】

學(xué)生已經(jīng)知道正六邊形可以密鋪，在此基礎(chǔ)上，教材安排了對(duì)圖中5個(gè)圖形能否密鋪的猜和驗(yàn)。然而，教學(xué)完上述內(nèi)容后，我想到這樣一個(gè)問(wèn)題（也是我的擔(dān)憂之處）：“學(xué)生雖然知道這5個(gè)圖形能否密鋪了，但如果再出示一個(gè)規(guī)則圖形，讓學(xué)生判斷其是否能密鋪，學(xué)生會(huì)怎么做呢？學(xué)生還能輕松應(yīng)對(duì)嗎？”

于是，我試著提出：“你覺(jué)得正八邊形可以密鋪嗎？要解決這個(gè)問(wèn)題，你覺(jué)得可以怎么做？”

“用正八邊形來(lái)拼一拼?！庇袑W(xué)生提議道。（這在我的意料之中）

“動(dòng)手操作來(lái)研究是一種很好的方法，但我們沒(méi)有準(zhǔn)備正八邊形，這怎么辦呢？不如，我們來(lái)研究一下，正五邊形為什么不可以密鋪，正六邊形為什么可以，從中我們也許能有所發(fā)現(xiàn)?！?/p>

研究反例，結(jié)合圖1，我?guī)е鴮W(xué)生研究、思考：（1）正五邊形每個(gè)內(nèi)角多少度？（108度，學(xué)生四年級(jí)學(xué)過(guò)）（2）那能解釋為什么會(huì)有縫隙，不能密鋪嗎？（108+108+108=324度，而周角為360度。）

研究正例，結(jié)合圖2，學(xué)生自己思考：結(jié)合正六邊形的內(nèi)角，你能解釋它為什么可以密鋪嗎？（120×3=360度）

探尋一般規(guī)則：由此，我們可以知道：一個(gè)圖形只要符合什么條件就能密鋪？（幾個(gè)內(nèi)角合起來(lái)要為360°）那正八邊形可以嗎？

經(jīng)過(guò)以上的教學(xué)過(guò)程，如果此時(shí)再讓學(xué)生判斷一個(gè)圖形是否能密鋪，學(xué)生又會(huì)怎么做。我想更多的學(xué)生不會(huì)動(dòng)手去拼了，而是會(huì)用一般的規(guī)則（看幾個(gè)內(nèi)角能否拼成360°）去思考、研究和解決問(wèn)題。

由此看來(lái)，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要關(guān)注從個(gè)例到通例的過(guò)程，關(guān)注從具體的問(wèn)題到對(duì)一般規(guī)則追問(wèn)的過(guò)程，這樣的教學(xué)過(guò)程可以引導(dǎo)學(xué)生逐步形成一種新的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)方式（以研究者的姿態(tài)去思考、去反思），逐步形成一種自覺(jué)追問(wèn)數(shù)學(xué)一般規(guī)則的意識(shí)與習(xí)慣。

二、由常規(guī)到變化，體悟方法之理

有人說(shuō)，數(shù)學(xué)的知識(shí)、公理是固定且統(tǒng)一的。但是，我們還應(yīng)看到另外一面，即數(shù)學(xué)的方法與思維卻是多樣且可變的，并且多樣的、變化的背后又有著其相應(yīng)的合理。固定和多樣，統(tǒng)一和可變，對(duì)這辯證關(guān)系的解讀，我們唯有在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中去努力體現(xiàn)。

以《除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法》教學(xué)為例。除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算，轉(zhuǎn)化的基本方法為“除數(shù)小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)幾位，被除數(shù)也跟著移動(dòng)相同的位數(shù)”，這是本節(jié)課需要學(xué)生理解的重要轉(zhuǎn)化方法之一，但我又覺(jué)得這似乎不應(yīng)該是留給學(xué)生唯一的轉(zhuǎn)化方法思路。于是在最后的擴(kuò)展環(huán)節(jié)，我出示了這樣兩個(gè)除法算式：497÷700，1.1÷0.25。要求學(xué)生思考怎么轉(zhuǎn)化才能直接口算出結(jié)果。問(wèn)題的變化，相應(yīng)的解決方法也隨之變化：497÷700與原先的轉(zhuǎn)化思路正好相反，即被除數(shù)和除數(shù)要同時(shí)除以100，轉(zhuǎn)化為4.97÷7；1.1÷0.25可以轉(zhuǎn)化為110÷25，但最簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化方法卻是被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘4，轉(zhuǎn)化為4.4÷1。

兩道變式練習(xí)，打破了學(xué)生對(duì)所學(xué)轉(zhuǎn)化方法思路的思維定勢(shì)，學(xué)生更是經(jīng)歷了一次思維風(fēng)暴，感悟到“每個(gè)問(wèn)題其實(shí)都有一種合理或幾種相對(duì)合理的解決方法”，體會(huì)到“面對(duì)不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，有時(shí)需要變化方法思路，有時(shí)更需要變換一種思維方式”！

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅要讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)方法那固定的“一”，還需要讓學(xué)生有機(jī)會(huì)去感受數(shù)學(xué)方法那變化著的“多”和相對(duì)合理的“一”。

三、由外顯到內(nèi)在，發(fā)掘本質(zhì)之理

與很多學(xué)科不同的是，有些數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決從直覺(jué)上感知是“有理的”，但事實(shí)上卻是錯(cuò)誤的，然而這也正是數(shù)學(xué)魅力之所在，是能引起學(xué)生好奇心和探索欲的原因之所在。

【相關(guān)內(nèi)容：蘇教版教材四年級(jí)上冊(cè)《間隔規(guī)律的運(yùn)用》】

教材在新授部分安排的素材是“有5只兔子排隊(duì)做操，相鄰的兩只兔子相隔2米，隊(duì)伍長(zhǎng)多少米”，在試一試環(huán)節(jié)安排的是“如果有10只兔子像這樣排成一排做操，兔子的隊(duì)伍長(zhǎng)多少米”。我在班上進(jìn)行了以下教學(xué)實(shí)踐：

1.猜想——讓直覺(jué)先行。先讓學(xué)生求出5只兔子的隊(duì)伍長(zhǎng)度為8米，我提出：5只兔子排成的隊(duì)伍長(zhǎng)8米，同學(xué)們先不要算，用你的經(jīng)驗(yàn)與感覺(jué)猜一猜10只兔子排成的隊(duì)伍可能會(huì)長(zhǎng)多少米？（學(xué)生都認(rèn)為是16米，理由是兔子“10只”是“5只”的2倍，那長(zhǎng)度也應(yīng)該是其2倍。）

2.驗(yàn)證——讓矛盾呈現(xiàn)。師：大家都猜是16米，那猜得對(duì)不對(duì)呢？請(qǐng)你們用可靠的方法進(jìn)行驗(yàn)證。學(xué)生先求出間隔數(shù)：10-1=9（個(gè)），再求出長(zhǎng)度：2×9=18（米），這時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)算的結(jié)果與猜的結(jié)果并不一樣！于是不少學(xué)生喊了起來(lái)：“怎么不對(duì)呀？”

3.解釋——讓本質(zhì)凸顯。教師故意說(shuō)道：“‘10只兔子是5只的2倍，那長(zhǎng)度也應(yīng)該是2倍，大家的想法聽起來(lái)挺有道理，那這里為什么卻不對(duì)呢？”引導(dǎo)學(xué)生分析思考“隊(duì)伍的長(zhǎng)度其實(shí)與什么有關(guān)”。雖然從兔子只數(shù)看，10是5的2倍，但隊(duì)伍的長(zhǎng)度應(yīng)該與間隔數(shù)有關(guān)，5只兔子4個(gè)間隔，10只兔子9個(gè)間隔，9并不是4的2倍。

“10只是5只的2倍，而其排成的長(zhǎng)度卻不是2倍了?！睌?shù)學(xué)有著太多這樣的不可思議！我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不正是要關(guān)注并有效展現(xiàn)這種出乎意料的不可思議嗎？不正是要讓學(xué)生帶著理性思考主動(dòng)理解這些不可思議的本質(zhì)之理嗎？直覺(jué)、想象、質(zhì)疑、尋源……這是數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生后天理性精神養(yǎng)成的價(jià)值之所在。

數(shù)學(xué)，理所當(dāng)然應(yīng)該講理；數(shù)學(xué)教學(xué)，理所當(dāng)然應(yīng)該彰顯數(shù)學(xué)之理！