初中幾何證明探源

【摘 要】本文主要是從邏輯的角度來探討什么是幾何的形式證明，以及如何來進(jìn)行推理、構(gòu)造證明的過程。首先引入了命題邏輯的初步知識(shí)，由此得到了相應(yīng)的一些運(yùn)算，利用這些相關(guān)概念以及運(yùn)算探討了什么是形式證明如何推理，最終從邏輯結(jié)構(gòu)上弄清了證明的過程是一系列命題所組成的一個(gè)序列，并通過初中幾何證明的具體實(shí)例加以證實(shí)。

【關(guān)鍵詞】形式證明 命題 邏輯推理 序列

【中圖分類號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）04-0141-02

在初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，幾何知識(shí)是許多學(xué)生都倍感頭痛的問題，尤其是幾何證明。這是一個(gè)較為普遍的現(xiàn)象，其成因頗多，既有主觀因素也不乏客觀因素。不少同學(xué)在聽老師講課時(shí)基本能懂能接受，但要其證明時(shí)就出現(xiàn)了這樣那樣的問題，不是不會(huì)寫證明過程，就是說不清理由；不是東扯西拉，就是前后銜接不上……還有就是想當(dāng)然者——“我覺得就是這樣的”；更有甚者，將舉例說明和證明混為一談，真可謂是“百花齊放”，諸如此，林林總總，本文不在此一一列舉。

何謂證明？“一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理，才能做出判斷，這個(gè)推理過程叫做證明?！比私贪妫吣昙?jí)下冊(cè)21頁，如是說。誠然，這不能說其不對(duì)，但也確實(shí)不夠清楚。什么是“推理過程”？具體問題又該如何“推理”？從課本的這段話中，我們恐怕不易弄清以上問題。許多初學(xué)幾何的初中生雖能朗朗上口地背誦定理，但卻不能真正理解其含義，更談不上對(duì)其的運(yùn)用。那么，為何初中生都普遍覺得幾何難學(xué)呢？問題究竟出在哪里？這些問題本文將稍后逐步探討。

幾何學(xué)是一門非常古老的學(xué)科，早在古希臘時(shí)期幾何學(xué)就已經(jīng)非常繁榮，比如歐式幾何。時(shí)至今日，我們所學(xué)的初等幾何基本上都是建立在經(jīng)歷了兩千多年的歐式幾何的基礎(chǔ)之上的，由此可見其古老性之一斑。雖然幾何學(xué)由來已久，并經(jīng)過了數(shù)千年的積淀和研究，然而它仍然令一代又一代的學(xué)習(xí)者為之困惑，緣何？筆者認(rèn)為，幾何學(xué)之難（尤其是幾何證明）關(guān)鍵在于其形式化的公理、定理、性質(zhì)以及演繹推理等。所謂形式化，即是用一系列約定的符號(hào)（如邏輯符號(hào)）來表示概念、符號(hào)化命題以及推理，并將一定范圍內(nèi)的所有正確的推理形式（邏輯規(guī)律）都匯集在一個(gè)整體中。在此基礎(chǔ)之上，由幾條公理及公設(shè)出發(fā)，并規(guī)定一些初始符號(hào)和規(guī)則，經(jīng)過有效的邏輯推理，得出若干新的、正確的、可靠的結(jié)論（即命題），這些命題的集合就形成一個(gè)公理系統(tǒng)，這就是形式化幾何。初中幾何主要研究的是平面幾何的圖形性質(zhì)及其數(shù)量關(guān)系，在歐式幾何的公理體系和框架下，早已經(jīng)形成了許多有關(guān)平面幾何的命題，但是教師在教學(xué)的過程中絕不能只告訴學(xué)生們一個(gè)結(jié)果，更多時(shí)候教師需要引導(dǎo)他們?nèi)ヌ剿鞑l(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)和證明他們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，要證明就必然要弄清形式化的推理。

下面，本文就從數(shù)理邏輯的角度來探討何謂推理？何謂證明？為此，需要介紹一些有關(guān)的數(shù)理邏輯概念和符號(hào)。

一 命題與邏輯運(yùn)算符

定義1：具有確定真假性的陳述句稱為命題。

凡是命題都有真值，命題的真值只有兩種情況，即取自集合{0，1}，具體情況是：真命題的真值為1，假命題的真值為0。

定義2：具有唯一確定真值的陳述句稱為命題。

要判斷一個(gè)語句是不是命題，需要注意兩點(diǎn)：一是先判斷其是否為陳述句；其次是看其真值是否唯一確定，這兩個(gè)條件缺一不可。例如，“x>5，x∈R”，該語句雖然是陳述句，但卻無法判斷真假。因?yàn)閤是可變的，當(dāng)x取3時(shí)，其為假命題；當(dāng)x取7時(shí)，其為真命題。這類語句可稱之為命題變?cè)蚍Q之為命題變量，值得注意的是命題變?cè)皇敲}，原因是其真值是可變的，時(shí)真時(shí)假。此外，還要特別注意像“我正在說謊話”這樣的陳述句，這個(gè)語句無論你假設(shè)其真值為“1”還是“0”都會(huì)推出矛盾，這樣的語句稱之為悖論。在數(shù)學(xué)中比較著名的有“羅素悖論”。

通常命題可分為簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題，簡(jiǎn)單命題就是不能分解成更簡(jiǎn)單的陳述句的命題，簡(jiǎn)單命題也稱為原子命題。復(fù)合命題就是除簡(jiǎn)單命題外的命題，復(fù)合命題也可以理解為是由邏輯運(yùn)算符聯(lián)結(jié)簡(jiǎn)單命題而成的。為了便于后面的討論，本文約定用小寫的英文字母p、q、r…表示命題或命題變?cè)?/p>

比較常用的邏輯運(yùn)算符有5種：（1）“”稱為否定運(yùn)算符，讀為“非”。（2）“”稱為合取運(yùn)算符，讀為“且”或“與”。（3）“”稱為合取運(yùn)算符，讀為“或”。（4）“”稱為蘊(yùn)含運(yùn)算符，讀為“蘊(yùn)含”。（5）“”稱為等價(jià)運(yùn)算符，讀為“等價(jià)”。

以上5種邏輯運(yùn)算有其優(yōu)先級(jí)，規(guī)定其優(yōu)先順序?yàn)椋海ǎ?、、、、、，其中“（）”的意思是有（）的就先算，然后再按照、、、、的順序來做運(yùn)算，對(duì)于同一優(yōu)先級(jí)的運(yùn)算符，先出現(xiàn)者先算。

二 推理和證明

定義3：命題公式遞歸定義如下：（1）單個(gè)的命題常量或命題變量是命題公式；（歸納基）。（2）若A、B是公式，那么A、AB、AB、AB和AB也是命題公式；（歸納步）。（3）所有的命題公式都是有限次使用（1）和（2）得到的符號(hào)串；（最小化）。

在這里可以使用大小寫英文字母表示命題公式，英文字母還可帶下標(biāo)。以后在沒有二義的情況下，將命題公式簡(jiǎn)稱為公式。命題邏輯的推理理論就是利用命題邏輯公式研究什么是有效的推理。

定義4：推理就是從前提集合開始演繹出結(jié)論的思維過程，前提集合是一系列已知的命題公式，結(jié)論是從前提集合出發(fā)應(yīng)用推理規(guī)則推出的命題公式。

若前提是一系列真命題，并且推理中嚴(yán)格遵守推理規(guī)則，則推出的結(jié)論也是真命題。在命題邏輯中，主要研究推理規(guī)則。

定義5：稱蘊(yùn)含式（A1A2…An）B為推理的形式結(jié)構(gòu)，A1，A2，…，An為推理的前提，B為推理的結(jié)論。若（A1A2…An）B為永真式，則稱從前提A1，A2，…，An推出結(jié)論B的推理正確（或說有效），B是A1，A2，…，An的邏輯結(jié)論或稱有效結(jié)論，否則稱推理不正確。若從前提A1，A2，…，An推出結(jié)論B的推理正確，則記為（A1A2…An）B。

通俗地講（A1A2…An）B即是說，若A1，A2，…，An都正確，則B也正確。清楚了什么是推理以及推理的結(jié)構(gòu)后，下面來討論什么是證明。

定義6：證明是一個(gè)描述推理過程的命題公式序列A1，A2，…，An，其中的每個(gè)命題公式或者是已知的前提，或者是由某些前提應(yīng)用推理規(guī)則得到的結(jié)論，滿足這樣條件的公式序列A1，A2，…，An稱為結(jié)論An的證明。

在證明中常用的推理規(guī)則有3條：（1）前提引入規(guī)則：在證明的任何步驟都可以引入已知的前提；（2）結(jié)論引入規(guī)則：在證明的任何步驟都可以引入這次已經(jīng)得到的結(jié)論作為后續(xù)證明的前提；（3）置換規(guī)則：在證明的任何步驟上，命題公式中的任何子公式都可用與之等值的公式置換，得到證明的公式序列的另一公式。

以上是一些基本的邏輯推理規(guī)則，如何運(yùn)用這些規(guī)則進(jìn)行推理和證明呢？在定義6中可以看到，證明實(shí)質(zhì)上就是要把已知的命題公式按照一定順序排列起來，那么具體問題的證明要如何來將那些已知的條件、公理、定理、推論以及性質(zhì)等（諸如此類在邏輯上都可視為命題公式）按照怎樣的順序來排列呢？下面，通過初中幾何中的具體實(shí)例進(jìn)一步體會(huì)理解證明的實(shí)質(zhì)。

例如，已知：如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=DB，AE=CF。

求證：DE=DF。

分析：由△ABC是等腰直角三角形可知，∠A=∠B=45°，由D是AB中點(diǎn)，可考慮連接CD，易得CD=AD，∠DCF=45°。從而不難發(fā)現(xiàn)△DCF≌△DAE。

證明：連接CD。

∵AC=BC；

∴∠A=∠B。

∵∠ACB=90°，AD=DB；

∴CD=BD=AD，∠DCB=∠B

=∠A。

∵AE=CF，∠A=∠DCB，AD=CD。

∴△DCF≌△DAE。

∴DE=DF。

上述證明的過程，實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)命題的序列，可以如下來看：（1）等腰三角形△ABC兩腰相等（AC=BC）；（2）等腰三角形△ABC兩底角相等（∠A=∠B）；（3）已知條件（∠ACB=90°，AD=DB）；（4）等腰三角形△DCB兩腰及兩底角相等；（5）等量減等量得等量（AE=CF），（4）得出的結(jié)論（∠A=∠DCB，AD=CD）；（6）三角形全等的判定定理SAS（△DCF≌△DAE）；（7）全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等（DE=DF）。

這里的（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）不就是一個(gè)序列嗎？并且序列中的（7）就是要證明的結(jié)論，其實(shí)所有的證明都是如此，只要按照邏輯的推理規(guī)則構(gòu)造出一個(gè)包含證明結(jié)論的序列即可。那么，在這七步的序列中運(yùn)用了哪些推理規(guī)則呢？（1）前提引入規(guī)則；（2）前提引入規(guī)則；（3）前提引入規(guī)則；（4）假言推理規(guī)則；（5）置換規(guī)則和結(jié)論引入規(guī)則；（6）假言推理規(guī)則；（7）假言推理規(guī)則。

數(shù)學(xué)能夠非常有效地訓(xùn)練人的邏輯思維能力，它是其他學(xué)科無可替代的，而數(shù)學(xué)證明又是最為有效的途徑，正如羅增儒先生所說，數(shù)學(xué)證明有助于獲得新的體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論；有助于增進(jìn)理解，只有清楚了一個(gè)命題的證明，才能真正理解該命題的內(nèi)容。對(duì)于幾何證明，首先應(yīng)該弄清題意，明確證明方向即把握好題目的已知條件和要證明的結(jié)論，然后結(jié)合圖形理清思路，把和本題有關(guān)的命題搜索出來，再來思考需要用到哪些定理，將其羅列出來，最后按照邏輯的思維方法把它們構(gòu)造成一個(gè)包含要證明結(jié)論的序列，這就完成了證明的過程。

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〔責(zé)任編輯：范可〕