斯特瓦特定理的純幾何證法

丁位卿

阿基米德（公元前287年—前212年），古希臘數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家，被后人尊稱為“數(shù)學(xué)之神”和“力學(xué)之父”，深得歐幾里德《幾何原本》的精髓，他的許多數(shù)學(xué)和物理上的獨特思想與發(fā)現(xiàn)，已遠遠超越了他所處的那個時代.

單墫教授《數(shù)學(xué)名題詞典》[1]介紹說：“據(jù)史料記載，斯特瓦特定理（以下簡稱斯氏定理），在公元前3世紀(jì)，由阿基米德首先發(fā)現(xiàn)并證明，1746年英國數(shù)學(xué)家斯特瓦特（Stewart）重新發(fā)現(xiàn)了它，可用來計算三角形中一些特殊線段的長（如中線、角平分線等）.”阿基米德如何證明斯氏定理，成為一個千古之謎，不過，圓的知識他已運用得爐火純青.筆者潛心鉆研，借助三角形外接圓，得到了如下的純幾何證法，供讀者參考指正.

斯特瓦特定理 如圖1，P為△ABC底邊BC上任意一點，則

AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.

證明 如圖2，作△ABC的外接圓⊙O，P為底邊BC邊上一點，延長AP與⊙O交于D，連接BD、DC.不失一般性，設(shè)∠ABC>∠ACB，故過B點可作∠ABE=∠ACB交AP于E點，同樣，過C作∠ACF=∠ABC交PD（或其延長線）于F點.由作法知∠ABE=∠ACB，又∠ACB=∠ADB，所以∠ABE=∠ADB.又因為∠BAE=∠BAD，所以△ABE∽△ABDAEAB=ABADAB2=AE·AD=（AP-EP）·AD=AP·AD-EP·AD.……①

同理可證，△ACF∽△ACDAC2=AF·AD=（AP+PF）AD=AP·AD+PF·AD.……②

在⊙O與△ABC中，∠BEP=∠ABE+∠BAD.又∠ABE=∠ACB，∠BAD=∠BCD，所以∠BEP=∠ACB+∠BCD=∠ACD.

同理可證，∠PFC=∠ACD.所以∠BEP=∠PFCBE∥FC△BEP∽△CFPEPPF=BPPCPF·BP-EP·PC=0.……③

觀察①、②、③式，為消去EP和PF，

故①×PC+②×BP，并略加整理（注意到③式）得，

AB2·PC+AC2·BP=AP·AD（PC+BP）+（PF·BP-EP·PC）AD=AP·AD·BC=AP（AP+PD）BC=（AP2+AP·PD）BC，又因為AP·PD=BP·PC（相交弦定理），所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.斯氏定理得證.〖TPdwq-3.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗圖3〖TS）〗

當(dāng)∠ABC=∠ACB時，△BEP與△CFP退化為BP、PC兩條線段，此時，EP=PF=0（E、P、F三點重合），③顯然成立，其余證明完全相同.

需要說明的是：

（1）P為BC中點時，即BP=PC時，可得2AB2+2AC2=4AP2+BC2，此即為三角形中線公式.

（2）當(dāng)AP為∠BAC的角平

分線時，由斯氏定理結(jié)合角平分線定理，可求出角平分線長度，AP2=AB·AC-BP·PC，此即為另一著名的斯庫頓定理（證明略），同時也揭示出兩定理之間的神秘關(guān)系.

參考文獻

[1] 單墫.數(shù)學(xué)名題詞典[M].南京：江蘇教育出版社，2002：350.endprint

阿基米德（公元前287年—前212年），古希臘數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家，被后人尊稱為“數(shù)學(xué)之神”和“力學(xué)之父”，深得歐幾里德《幾何原本》的精髓，他的許多數(shù)學(xué)和物理上的獨特思想與發(fā)現(xiàn)，已遠遠超越了他所處的那個時代.

單墫教授《數(shù)學(xué)名題詞典》[1]介紹說：“據(jù)史料記載，斯特瓦特定理（以下簡稱斯氏定理），在公元前3世紀(jì)，由阿基米德首先發(fā)現(xiàn)并證明，1746年英國數(shù)學(xué)家斯特瓦特（Stewart）重新發(fā)現(xiàn)了它，可用來計算三角形中一些特殊線段的長（如中線、角平分線等）.”阿基米德如何證明斯氏定理，成為一個千古之謎，不過，圓的知識他已運用得爐火純青.筆者潛心鉆研，借助三角形外接圓，得到了如下的純幾何證法，供讀者參考指正.

斯特瓦特定理 如圖1，P為△ABC底邊BC上任意一點，則

AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.

證明 如圖2，作△ABC的外接圓⊙O，P為底邊BC邊上一點，延長AP與⊙O交于D，連接BD、DC.不失一般性，設(shè)∠ABC>∠ACB，故過B點可作∠ABE=∠ACB交AP于E點，同樣，過C作∠ACF=∠ABC交PD（或其延長線）于F點.由作法知∠ABE=∠ACB，又∠ACB=∠ADB，所以∠ABE=∠ADB.又因為∠BAE=∠BAD，所以△ABE∽△ABDAEAB=ABADAB2=AE·AD=（AP-EP）·AD=AP·AD-EP·AD.……①

同理可證，△ACF∽△ACDAC2=AF·AD=（AP+PF）AD=AP·AD+PF·AD.……②

在⊙O與△ABC中，∠BEP=∠ABE+∠BAD.又∠ABE=∠ACB，∠BAD=∠BCD，所以∠BEP=∠ACB+∠BCD=∠ACD.

同理可證，∠PFC=∠ACD.所以∠BEP=∠PFCBE∥FC△BEP∽△CFPEPPF=BPPCPF·BP-EP·PC=0.……③

觀察①、②、③式，為消去EP和PF，

故①×PC+②×BP，并略加整理（注意到③式）得，

AB2·PC+AC2·BP=AP·AD（PC+BP）+（PF·BP-EP·PC）AD=AP·AD·BC=AP（AP+PD）BC=（AP2+AP·PD）BC，又因為AP·PD=BP·PC（相交弦定理），所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.斯氏定理得證.〖TPdwq-3.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗圖3〖TS）〗

當(dāng)∠ABC=∠ACB時，△BEP與△CFP退化為BP、PC兩條線段，此時，EP=PF=0（E、P、F三點重合），③顯然成立，其余證明完全相同.

需要說明的是：

（1）P為BC中點時，即BP=PC時，可得2AB2+2AC2=4AP2+BC2，此即為三角形中線公式.

（2）當(dāng)AP為∠BAC的角平

分線時，由斯氏定理結(jié)合角平分線定理，可求出角平分線長度，AP2=AB·AC-BP·PC，此即為另一著名的斯庫頓定理（證明略），同時也揭示出兩定理之間的神秘關(guān)系.

參考文獻

[1] 單墫.數(shù)學(xué)名題詞典[M].南京：江蘇教育出版社，2002：350.endprint

阿基米德（公元前287年—前212年），古希臘數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家，被后人尊稱為“數(shù)學(xué)之神”和“力學(xué)之父”，深得歐幾里德《幾何原本》的精髓，他的許多數(shù)學(xué)和物理上的獨特思想與發(fā)現(xiàn)，已遠遠超越了他所處的那個時代.

單墫教授《數(shù)學(xué)名題詞典》[1]介紹說：“據(jù)史料記載，斯特瓦特定理（以下簡稱斯氏定理），在公元前3世紀(jì)，由阿基米德首先發(fā)現(xiàn)并證明，1746年英國數(shù)學(xué)家斯特瓦特（Stewart）重新發(fā)現(xiàn)了它，可用來計算三角形中一些特殊線段的長（如中線、角平分線等）.”阿基米德如何證明斯氏定理，成為一個千古之謎，不過，圓的知識他已運用得爐火純青.筆者潛心鉆研，借助三角形外接圓，得到了如下的純幾何證法，供讀者參考指正.

斯特瓦特定理 如圖1，P為△ABC底邊BC上任意一點，則

AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.

證明 如圖2，作△ABC的外接圓⊙O，P為底邊BC邊上一點，延長AP與⊙O交于D，連接BD、DC.不失一般性，設(shè)∠ABC>∠ACB，故過B點可作∠ABE=∠ACB交AP于E點，同樣，過C作∠ACF=∠ABC交PD（或其延長線）于F點.由作法知∠ABE=∠ACB，又∠ACB=∠ADB，所以∠ABE=∠ADB.又因為∠BAE=∠BAD，所以△ABE∽△ABDAEAB=ABADAB2=AE·AD=（AP-EP）·AD=AP·AD-EP·AD.……①

同理可證，△ACF∽△ACDAC2=AF·AD=（AP+PF）AD=AP·AD+PF·AD.……②

在⊙O與△ABC中，∠BEP=∠ABE+∠BAD.又∠ABE=∠ACB，∠BAD=∠BCD，所以∠BEP=∠ACB+∠BCD=∠ACD.

同理可證，∠PFC=∠ACD.所以∠BEP=∠PFCBE∥FC△BEP∽△CFPEPPF=BPPCPF·BP-EP·PC=0.……③

觀察①、②、③式，為消去EP和PF，

故①×PC+②×BP，并略加整理（注意到③式）得，

AB2·PC+AC2·BP=AP·AD（PC+BP）+（PF·BP-EP·PC）AD=AP·AD·BC=AP（AP+PD）BC=（AP2+AP·PD）BC，又因為AP·PD=BP·PC（相交弦定理），所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.斯氏定理得證.〖TPdwq-3.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗圖3〖TS）〗

當(dāng)∠ABC=∠ACB時，△BEP與△CFP退化為BP、PC兩條線段，此時，EP=PF=0（E、P、F三點重合），③顯然成立，其余證明完全相同.

需要說明的是：

（1）P為BC中點時，即BP=PC時，可得2AB2+2AC2=4AP2+BC2，此即為三角形中線公式.

（2）當(dāng)AP為∠BAC的角平

分線時，由斯氏定理結(jié)合角平分線定理，可求出角平分線長度，AP2=AB·AC-BP·PC，此即為另一著名的斯庫頓定理（證明略），同時也揭示出兩定理之間的神秘關(guān)系.

參考文獻

[1] 單墫.數(shù)學(xué)名題詞典[M].南京：江蘇教育出版社，2002：350.endprint