三元一次方程組解法例析

顧興群

解三元一次方程組的基本思想是消元，即先將三元轉(zhuǎn)化為二元、再將二元轉(zhuǎn)化為一元，最終達(dá)到求出未知數(shù)的值的目的。

下面舉例分析三元一次方程組的解法。

第一，對(duì)于一些特殊的方程組，可根據(jù)方程組中方程的特點(diǎn)，采用一些特殊的解法（如整體求解、設(shè)比例系數(shù)等）來消元。

例1解方程組x12=y13=z15，①

x-2y+3z=22。②

分析：因?yàn)棰偈且粋€(gè)連等的形式，所以可根據(jù)其特點(diǎn)令其等于一個(gè)常數(shù)k，直接將三元轉(zhuǎn)化為一元求解。

解：設(shè)x12=y13=z15=k，

所以x=2k，y=3k，z=5k。

把它們代入②，整理得2k-6k+15k=22，解得k=2。

進(jìn)而解得x=4，y=6，z=10。

所以原方程組的解為x=4，

y=6，

z=10。

第二，若方程組中某個(gè)方程缺某個(gè)元，則可從另外兩個(gè)方程消去這個(gè)元，轉(zhuǎn)化為二元一次方程求解。

例2解方程組x+3y+2z=2，①

2x-y=7，②

3x+2y-4z=3。③

分析：由于方程②中缺少z項(xiàng)，所以先利用①、③消去z。

解：①×2+③，得5x+8y=7。④

②×8+④，得21x=63，即x=3，從而得y=1。

把x=3，y=1代入①，得z=1。

第三，整體代入消元。

例3解方程組x+y+z=26，①

x-y=1，②

2x+z-y=18。③

分析：將方程③左邊變形為含有方程①、②左邊代數(shù)式的形式，作整體代入便可消元求解。

解：方程③變形為。（x+y+z）+（x-y）-y=18。④

把①、②代入④，得26+1-y=18，解得y=9。

把y=9代入②，得x-9=1，解得x=10。

把x=10，y=9代入①，得z=7。

第四，設(shè)參數(shù)消元法。

例4解方程組x+y=1，①

y+z=6，②

z+x=3。③

分析：方程組的各個(gè)方程中所含未知數(shù)個(gè)數(shù)相等，且未知數(shù)的系數(shù)都是1，如果將三個(gè)方程相加，則可得x+y+z=5，用x+y+z=5減去每個(gè)方程，可以得到方程組的解。

解：①+②+③，得2（x+y+z）=10，即x+y+z=5。 ④

由④-①，得z=4，

④-②，得x=-1，

④-③，得y=2。

所以方程組的解為x=-1，

y=2，

z=4。

第五，先消去系數(shù)的絕對(duì)值相等（或成倍數(shù)關(guān)系）的未知數(shù)。

例5解方程組2x+4y+3z=9，①

3x-2y+5z=11，②

5x-6y+7z=13。③

分析：三個(gè)方程中y的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，因此先消去y比較簡(jiǎn)單。

解：①+②×2，得8x+13z=31。④

②×3-③，得4x+8z=20。⑤

④、⑤兩個(gè)方程中x的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，易消去x，由⑤×3-④，得3z=9，即z=3。

把z=3代入⑤，得x=-1。

把x=-1，z=3代入①，得y=112。

綜上所述，在解三元一次方程組時(shí)，學(xué)生應(yīng)具體問題具體分析，找出其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及系數(shù)之間的關(guān)系，靈活巧妙地消元，從而提高解題能力。