圖形平移規(guī)律在平行四邊形存在性問題中的應(yīng)用

邱小航

1 平移規(guī)律

人教版七年級數(shù)學(xué)下冊，在《平面直角坐標(biāo)系》一章“用坐標(biāo)表示平移”這節(jié)內(nèi)容中，總結(jié)歸納了圖形平移時圖形上各點坐標(biāo)變化規(guī)律：

①在平面直角坐標(biāo)系中，將點（x，y）向右（或向左）平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x+a，y）（或（x-a，y））；將點（x，y）向上（或向下）平移b個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x，y+b）（或（x，y-b））；

②對一個圖形平移，這個圖形上所有點坐標(biāo)都要發(fā)生相應(yīng)變化；反過來，從圖形上點的坐標(biāo)的某種變化，可以看出對這個圖形進(jìn)行了怎樣的平移.

2 基本規(guī)律應(yīng)用及解題規(guī)律總結(jié)

例題：已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點A（2，1），B（3，-1），C（-2，2）在平面內(nèi)求一點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出D點的坐標(biāo).

分析：假若以A、B、C、D為頂點的平行四邊形已經(jīng)存在，則有三種情況：

圖1可看作將A平移至B，C平移至D；

圖2可看作將B平移至A，C平移至D；

圖3可看作將C平移至A，B平移至D.

解：設(shè)D點坐標(biāo)為（x，y），則

①當(dāng)A（2，1）平移至B（3，-1）時，C（-2，2）平移至D（x，y），則x=-2+1=-1，y=2-2=0，故D（-1，0）；

②當(dāng)B（3，-1）平移至A（2，1）時，C（-2，2）平移至D（x，y），則x=-2-1=-3，y=2+2=4，故D（-3，4）；

③當(dāng)C（-2，2）平移至A（2，1）時，B（3，-1）平移至D（x，y），則x=3+4=7，y=-1-1=-2，故D（7，-2）；

綜上所述，滿足條件的點D有四個：分別是D1（-1，0），D2（-3，0），D3（7，-2）.

解題規(guī)律總結(jié)：例題當(dāng)然有多種平移方式，圖1可看作將線段AC沿AB平移至DB；或可看作將A平移至C，B平移至D等等.盡管有這么多平移方式，但它們實質(zhì)是相互等價的，那么如何做到不重復(fù)不遺漏地平移呢？

首先利用平移規(guī)律②將線的平移轉(zhuǎn)化成點的平移，例如“將線段AC沿線段AB平移至BD”可看作“將點A平移至B，按同樣方式將C平移至D”，這樣可減少研究對象種類；然后依據(jù)點的平移結(jié)合例題解題過程，可得到如下規(guī)律：在已知三點中，任選一點作為標(biāo)準(zhǔn)，按“一出二進(jìn)，由已知到未知”的順序進(jìn)行平移，就會做到不重不漏.譬如上面例題，就是以A為標(biāo)準(zhǔn)，“一出”即A平移至B（A平移至C亦可）；“二進(jìn)”即B平移至A；C平移至A；“由已知到未知”即每次均為已知點平移至未知點.另外，A平移至B或B平移至A時，AB為平行四邊形的邊；C平移至A時，AB為平行四邊形的對角線.

3 平移規(guī)律在平行四邊形存在性問題中的應(yīng)用

3.1 單動點問題

例1 （2013年湘潭）如圖4，在坐標(biāo)系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），拋物線y=12x2+bx-2的圖象過C點.〖TPqxh-2.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗圖4〖TS）〗

（1）求拋物線的解析式；

（2）平移該拋物線的對稱軸所在直線l.當(dāng)l移動到何處時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分？

（3）點P是拋物線上一動點，是否存在點P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

分析 運用平移規(guī)律解答本題問題（3）不僅思路簡潔，且計算簡便.

解 由（1）知C（3，1），設(shè)P（x，y）.

（?。┤鬉（1，0）平移至B（0，2）時，C（3，1）平移至P（x，y），可得x=3-1=2，y=1+2=3，則P（2，3），此時P不在拋物線上，舍去.

（ⅱ）若B（0，2）平移至A（1，0）時，C（3，1）平移至P（x，y），可得x=3+1=4，y=1-2=-1，則P（4，-1），此時P不在拋物線上，舍去.

（ⅲ）若C（3，1）平移至A（1，0）時，B（0，2）平移至P（x，y），可得x=0-2=-2，y=2-1=1，則P（-2，1），此時P在拋物線上.

故存在P（-2，1）使四邊形PACB為平行四邊形.

3.2 雙動點問題

例2 （2013年昆明）如圖5，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=4，OC=3，若拋物線的頂點在BC邊上，且拋物線經(jīng)過O，A兩點，直線AC交拋物線于點D.〖TPqxh-3.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗圖5〖TS）〗

（1）求拋物線的解析式；

（2）求點D的坐標(biāo)；

（3）若點M在拋物線上，點N在x軸上，是否存在以A，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

分析 本例問題（3）中點M、N均為未知點，可先設(shè)出點M、點N坐標(biāo)，并將M或N中的一個視為已知點，另一點作為未知點，仍可運用平移規(guī)律解題，這樣既避免了繁雜的幾何圖形分析，又避開了幾何推理.下面解法以A、D、N為已知點，A為標(biāo)準(zhǔn)點.

解 由（1）知y=-34x2+3x；由（2）知點D坐標(biāo)為（1，94）；

設(shè)M（x，-34x2+3x），N（xN，0），

（?。┊?dāng)A（4，0）平移至D（1，94）時，N（xN，0）平移至M（x，-34x2+3x），則

例3 （2013年遂寧）如圖6，拋物線y=-14x2+bx+c與x軸交于點A（2，0），交y軸于點B（0，52）.直線y=kx-32過點A與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點是D.〖TPqxh-4.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗圖6〖TS）〗endprint

（1）求拋物線y=-14x2+bx+c與直線y=kx-32的解析式；

（2）設(shè)點P是直線AD上方的拋物線上一動點（不與點A、D重合），過點P作y軸的平行線，交直線AD于點M，作DE⊥y軸于點E.探究：是否存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，作PN⊥AD于點N，設(shè)△PMN的周長為l，點P的橫坐標(biāo)為x，求l與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值.

分析 本題問題（2）中，P、M為未知點，C、E為已知點.同時MP∥CE，即CE為平行四邊形的邊，因此在應(yīng)用平移規(guī)律時只需考慮“C平移至E”與“E平移至C”這兩種情況即可.

解 由①知拋物線的解析式是y=-14x2-34x+52，直線的解析式是y=34x-32，

故C（0，-32），D（-8，-152），所以E（0，-152），設(shè)P（x，-14x2-34x+52），則M（x，34x-32）.

（?。┤鬋（0，-32）平移至E（0，-152）時，P（x，-14x2-34x+52）平移至M（x，34x-32），則-14x2-34x+52-6=34x-32，解得x1=-2，x2=-4，故P（-2，-3），P（-4，-32）.

（ⅱ）若E（0，-152）平移至C（0，-32）時，P（x，-14x2-34x-52）平移至M（x，34x-32），則

-14x2-34x+52+6=34x-32，解得x1=-10，x2=4，此時P點在直線AD下方，故舍去.

綜上所述，滿足條件的點P共有兩個，分別是（-2，-3），（-4，-32）.

3.3 多動點問題

例4 （2013年嘉興）如圖7，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=14（x-m）2-14m2+m的頂點為A，與y軸的交點為B，連結(jié)AB，AC⊥AB，交y軸于點C，延長CA到點D，使AD=AC，連結(jié)BD.作AE∥x軸，DE∥y軸.〖TPqxh-5.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗圖7〖TS）〗

（1）當(dāng)m=2時，求點B的坐標(biāo)；

（2）求DE的長？

（3）①設(shè)點D的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式？②過點D作AB的平行線，與第（3）①題確定的函數(shù)圖象的另一個交點為P，當(dāng)m為何值時，以A，B，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形？

分析 本題問題（3）②中A，B，D，P位置均為不定，參考答案是假設(shè)平行四邊形已經(jīng)存在，然后畫出大致草圖，利用平行四邊形性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，進(jìn)而求出含有參數(shù)m的P點坐標(biāo).

本題圖形的不確定性決定了思維的抽象性及復(fù)雜性，要想畫出草圖是很難的，故而圖形分析難度大.如此，幾何推理就難以展開，解題思路也會處處受阻.但若運用平移規(guī)律就會化繁為簡，化抽象為具體，繞開畫圖這個難點，更不需要圖形分析、幾何推理，輕松解答題目.在運用平移規(guī)律時，首先應(yīng)將這些坐標(biāo)中含參數(shù)的點當(dāng)作已知點，并選擇標(biāo)準(zhǔn)點，依據(jù)解題規(guī)律按步驟解題即可.另外，依據(jù)條件“DP∥AB”，可知AB為平行四邊形的邊，則只需考慮“A平移至B”與“B平移至A”兩種情況即可.

解 拋物線y=14（x-m）2-14m2+m頂點A的坐標(biāo)為（m，-14m2+m），與y軸交點B的坐標(biāo)為（0，m）.

由（3）①知D（2m，-14m2+m+4），

由（3）①知y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-116x2+12x+4，

故可設(shè)P（x，-116x2+12x+4）.endprint

（1）求拋物線y=-14x2+bx+c與直線y=kx-32的解析式；

（2）設(shè)點P是直線AD上方的拋物線上一動點（不與點A、D重合），過點P作y軸的平行線，交直線AD于點M，作DE⊥y軸于點E.探究：是否存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，作PN⊥AD于點N，設(shè)△PMN的周長為l，點P的橫坐標(biāo)為x，求l與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值.

分析 本題問題（2）中，P、M為未知點，C、E為已知點.同時MP∥CE，即CE為平行四邊形的邊，因此在應(yīng)用平移規(guī)律時只需考慮“C平移至E”與“E平移至C”這兩種情況即可.

解 由①知拋物線的解析式是y=-14x2-34x+52，直線的解析式是y=34x-32，

故C（0，-32），D（-8，-152），所以E（0，-152），設(shè)P（x，-14x2-34x+52），則M（x，34x-32）.

（?。┤鬋（0，-32）平移至E（0，-152）時，P（x，-14x2-34x+52）平移至M（x，34x-32），則-14x2-34x+52-6=34x-32，解得x1=-2，x2=-4，故P（-2，-3），P（-4，-32）.

（ⅱ）若E（0，-152）平移至C（0，-32）時，P（x，-14x2-34x-52）平移至M（x，34x-32），則

-14x2-34x+52+6=34x-32，解得x1=-10，x2=4，此時P點在直線AD下方，故舍去.

綜上所述，滿足條件的點P共有兩個，分別是（-2，-3），（-4，-32）.

3.3 多動點問題

例4 （2013年嘉興）如圖7，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=14（x-m）2-14m2+m的頂點為A，與y軸的交點為B，連結(jié)AB，AC⊥AB，交y軸于點C，延長CA到點D，使AD=AC，連結(jié)BD.作AE∥x軸，DE∥y軸.〖TPqxh-5.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗圖7〖TS）〗

（1）當(dāng)m=2時，求點B的坐標(biāo)；

（2）求DE的長？

（3）①設(shè)點D的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式？②過點D作AB的平行線，與第（3）①題確定的函數(shù)圖象的另一個交點為P，當(dāng)m為何值時，以A，B，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形？

分析 本題問題（3）②中A，B，D，P位置均為不定，參考答案是假設(shè)平行四邊形已經(jīng)存在，然后畫出大致草圖，利用平行四邊形性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，進(jìn)而求出含有參數(shù)m的P點坐標(biāo).

本題圖形的不確定性決定了思維的抽象性及復(fù)雜性，要想畫出草圖是很難的，故而圖形分析難度大.如此，幾何推理就難以展開，解題思路也會處處受阻.但若運用平移規(guī)律就會化繁為簡，化抽象為具體，繞開畫圖這個難點，更不需要圖形分析、幾何推理，輕松解答題目.在運用平移規(guī)律時，首先應(yīng)將這些坐標(biāo)中含參數(shù)的點當(dāng)作已知點，并選擇標(biāo)準(zhǔn)點，依據(jù)解題規(guī)律按步驟解題即可.另外，依據(jù)條件“DP∥AB”，可知AB為平行四邊形的邊，則只需考慮“A平移至B”與“B平移至A”兩種情況即可.

解 拋物線y=14（x-m）2-14m2+m頂點A的坐標(biāo)為（m，-14m2+m），與y軸交點B的坐標(biāo)為（0，m）.

由（3）①知D（2m，-14m2+m+4），

由（3）①知y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-116x2+12x+4，

故可設(shè)P（x，-116x2+12x+4）.endprint

（1）求拋物線y=-14x2+bx+c與直線y=kx-32的解析式；

（2）設(shè)點P是直線AD上方的拋物線上一動點（不與點A、D重合），過點P作y軸的平行線，交直線AD于點M，作DE⊥y軸于點E.探究：是否存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，作PN⊥AD于點N，設(shè)△PMN的周長為l，點P的橫坐標(biāo)為x，求l與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值.

分析 本題問題（2）中，P、M為未知點，C、E為已知點.同時MP∥CE，即CE為平行四邊形的邊，因此在應(yīng)用平移規(guī)律時只需考慮“C平移至E”與“E平移至C”這兩種情況即可.

解 由①知拋物線的解析式是y=-14x2-34x+52，直線的解析式是y=34x-32，

故C（0，-32），D（-8，-152），所以E（0，-152），設(shè)P（x，-14x2-34x+52），則M（x，34x-32）.

（?。┤鬋（0，-32）平移至E（0，-152）時，P（x，-14x2-34x+52）平移至M（x，34x-32），則-14x2-34x+52-6=34x-32，解得x1=-2，x2=-4，故P（-2，-3），P（-4，-32）.

（ⅱ）若E（0，-152）平移至C（0，-32）時，P（x，-14x2-34x-52）平移至M（x，34x-32），則

-14x2-34x+52+6=34x-32，解得x1=-10，x2=4，此時P點在直線AD下方，故舍去.

綜上所述，滿足條件的點P共有兩個，分別是（-2，-3），（-4，-32）.

3.3 多動點問題

例4 （2013年嘉興）如圖7，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=14（x-m）2-14m2+m的頂點為A，與y軸的交點為B，連結(jié)AB，AC⊥AB，交y軸于點C，延長CA到點D，使AD=AC，連結(jié)BD.作AE∥x軸，DE∥y軸.〖TPqxh-5.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗圖7〖TS）〗

（1）當(dāng)m=2時，求點B的坐標(biāo)；

（2）求DE的長？

（3）①設(shè)點D的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式？②過點D作AB的平行線，與第（3）①題確定的函數(shù)圖象的另一個交點為P，當(dāng)m為何值時，以A，B，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形？

分析 本題問題（3）②中A，B，D，P位置均為不定，參考答案是假設(shè)平行四邊形已經(jīng)存在，然后畫出大致草圖，利用平行四邊形性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，進(jìn)而求出含有參數(shù)m的P點坐標(biāo).

本題圖形的不確定性決定了思維的抽象性及復(fù)雜性，要想畫出草圖是很難的，故而圖形分析難度大.如此，幾何推理就難以展開，解題思路也會處處受阻.但若運用平移規(guī)律就會化繁為簡，化抽象為具體，繞開畫圖這個難點，更不需要圖形分析、幾何推理，輕松解答題目.在運用平移規(guī)律時，首先應(yīng)將這些坐標(biāo)中含參數(shù)的點當(dāng)作已知點，并選擇標(biāo)準(zhǔn)點，依據(jù)解題規(guī)律按步驟解題即可.另外，依據(jù)條件“DP∥AB”，可知AB為平行四邊形的邊，則只需考慮“A平移至B”與“B平移至A”兩種情況即可.

解 拋物線y=14（x-m）2-14m2+m頂點A的坐標(biāo)為（m，-14m2+m），與y軸交點B的坐標(biāo)為（0，m）.

由（3）①知D（2m，-14m2+m+4），

由（3）①知y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-116x2+12x+4，

故可設(shè)P（x，-116x2+12x+4）.endprint