由正則算子求解無阻尼耦合擺問題

【摘 要】通過物理與數(shù)學(xué)模型的建立，由正則算子K、U對(duì)無阻尼耦合擺進(jìn)行研究，導(dǎo)出了其解的一般形式，并討論了正則模式，直觀簡(jiǎn)明。

【關(guān)鍵詞】耦合擺 模型 正則模式

一、物理與數(shù)學(xué)模型建立

文獻(xiàn)【1】的耦合擺如圖1所示，長(zhǎng)度為，質(zhì)量分別為和的兩個(gè)擺，用勁度系數(shù)為的彈簧耦合起來。

二、模型的求解

（5）

三、 分析與討論

上述解形式（5）比文獻(xiàn)【1】給出的解表達(dá)式要簡(jiǎn)潔明了得多，用它來討論耦合擺的正則模式，直觀方便，物理圖像更清晰。

3.1 若，

則有.

可知僅出現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)，表明兩個(gè)擺彼此以相同的相位（同一步調(diào)），相同的振幅和頻率振動(dòng)（好像一個(gè)單擺一樣），這是兩擺中間的彈簧既不伸長(zhǎng)也不壓縮，根本失去作用。該模式是對(duì)稱的，對(duì)應(yīng)較低頻率為正則頻率[3]

3.2 若

則有

可知僅出現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)，此時(shí)兩擺振動(dòng)相位相反，彈簧以同等程度伸長(zhǎng)或壓縮.當(dāng)時(shí)，兩擺振幅也相同（均為）.該振動(dòng)模式是反對(duì)稱的模式，對(duì)應(yīng)的頻率為正則頻率.

3.3 耦合振動(dòng)的總能量為

第一個(gè)方括號(hào)所代表的項(xiàng)為的能量，第二個(gè)方括號(hào)所代表的項(xiàng)為的能量，最后一項(xiàng)與和有關(guān)為耦合能量或相互作用能，這種耦合作用使振動(dòng)能量在兩個(gè)振子之間傳遞.

參考文獻(xiàn)：

[1]周衍柏.理論力學(xué)教程（第2版）[M].北京：高等教育出版社，1985. 306-308.

[2]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方程（第1版）[M]. 北京：高等教育出版社，1985. 181-188.

[3]丁光濤.理論力學(xué)簡(jiǎn)明教程[M]. 北京：高等教育出版社，1989. 92-96.

作者簡(jiǎn)介：

蔣衛(wèi)東，男，生于1973年，1994年畢業(yè)于西華大學(xué)，講師。