由正難則反切入

王秋月

人們習慣的思維方式是正向思維，即從條件入手，進行正面的推導和論證，使問題得到解決.但有些數(shù)學問題，若直接從正面求解，則思維較易受阻，而“正難則反，順難則逆，直難則曲”是突破思維障礙的重要策略.

由正難則反切入的具體途徑有：定義、公式、法則的逆用；常量與變量的換位；反客為主；反證法；等等.下面舉例說明。

例1設(shè)a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，則代數(shù)式11a2+11b2的值為。

思路點撥：直接求解比較困難，可通過構(gòu)造方程求解?？稍O(shè)a，b為一元二次方程x2-3x+1=0的兩個實數(shù)根， 運用根與系數(shù)關(guān)系求解。

答案為7。

例2已知實數(shù)a、b、c滿足a≠b，且2002（a-b）+2002（b-c）+（c-a）=0，求（c-b）（c-a）1（a-b）2的值.

思路點撥：顯然求a、b、c的值或?qū)で骯、b、c的關(guān)系是困難的，若令2002=x，則2002=x2，原等式就可變形為關(guān)于x的一元二次方程，運用根與系數(shù)關(guān)系求解.

解： ∵a≠b，

∴可得到關(guān)于x的一元二次方程：（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0。

∵（a-b）+（b-c）+（c-a）=0，

∴方程必有一根為1。

設(shè)另一根為2002，則由韋達定理得

2002+1=c-b1a-b，

2002×1=c-a1a-b，

∴原式=c-a1a-b·c-a1a-b=2002（2002+1）=2002+2002。

例3設(shè)a、b、c為非零實數(shù)，且ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0，試問：a、b、c滿足什么條件時，三個二次方程中至少有一個方程有不等的實數(shù)根.

思路點撥：如從正面考慮，條件“三個方程中至少有一個方程有不等的實數(shù)根”所涉及的情況比較復雜，但從其反面考慮情況卻十分簡單，只有一種可能，即三個方程都沒有實數(shù)根，然后從全體實數(shù)中排除三個方程都無實數(shù)根的a、b、c的取值即可.

解：設(shè)三個二次方程都沒有不等實根，則

4b2-4c≤0，

4c2-4ab≤0，

4a2-4bc≤0。

三式相加，得a2+b2+c2-ab-bc-ca≤0。

∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0。

又（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，

∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0。

∴a=b，b=c，c=a。

這表明，若三個方程都沒有不等的實根，則a=b=c，因此當a、b、c為不全相等的非零實數(shù)時，三個方程至少有一個方程有不等的實數(shù)根。

例4能夠找到這樣的四個正整數(shù)，使得它們中任兩個數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)嗎？若能夠，請舉出一例；若不能夠，請說明理由.

思路點撥：先假設(shè)存在正整數(shù)n1，n2，n3，n4滿足ninj+2002=m2（i，j=1，2，3，4，m為正整數(shù)）.運用完全平方數(shù)性質(zhì)、奇偶性分析、分類討論綜合推理，若推出矛盾，則原假設(shè)不成立.

解：不能找到這樣的四個正整數(shù)，使得它們中任兩個數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)。

理由如下：偶數(shù)的平方能被4整除，奇數(shù)的平方被4除余1，也就是正整數(shù)的平方被4除余0或1。

若存在正整數(shù)n1，n2，n3，滿足ninj+2002=m2；i，j=1，2，3，4，m為正整數(shù)；因為2002被4除余2，所以ninj被4除應余2或3。

若正整數(shù)n1，n2，n3，n4中有兩個是偶數(shù)，不妨設(shè)n1，n2是偶數(shù)，則n1n2+2002被4除余2，與正整數(shù)的平方被4除余0或1不符，所以正整數(shù)n1，n2，n3，n4中至多有一個是偶數(shù)，至少有三個是奇數(shù)。

在這三個奇數(shù)中，被4除的余數(shù)可分為余1或3兩類，根據(jù)抽屜原理，必有兩個奇數(shù)屬于同一類，則它們的乘積被4除余1，與ninj被4除余2或3的結(jié)論矛盾。

綜上，不能找到這樣的四個正整數(shù)，使得它們中任兩個數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)。

正難則反在具體的解題中，還表現(xiàn)為下列各種形式：不通分母通分子；不求局部求整體；不先開方先平方；不用直接挖隱含；不算相等算不等；不求動態(tài)求靜態(tài)；等等.