群中同譜但不同構(gòu)的群的例子

【摘 要】本文找到了兩個(gè)不同構(gòu)的階群和使得這兩個(gè)群的各階子群個(gè)數(shù)，各階循環(huán)子群個(gè)數(shù)，各階交換子群個(gè)數(shù)，各階正規(guī)子群個(gè)數(shù)均相等。對(duì)徐明曜，曲海鵬在其《有限群》一書(shū)中提出的問(wèn)題12.1.12在3-群給出了一個(gè)否定回答。

【關(guān)鍵詞】同譜 子群個(gè)數(shù) 同構(gòu) 計(jì)數(shù)

為敘述方便， 我們先引入下列符號(hào)：設(shè)是有限3群， ，對(duì)于 我們用表示的階子群的個(gè)數(shù)，表示的階正規(guī)子群的個(gè)數(shù)， 表示的階交換子群的個(gè)數(shù)，表示的階循環(huán)子群的個(gè)數(shù)。

文[1]給出了群中同譜但不同構(gòu)群的例子。很自然的問(wèn)題是：在3-群中有沒(méi)有同譜但不同構(gòu)的群的例子？答案是肯定的，本文將給出3-群中同譜但不同構(gòu)的群的例子

例子 設(shè)n為正整數(shù)且。令

其中為某固定的模平方非剩余。則G與H不同構(gòu)，但G與H同譜。

證明 首先，我們有下列結(jié)論：

（1）；

（2）都是二元生成的亞交換3群，其階都是階；

（3）冪零類為；

（4）交換交換的；

（5）；

（6）

下面我們利用以上結(jié)論分四步來(lái)證明。

（Ⅰ）

由，從而，

經(jīng)計(jì)算可得：

（Ⅱ）

由，又，

于是有。

經(jīng)計(jì)算得：

（Ⅲ）

容易知道：。當(dāng)時(shí)，

由于。從而，。于是，有個(gè)極大子群。

因?yàn)?，并且，所以是不交換的；交換當(dāng)且僅當(dāng)；

交換當(dāng)且僅當(dāng)。

因此，當(dāng)時(shí)，

。

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，于是的個(gè)極大子群。這極大子群中只有交換。因此，。

從而，

同樣地計(jì)算得到：。

（Ⅳ）

當(dāng)時(shí)，下面先來(lái)計(jì)算的循環(huán)正規(guī)子群。為了方便起見(jiàn)，用來(lái)記的循環(huán)正規(guī)子群的個(gè)數(shù)。

則，

（2）當(dāng)時(shí)，下面先來(lái)計(jì)算的階非循環(huán)正規(guī)子群個(gè)數(shù)。

為了方便起見(jiàn)，用來(lái)記的階非循環(huán)正規(guī)子群的個(gè)數(shù)。首先來(lái)計(jì)算階非循環(huán)正規(guī)子群的個(gè)數(shù)。

則，

從而，

同樣地計(jì)算得到：。

由（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）、（Ⅳ）可知。

參考文獻(xiàn)：

[1]蔡?hào)|平，同譜但不同構(gòu)的群的例子， 山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）[J]. 2013， 2： 1～4.

[2]徐明曜，曲海鵬，有限群[M].北京：北京大學(xué)出版社，2010.

[3]徐明曜，有限群導(dǎo)引（上冊(cè)）[M].北京：科學(xué)出版社，1999.

作者簡(jiǎn)介：

蔡?hào)|平（1984—），男，河南陜縣人，碩士，講師（陜西國(guó)際商貿(mào)學(xué)院），主要從事有限群方面的研究。

基金項(xiàng)目：陜西國(guó)際商貿(mào)學(xué)院2013校級(jí)課題科研基金資助