摘要:本文重點(diǎn)闡述了當(dāng)前形式下預(yù)應(yīng)力梁的分析方式,并針對(duì)橫向振動(dòng)提出了模態(tài)攝動(dòng)方法,根據(jù)預(yù)應(yīng)力梁橫向振動(dòng)方程分析預(yù)加力對(duì)預(yù)應(yīng)力梁影響的三種可能性方程,最終設(shè)定算例,將三種方程帶入其中,分析不同偏心距帶來的影響,最終確立依靠模態(tài)攝動(dòng)方式,總結(jié)出偏心距較大預(yù)應(yīng)力對(duì)梁的自振特性有較大的影響這一思想。
關(guān)鍵詞:預(yù)應(yīng)力;B-E;模態(tài)攝動(dòng);偏心距
1.引言
預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)主要能夠解決建筑中不同受力方向力的構(gòu)造需求,通過改變預(yù)應(yīng)力,能有直接影響建筑構(gòu)造的動(dòng)力以及靜力。因此預(yù)應(yīng)力得到了廣泛的研究,但是預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)應(yīng)用范圍廣,預(yù)加力對(duì)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不同方向的影響,尤其是橫向振動(dòng)這一方面,二者之間有著復(fù)雜的關(guān)系,因此研究內(nèi)容有限。本文從建立預(yù)應(yīng)力梁振動(dòng)方程入手。以預(yù)應(yīng)力簡支梁為例,以文獻(xiàn)計(jì)算方程、Bernoulli-Euler"梁(簡稱"B-E"梁,即:軸心均勻梁)方程、模態(tài)攝動(dòng)方程為主要分析手法,進(jìn)一步的做了對(duì)比研究,希望通過本文的分析,大家能對(duì)模態(tài)攝動(dòng)方程有一個(gè)系統(tǒng)的了解。
2預(yù)應(yīng)力梁橫向振動(dòng)方程
2.1橫向振動(dòng)方程
本文以簡支梁為主要分析對(duì)象,通過圖1我們可以看出,將一對(duì)預(yù)加力作用在鋼筋混凝土預(yù)應(yīng)力簡支梁錨固點(diǎn)的兩端,我們?cè)O(shè)由于壓力所造成的偏心距為,設(shè)兩端軸壓力為,當(dāng)受到壓力時(shí),除了外,此時(shí)還應(yīng)當(dāng)有第三力存在,即為附加力偶,將這個(gè)力偶的初始值設(shè)為M="。綜上所述,參考這些設(shè)定值可以做出如下判斷:當(dāng)梁受到震動(dòng)從而產(chǎn)生變形時(shí)梁的兩端預(yù)加力一定會(huì)發(fā)生變化。通過此可設(shè)方程
(1)
在自由振動(dòng)條件下,預(yù)應(yīng)力梁的橫向彎曲振動(dòng)微分方程為:
=0(2)
式中"EI(x)為梁的抗彎剛度,m"為梁的單位長度質(zhì)量,y"為振動(dòng)位移。把式(1)代入式(2)得
=0(3)
若假定所考慮的是均勻梁,梁的截面抗彎剛度和單位梁長的質(zhì)量"都為常數(shù),同時(shí)和也為常數(shù),而和為坐標(biāo)的函數(shù)。一般認(rèn)為遠(yuǎn)小于,因此遠(yuǎn)小于,可以忽略不計(jì)。這樣可成立等式為
(4)
2.2預(yù)加力對(duì)預(yù)應(yīng)力梁影響的三種可能性方程
根據(jù)上述方程推導(dǎo)可得知"是隨振動(dòng)位移的變化而變化的預(yù)加力改變量,它對(duì)梁振動(dòng)的影響表現(xiàn)在式(4)中的最后一項(xiàng),減小了梁截面上的剪力,這一剪力的大小還與偏心距成比例。為使方程可解,需建立起與間的聯(lián)系。這一關(guān)系較為復(fù)雜,本文假定與梁的振動(dòng)位移成正比:
根據(jù)上述方程推導(dǎo)Bernoulli-Euler"梁自由振動(dòng)方程、文獻(xiàn)[2、3]振動(dòng)方程、以及本文模態(tài)攝動(dòng)方程,從而分析預(yù)加力對(duì)預(yù)應(yīng)力梁的動(dòng)力特性有一定的影響:
(1)由于預(yù)加力的作用,使梁的橫向振動(dòng)比"Bernoulli-Euler"梁(簡稱"B-E"梁)要復(fù)雜得多。即使是均勻梁,其橫向振動(dòng)方程也成為變系數(shù)的復(fù)雜微分方程,求解難度增加。眾所周知,均勻等截面的"B-E"梁的橫向自由振動(dòng)方程為
(2)文獻(xiàn)[2,3]是預(yù)加力對(duì)梁的動(dòng)力影響分析的方程總結(jié)(具體方程詳見文獻(xiàn)[2,3]頁數(shù)),通過其中的方程公式推導(dǎo)梁中點(diǎn)振動(dòng)位移"y與成正比,得出適用于本文預(yù)應(yīng)力梁橫向振動(dòng)的推導(dǎo)方程
(3)本文擦用模態(tài)攝動(dòng)的方式進(jìn)行方程解析,所謂模態(tài)攝動(dòng)就是在:B-E"梁的基礎(chǔ)上進(jìn)行新的參數(shù)修改,由于推導(dǎo)篇幅有限不能進(jìn)行復(fù)雜的推導(dǎo)演繹,遂列舉其最終的模態(tài)攝動(dòng)法求解方程組.
3.通過橫向振動(dòng)方程進(jìn)行算例結(jié)果分析
將上文中預(yù)加力對(duì)預(yù)應(yīng)力梁影響的三種可能性方程以實(shí)際算例計(jì)算進(jìn)行分析,分析對(duì)象為建筑工地最長間的簡支梁數(shù)據(jù),即:高為h=600mm寬為b=300mm的簡支梁,在此設(shè)預(yù)加力、偏心距為e、梁長"L取兩組不同的偏心距數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析,即:e=50mm,"e/h=0.083時(shí)數(shù)據(jù)與e=200mm,"e/h=0.3333時(shí)數(shù)據(jù)。在此算例中采用"3"種不同方法計(jì)算預(yù)應(yīng)力簡支梁的自振頻率。這"3"種方法分別是:(1)""不考慮預(yù)應(yīng)力影響,即按"B-E"梁計(jì)算(誤差1的表述方式);(2)""文獻(xiàn)[2,3]方法(誤差2的表述方式);(3)""本文建議的模態(tài)攝動(dòng)法(誤差3的表述方式)
表"1a"""不同偏心距"e"對(duì)梁自振頻率的影響(e=50mm,"e/h=0.083)
計(jì)算方法
本文
59.89
241.72
544.21
967.50
誤差1/%
1.95
0.27
0.067
0.015
誤差2/%
0.91
0.015
-0.049
-0.050
誤差3/%
-1.02
-0.26
-0.12
-0.07
表"1b"""不同偏心距"e"對(duì)梁自振頻率的影響(e=200mm,"e/h=0.3333)
計(jì)算方法
本文
63.5363.53
250.98
556.89
982.57
誤差1/%
19.55
3.06
0.77
0.18
誤差2/%
-4.86
-3.68
-2.32
-1.58
誤差3/%
-20.42
-6.54
-3.07
-1.76
從表中的數(shù)據(jù)可看出:預(yù)加力偏心距的大小對(duì)梁的各階自振頻率的影響較大,偏心距越大,按"B-E"梁計(jì)算產(chǎn)生的誤差也越大,按照模態(tài)攝動(dòng)計(jì)算所產(chǎn)生的誤差越小。因此模態(tài)攝動(dòng)計(jì)算有助于在偏心距不固定的狀態(tài)下對(duì)預(yù)應(yīng)力梁橫向振動(dòng)進(jìn)行分析。
結(jié)束語:
模態(tài)攝動(dòng)分析方式并不適合分析所有領(lǐng)域的預(yù)應(yīng)力梁橫向振動(dòng),比如在B-E并不確定為軸心均勻梁的情況下,或者偏心距固定的預(yù)應(yīng)力梁,因此在對(duì)比分析時(shí)應(yīng)進(jìn)行梁的判定,當(dāng)然本文還存在許多不足之處,沒有對(duì)三種公式進(jìn)行細(xì)致的推導(dǎo)、沒有對(duì)不同預(yù)加力對(duì)梁的自振影響進(jìn)行分析,希望業(yè)界各位同仁能夠一同努力,對(duì)此問題進(jìn)行逐一探討分析。
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