一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但不夠系統(tǒng)和完整，解決的方法偏向于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用。本文將主要結(jié)合二次函數(shù)圖像的性質(zhì)介紹一元二次方程實(shí)根分布的一些運(yùn)用。

研究一元二次方程根的分布問題的基本思想：利用函數(shù)思想研究一元二次方程根的分布問題。

解題思路：將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，再利用函數(shù)的圖像，找出判別式的符號，對稱軸的范圍與及特殊值的函數(shù)值的符號。

現(xiàn)將一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的兩個實(shí)根的常見分布情況作出探索和總結(jié)：

一 兩根都小于某個數(shù)

例1：一元二次方程x2+bx+c=0的兩根都小于1的條件是什么（見圖1）？

解：令f（x）=x2+bx+c

二 兩根在某個數(shù)的兩側(cè)

例2：一元二次方程x2+bx+c=0的兩根有一根大于1，一根小于1的條件是（如圖2）：

解 令f（x）=x2+bx+c

f（1）=b+c+1<0?b+c<-1

三 兩根在某個區(qū)間內(nèi)

例3：已知關(guān)于x的方程x2-2tx+t2-1=0的兩個實(shí)根介于-2和4之間，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

解：令f（x）=x2-2tx+t2-1，則：

四 兩根在兩個區(qū)間內(nèi)

例4：實(shí)數(shù)a在什么范圍內(nèi)取

值時，關(guān)于x的方程3x2-5x+a=0

的一根大于-2而小于0，另一根大

于1而小于3（如圖3）。

解：令f（x）=3x2-5x+a

五 兩根在某個區(qū)間的兩側(cè)

例5：已知方程x2+2mx+m=0的兩根一個根小于0，另一個根大于1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

題型變換：（1）已知方程x2+2mx+m=0的兩根在0和1之間，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）已知方程x2+2mx+m=0的兩根都大于0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）已知方程x2+2mx+m=0的兩根都小于1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

注：當(dāng)二次項系數(shù)小于0時，可轉(zhuǎn)化為大于0的來處理。

總之，在應(yīng)用一元二次方程根的分布理論解決根的分布及參數(shù)的取值范圍等問題時，應(yīng)將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)圖像來求解，要抓住以下三要素：（1）判別式的符號；（2）對稱軸的范圍；（3）端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號。

〔責(zé)任編輯：范可〕