一道月考題的反思、聯(lián)想與拓展

沈岳夫

波利亞指出：“拿一個(gè)有意義但又不復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題就好像通過(guò)一道門(mén)戶(hù)，把學(xué)生引入一個(gè)完整的領(lǐng)域.”在引領(lǐng)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的教學(xué)過(guò)程中，以典型試題作為案例引導(dǎo)學(xué)生自主探究，學(xué)生每解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，教師就引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己解決的問(wèn)題進(jìn)行反思、聯(lián)想.一方面反思問(wèn)題的解題方法、思路是否具有規(guī)律性，能否遷移處理類(lèi)似的問(wèn)題；另一方面反思問(wèn)題的圖形結(jié)構(gòu)能否改變，命題的條件能否弱化或加強(qiáng)，結(jié)論能否拓展、引申與推廣.這樣不但可以深化學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，優(yōu)化思維過(guò)程，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而且可以提高學(xué)生自主探究、分析問(wèn)題的創(chuàng)新能力.本文選取一道月考試題作為案例進(jìn)行反思、聯(lián)想、拓展，以饗讀者.1 試題及其解析

例1 如圖1，拋物線y=x2的頂點(diǎn)為P，A、B是拋物線上兩點(diǎn)，AB∥x軸，四邊形ABCD為矩形，CD邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，AB=2AD.

（1）求矩形ABCD的面積；

（2）若將拋物線“y=x2”改為拋物線“y=2x2”，其他條件不變，則矩形ABCD的面積為 ；若將拋物線“y=x2”改為拋物線“y=2x2+1”，其他條件不變，則矩形ABCD的面積為 ；

（3）若將拋物線“y=x2”改為拋物線“y=12x2+x+1”，其他條件不變，求矩形ABCD的面積.如圖2若改為拋物線“y=ax2+bx+c”（a、b、c為常數(shù)，a≠0），影響矩形ABCD面積的是a、b、c中的哪個(gè)量，直接寫(xiě)出矩形ABCD的面積.〖TPsyf-1.tif，BP〗〖TS（〗〖JZ〗圖1 圖2〖TS）〗

解析 （1）顯然，可知P（0，0）.設(shè)DP=AD=m（m>0，下同），則不難得D（-m，0），A（-m，m）.由（-m）2=m，進(jìn)而求得m=0（舍），m=1，所以矩形ABCD的面積為：AB·AD=2m2=2.

（2）仿照（1），不難求得本題答案依次是：12，12.

附加題：如圖6，設(shè)拋物線y1=a1（x+h1）2+k1，則C（-h1，k1）.過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，設(shè)AE=m，則B（-h1+m，k1+〖KF（〗3〖KF）〗m）.不難求得m=〖KF（〗3〖KF）〗a1.進(jìn)而得B（-h1+〖KF（〗3〖KF）〗a1，k1+3a1）.又點(diǎn)B為拋物線的C2頂點(diǎn)，所以y2=a2（x+h1-〖KF（〗3〖KF）〗a1）2+k1+3a1.因?yàn)閽佄锞€C2經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，進(jìn)而解得a2=-a1.從而得=-a1〖JB（[〗x2+2〖JB（（〗h1-〖KF（〗3〖KF）〗a1〖JB））〗x+〖JB（（〗h1-〖KF（〗3〖KF）〗a1〖JB））〗2〖JB）]〗+k1+3a1，則b2=-2a1〖JB（（〗h1-〖KF（〗3〖KF）〗a1〖JB））〗，即b2=-2a1〖JB（（〗b12a1-〖KF（〗3〖KF）〗a1〖JB））〗，化簡(jiǎn)整理得b1+b2=2〖KF（〗3〖KF）〗.

評(píng)注 此題構(gòu)造巧妙，問(wèn)題前后設(shè)計(jì)逐層遞進(jìn)，思維引導(dǎo)拾級(jí)而上.第（1）問(wèn)是探究1的變式，難度不大，類(lèi)比解決；第（2）問(wèn) 與第（1）問(wèn)相比，雖然表象發(fā)生了變化，解題思路一脈相承；附加題看似與前面沒(méi)有關(guān)聯(lián)，但只有在充分消化、理解、吸收第（1）問(wèn)、第（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，才能找到解題的突破口——用頂點(diǎn)式表示出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)→得到點(diǎn)B的坐標(biāo)→代入拋物線C2，得到C2的解析式→……，即抓住點(diǎn)C、點(diǎn)B的雙重身份解決問(wèn)題.縱觀整道題目及解答過(guò)程，可獲得如下的思維脈絡(luò)：感知（獲得初步經(jīng)驗(yàn)）——領(lǐng)悟（對(duì)經(jīng)驗(yàn)的提煉、積累）——變通（把經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)化、智能化）——遷移（活學(xué)活用，把經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為新情景下的思路，形成新的經(jīng)驗(yàn)）.如此的循環(huán)往復(fù)，學(xué)生的基本活動(dòng)就有了經(jīng)驗(yàn)獲得后成功的正能量支撐，為后續(xù)的學(xué)習(xí)蘊(yùn)足動(dòng)力.

學(xué)生的疑難主要是知識(shí)性疑難和策略性疑難.毋庸置疑，經(jīng)過(guò)這樣的課堂訓(xùn)練，對(duì)架構(gòu)在拋物線上圖形變換的規(guī)律題掌握比較熟練、扎實(shí)，這樣的訓(xùn)練一定是有效的，甚至是高效的，因?yàn)楹芎玫亟鉀Q了學(xué)生的知識(shí)性疑難.前面著重強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的訓(xùn)練，如果再追加探究3，那就更有利于對(duì)學(xué)生全面分析問(wèn)題和解決問(wèn)題思維品質(zhì)的培養(yǎng)，提高他們的發(fā)散力和創(chuàng)新力，為培養(yǎng)高尖人才奠定基礎(chǔ)，因?yàn)橛行У貛椭鷮W(xué)生解決了策略性疑難.

探究3 若將例1題中的“y=x2”改為“y=ax2+bx+c”，“AB =2AD”條件不要，其他條件不變，探索矩形ABCD面積為常數(shù)時(shí)，矩形ABCD需要滿(mǎn)足什么條件？并說(shuō)明理由.

解析 ABAD為常數(shù).設(shè)拋物線y=a（x+h）2+n，則P（-h，n）.設(shè)AD=m，由ABAD=k，得AB=km， PD=12AB=km2.則A〖JB（（〗-h-km2，n+m〖JB））〗，不難解得m=4ak2，所以矩形ABCD的面積為：AB·AD=km2=16a2k3.因?yàn)閍 為常數(shù)，所以k為常數(shù)時(shí)，矩形 ABCD的面積為常數(shù).

評(píng)注 本題是例1的拓展題，為學(xué)生提供了一個(gè)自主探究、觀察、猜想并進(jìn)行說(shuō)理驗(yàn)證的探究模型，讓學(xué)生能在一個(gè)逆向的數(shù)學(xué)情境中感悟知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，探索問(wèn)題的結(jié)論和規(guī)律的邊與不變，從而真正理解此類(lèi)問(wèn)題的特征，對(duì)所有學(xué)生來(lái)說(shuō)是公平、公正的，同時(shí)也對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)與教師的教學(xué)起到一個(gè)很好的引領(lǐng)作用. 4 幾點(diǎn)思考

由于在復(fù)習(xí)時(shí)間緊、任務(wù)重，我們既要系統(tǒng)地復(fù)習(xí)主干知識(shí)和核心知識(shí)，又要關(guān)注中考的熱點(diǎn)和試題特征，準(zhǔn)確把握復(fù)習(xí)方向；既要注重學(xué)生解題的數(shù)量和質(zhì)量，又要注重揭示解題的思維過(guò)程，發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維上的漏洞，及時(shí)加以彌補(bǔ)；既要關(guān)注習(xí)題的選擇，又要防止單純地就題論題，注重解題后的反思，以積累解題經(jīng)驗(yàn)、形成能力為落腳點(diǎn)；既要重視知識(shí)的綜合、聯(lián)系，又要關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法、策略、學(xué)科能力的訓(xùn)練和培養(yǎng)，把復(fù)習(xí)工作真正落到實(shí)處.在此，提出以下幾點(diǎn)反思.

4.1 反思解題思路

解題思路的形成，就是把從題目中捕捉的有關(guān)信息與從儲(chǔ)存機(jī)構(gòu)中提取的有關(guān)信息結(jié)合起來(lái)，進(jìn)行加工、重組與再生的過(guò)程.對(duì)思路的形成過(guò)程進(jìn)行反思，就是在解題結(jié)束后，回顧自己是如何對(duì)信息進(jìn)行加工、重組與再生.長(zhǎng)期堅(jiān)持這樣的反思，就可以總結(jié)出規(guī)律性的經(jīng)驗(yàn)，有利于思維監(jiān)控能力的提高，更是一種學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng).endprint

4.2 反思解題方法

著名數(shù)學(xué)家波利亞指出“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧……如果沒(méi)有了反思，他們就錯(cuò)過(guò)了解題的一次重要而有效益的方面” .很多數(shù)學(xué)題，由于審題的角度不同，往往有多種解法，如果只滿(mǎn)足于解出就行，時(shí)間長(zhǎng)了學(xué)生會(huì)養(yǎng)成“背題”的習(xí)慣，而不善于分析和思考.因此，解完一道題后，不應(yīng)滿(mǎn)足于已有解法，而應(yīng)再審題、再思考，看能否從其他角度或途徑去尋求新解，尋求最佳的解決方案. 4.3 反思解題規(guī)律

解題最基本的目的使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解，掌握思考問(wèn)題基本方法，形成技能、技巧，實(shí)現(xiàn)能力的有效遷移.因此，解完題目后，想一想：這道題滲透了哪些思想方法？有沒(méi)有規(guī)律可循？力求揭示解題規(guī)律，做到一般性的推廣和延伸，從而提高學(xué)生的化歸能力，提高自我監(jiān)控能力.特別是有些重要的數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)會(huì)分散在多次課中完成，這就需要學(xué)生做有心人，做好“回頭望”工作，把相關(guān)問(wèn)題的解決方法進(jìn)行歸類(lèi)整理，形成系統(tǒng)，整體把握，再次遇到這類(lèi)問(wèn)題就能觸類(lèi)旁通，要讓習(xí)題教學(xué)到達(dá)提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的目的.

從例1與3個(gè)探究過(guò)程中我們可以發(fā)現(xiàn)：猜想“改變圖形位置中結(jié)論變與不變”一類(lèi)問(wèn)題的命題思路為：?jiǎn)栴}（1）是根據(jù)特殊圖形（圖形的特殊位置）直接給出結(jié)論或證明的過(guò)程；問(wèn)題（2）是考查學(xué)生由問(wèn)題（1）搜索提取的有效信息，能否進(jìn)行合理的類(lèi)比歸納提出猜想，并對(duì)猜想選取有效解題策略進(jìn)行邏輯推理與證明；問(wèn)題（3）是由問(wèn)題（2）的拓展與延伸，當(dāng)然是在原題條件的基礎(chǔ)上弱化條件，變換圖形，繼續(xù)探究問(wèn)題結(jié)論變與不變.這樣的設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，既有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過(guò)程和數(shù)學(xué)思想方法的具體運(yùn)用.同時(shí)學(xué)生在解決問(wèn)題的層層深化推進(jìn)的過(guò)程中，體驗(yàn)到合情推理有助于探索解決問(wèn)題的思路、發(fā)現(xiàn)和猜想結(jié)論；演繹推理有助于驗(yàn)證結(jié)論的正確性.更重要的是給我們數(shù)學(xué)教學(xué)指明了航向，要求我們教師要突破傳統(tǒng)習(xí)題教學(xué)——題海戰(zhàn)術(shù)的瓶頸，發(fā)揮自己的教學(xué)智慧，積極挖掘課本中有效教學(xué)的素材，精心選編有典型性、可拓展性、遷移性的“題源”，對(duì)問(wèn)題的條件、結(jié)論、背景進(jìn)行創(chuàng)造性的改編，挖掘出問(wèn)題的本質(zhì)，通過(guò)邊與不變，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深層次構(gòu)建的數(shù)學(xué)能力，強(qiáng)化學(xué)生思維探究的靈活性、深刻性、創(chuàng)造性.能夠從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索出“變”的規(guī)律，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，體驗(yàn)“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”解題境界.endprint

4.2 反思解題方法

著名數(shù)學(xué)家波利亞指出“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧……如果沒(méi)有了反思，他們就錯(cuò)過(guò)了解題的一次重要而有效益的方面” .很多數(shù)學(xué)題，由于審題的角度不同，往往有多種解法，如果只滿(mǎn)足于解出就行，時(shí)間長(zhǎng)了學(xué)生會(huì)養(yǎng)成“背題”的習(xí)慣，而不善于分析和思考.因此，解完一道題后，不應(yīng)滿(mǎn)足于已有解法，而應(yīng)再審題、再思考，看能否從其他角度或途徑去尋求新解，尋求最佳的解決方案. 4.3 反思解題規(guī)律

解題最基本的目的使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解，掌握思考問(wèn)題基本方法，形成技能、技巧，實(shí)現(xiàn)能力的有效遷移.因此，解完題目后，想一想：這道題滲透了哪些思想方法？有沒(méi)有規(guī)律可循？力求揭示解題規(guī)律，做到一般性的推廣和延伸，從而提高學(xué)生的化歸能力，提高自我監(jiān)控能力.特別是有些重要的數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)會(huì)分散在多次課中完成，這就需要學(xué)生做有心人，做好“回頭望”工作，把相關(guān)問(wèn)題的解決方法進(jìn)行歸類(lèi)整理，形成系統(tǒng)，整體把握，再次遇到這類(lèi)問(wèn)題就能觸類(lèi)旁通，要讓習(xí)題教學(xué)到達(dá)提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的目的.

從例1與3個(gè)探究過(guò)程中我們可以發(fā)現(xiàn)：猜想“改變圖形位置中結(jié)論變與不變”一類(lèi)問(wèn)題的命題思路為：?jiǎn)栴}（1）是根據(jù)特殊圖形（圖形的特殊位置）直接給出結(jié)論或證明的過(guò)程；問(wèn)題（2）是考查學(xué)生由問(wèn)題（1）搜索提取的有效信息，能否進(jìn)行合理的類(lèi)比歸納提出猜想，并對(duì)猜想選取有效解題策略進(jìn)行邏輯推理與證明；問(wèn)題（3）是由問(wèn)題（2）的拓展與延伸，當(dāng)然是在原題條件的基礎(chǔ)上弱化條件，變換圖形，繼續(xù)探究問(wèn)題結(jié)論變與不變.這樣的設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，既有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過(guò)程和數(shù)學(xué)思想方法的具體運(yùn)用.同時(shí)學(xué)生在解決問(wèn)題的層層深化推進(jìn)的過(guò)程中，體驗(yàn)到合情推理有助于探索解決問(wèn)題的思路、發(fā)現(xiàn)和猜想結(jié)論；演繹推理有助于驗(yàn)證結(jié)論的正確性.更重要的是給我們數(shù)學(xué)教學(xué)指明了航向，要求我們教師要突破傳統(tǒng)習(xí)題教學(xué)——題海戰(zhàn)術(shù)的瓶頸，發(fā)揮自己的教學(xué)智慧，積極挖掘課本中有效教學(xué)的素材，精心選編有典型性、可拓展性、遷移性的“題源”，對(duì)問(wèn)題的條件、結(jié)論、背景進(jìn)行創(chuàng)造性的改編，挖掘出問(wèn)題的本質(zhì)，通過(guò)邊與不變，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深層次構(gòu)建的數(shù)學(xué)能力，強(qiáng)化學(xué)生思維探究的靈活性、深刻性、創(chuàng)造性.能夠從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索出“變”的規(guī)律，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，體驗(yàn)“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”解題境界.endprint

4.2 反思解題方法

著名數(shù)學(xué)家波利亞指出“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧……如果沒(méi)有了反思，他們就錯(cuò)過(guò)了解題的一次重要而有效益的方面” .很多數(shù)學(xué)題，由于審題的角度不同，往往有多種解法，如果只滿(mǎn)足于解出就行，時(shí)間長(zhǎng)了學(xué)生會(huì)養(yǎng)成“背題”的習(xí)慣，而不善于分析和思考.因此，解完一道題后，不應(yīng)滿(mǎn)足于已有解法，而應(yīng)再審題、再思考，看能否從其他角度或途徑去尋求新解，尋求最佳的解決方案. 4.3 反思解題規(guī)律

解題最基本的目的使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解，掌握思考問(wèn)題基本方法，形成技能、技巧，實(shí)現(xiàn)能力的有效遷移.因此，解完題目后，想一想：這道題滲透了哪些思想方法？有沒(méi)有規(guī)律可循？力求揭示解題規(guī)律，做到一般性的推廣和延伸，從而提高學(xué)生的化歸能力，提高自我監(jiān)控能力.特別是有些重要的數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)會(huì)分散在多次課中完成，這就需要學(xué)生做有心人，做好“回頭望”工作，把相關(guān)問(wèn)題的解決方法進(jìn)行歸類(lèi)整理，形成系統(tǒng)，整體把握，再次遇到這類(lèi)問(wèn)題就能觸類(lèi)旁通，要讓習(xí)題教學(xué)到達(dá)提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的目的.

從例1與3個(gè)探究過(guò)程中我們可以發(fā)現(xiàn)：猜想“改變圖形位置中結(jié)論變與不變”一類(lèi)問(wèn)題的命題思路為：?jiǎn)栴}（1）是根據(jù)特殊圖形（圖形的特殊位置）直接給出結(jié)論或證明的過(guò)程；問(wèn)題（2）是考查學(xué)生由問(wèn)題（1）搜索提取的有效信息，能否進(jìn)行合理的類(lèi)比歸納提出猜想，并對(duì)猜想選取有效解題策略進(jìn)行邏輯推理與證明；問(wèn)題（3）是由問(wèn)題（2）的拓展與延伸，當(dāng)然是在原題條件的基礎(chǔ)上弱化條件，變換圖形，繼續(xù)探究問(wèn)題結(jié)論變與不變.這樣的設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，既有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過(guò)程和數(shù)學(xué)思想方法的具體運(yùn)用.同時(shí)學(xué)生在解決問(wèn)題的層層深化推進(jìn)的過(guò)程中，體驗(yàn)到合情推理有助于探索解決問(wèn)題的思路、發(fā)現(xiàn)和猜想結(jié)論；演繹推理有助于驗(yàn)證結(jié)論的正確性.更重要的是給我們數(shù)學(xué)教學(xué)指明了航向，要求我們教師要突破傳統(tǒng)習(xí)題教學(xué)——題海戰(zhàn)術(shù)的瓶頸，發(fā)揮自己的教學(xué)智慧，積極挖掘課本中有效教學(xué)的素材，精心選編有典型性、可拓展性、遷移性的“題源”，對(duì)問(wèn)題的條件、結(jié)論、背景進(jìn)行創(chuàng)造性的改編，挖掘出問(wèn)題的本質(zhì)，通過(guò)邊與不變，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深層次構(gòu)建的數(shù)學(xué)能力，強(qiáng)化學(xué)生思維探究的靈活性、深刻性、創(chuàng)造性.能夠從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索出“變”的規(guī)律，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，體驗(yàn)“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”解題境界.endprint