數(shù)列求和問題的探究

【摘""要】數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要課題，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，如何借助有效的方法解答求和問題，需要每個數(shù)學(xué)教師認(rèn)真研究分析，切實提高教學(xué)效率和學(xué)習(xí)效果，使學(xué)生掌握好這一重要知識。本文對數(shù)列求和問題的方法進(jìn)行了探討，為當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供有益的借鑒。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)""數(shù)列求和""等差""等比

【中圖分類號】G632"""""""""""【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A"""""""""""【文章編號】1674-4810（2014）33-0149-02

數(shù)學(xué)是高中階段的主要學(xué)科，對學(xué)生的高考有直接的影響，而數(shù)列問題又是數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，因此，在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師和學(xué)生必須對數(shù)列求和問題要有足夠的重視。數(shù)列求和問題的解決，既可以采用基本的公式法，也可以采用技巧性更強(qiáng)的其他方法，如裂項相消法、分組相加法、倒數(shù)相加法等，要根據(jù)具體問題具體分析和應(yīng)用不同解題方法。筆者從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作多年，現(xiàn)結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗，對高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和問題進(jìn)行淺顯的探討。

一"牢固掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識

數(shù)列求和問題是高中數(shù)學(xué)重要的組成部分，要掌握好這部分知識，應(yīng)當(dāng)要求學(xué)生牢固掌握最基本的數(shù)列知識。如數(shù)列的定義、性質(zhì)和基本公式等。等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列叫作等差數(shù)列;等比數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列叫作等比數(shù)列。一些重要的數(shù)列性質(zhì)也要認(rèn)真掌握，如{an}為等差數(shù)列，則有：（1）從第二項起，每項

是前一項與后一項的等差中項，（n>1）。（2）

an=am+（n-m）d"（m，n∈N*）。（3）若m+n=p+q，則：am+an=ap+aq，特殊的：若m+n=2r，則有：am+an=2ar。（4）若am=n，an=m則有：am+n=0。（5）若Sm=n，Sn"=m則有：Sm+n=-（m+n）。

{an}為等比數(shù)列，則有：（1）只有同號的兩數(shù)才存在等比中項。（2）an=amqn-m（m，n∈N*）。（3）若m+n=p+q，則：am·an=ap·aq，特殊的：若m+n=2r，則有：am·an=ar2。

（4）{an}，{bn}為等比數(shù)列，則{an·bn}，，{can}為等

比數(shù)列（c≠0）。（5）等比數(shù)列中連續(xù)n項之積構(gòu)成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列，當(dāng)q≠1時，連續(xù)項之和仍為等比數(shù)列。（6）an=cqn（c≠0，q≠0），Sn=kqn-k（q≠0，q≠1）等較多的數(shù)列性質(zhì)。最重要的數(shù)列公式更要牢固掌握，這也是解決數(shù)列求和問題的基礎(chǔ)。例如{an}為等差數(shù)列：an=a1+

（n-1）d，。{bn}為等比數(shù)列：

bn=b1qn-1（q≠1）;（q≠1）。

此外，還要注重培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力，讓學(xué)生能夠洞察問題的本質(zhì)，能夠建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將簡單個例普遍化。

二"利用數(shù)列基本公式進(jìn)行求和

在牢固掌握數(shù)列知識的基礎(chǔ)上，遇到數(shù)列求和問題時，可首先分析是否可以套用公式進(jìn)行解答，是數(shù)列求和問題中較為容易的一類。在利用數(shù)列基本公式進(jìn)行數(shù)列求和時，要注意公式的準(zhǔn)確性，如果公式不正確，答案自然也南轅北轍。因此，學(xué)生一定要認(rèn)真記憶公式。例如，下面的問題就可以采用公式進(jìn)行求和。

求和：（1）;（2）Sn=（x+）2+

;（3）求數(shù)列1，3+4，5+6+7，

7+8+9+10，…前n項和Sn。

思路分析：通過分組，直接用公式求和。

解：（1）

（2）

當(dāng)x≠±1時，

當(dāng)x=±1時，Sn=4n

（3）ak=（2k-1）+2k+（2k+1）+…+[（2k-1）+

（k-1）]

Sn="a1+a2+…+an=

在解答這個問題時，要注意對公比q=1或q≠1討論，從而運(yùn)用等比數(shù)列前n項和公式對問題正確解答。

利用公式法求和是數(shù)列求和問題中較為簡單的一種，一般來說，這類題型可以直接套用公式，或只需要簡單的分類合并，再套用公式進(jìn)行解答。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)要求學(xué)生牢固掌握這類解題方法，在考試中，這類問題是很容易得分的題型。

三"采用錯位相減法求和

錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。如An=BnCn，其中Bn為等差數(shù)列，Cn為等比數(shù)列;分別列出Sn，再把所有式子同時乘以等比數(shù)列的公比，即kSn;然后錯一位，兩式相減即可。當(dāng)有待定系數(shù)時，要進(jìn)行分類討論。乘以公比，錯位相減，數(shù)準(zhǔn)項數(shù)，計算細(xì)心，確保結(jié)論正確。錯位相減法求和是數(shù)列求和的重要方法，是高考的?？贾攸c(diǎn)。

錯位相減法比公式法的難度有較大提高，是學(xué)生得分較低的一類題型，在解題過程中，要注意對問題分析并尋找規(guī)律，避免漏項或書寫錯誤，從而得到問題的正確答案。教師在講解這個方法時，可以結(jié)合學(xué)生常犯的錯誤，并按照一定的流程進(jìn)行講解，讓更多的學(xué)生掌握這種求和方法。

四"借助裂項相消法求和

利用解析式變形，將一個數(shù)列分成若干個可以直接求和的數(shù)列，進(jìn)行拆項重組，或?qū)⑼椃至殉蓭醉椀牟?，通過相加過程中的相互抵消，最后剩下有限項的和。在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)當(dāng)教育學(xué)生掌握“裂項相消求和法”的幾個特征：（1）通項的分母是因式相乘的形式;（2）每項裂成兩個式子的差;（3）相鄰兩項裂開后，前一項的后式與后一項的前式互為相反數(shù);（4）裂項的關(guān)鍵是緊抓相鄰兩項的相同項。裂項相消法求和是一種非常常見的題型，也是高考中的熱點(diǎn)考題。相對于其他題型來說，這種題目的難度大，有一定的思維能力，對于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力有很大幫助。

在解答此類問題時，應(yīng)當(dāng)多寫一些項，然后進(jìn)行觀察，才可能看出抵消的規(guī)律，從而使用該方法解決求和問題。

五"借助倒序相加法求和

在數(shù)列求和中，如果和式到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，那么可考慮選用倒序相加法。

例題：設(shè)數(shù)列{an}是公差為d，且首項為a0=d的等差數(shù)列，求和：

解：因為"""""""""""（1）

"""""""""""""""（2）

（1）+（2）得：

利用倒序相加法解決數(shù)列求和問題，大都是利用等差數(shù)列、等比數(shù)列以及函數(shù)的重要性質(zhì)，從而順利地解答問題。在使用倒序相加法時要注意不斷變形，然后用知識具備的特有性質(zhì)作為條件把和求出。

六"結(jié)束語

綜上所述，作為高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容的數(shù)列求和問題，其解答方法有很多種，如公式法、錯位相減法、裂項相消法以及倒序相加法，此外，還可以利用其他求和法，如歸納猜想法、奇偶法等。在面對較為復(fù)雜的數(shù)列求和問題時，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真分析，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的等比、等差數(shù)列，然后根據(jù)題型采取不同的解答方法。解題過程中，應(yīng)當(dāng)掌握每個方法的本質(zhì)，而不能生搬硬套，否則問題答案南轅北轍。要想達(dá)到良好的學(xué)習(xí)效果，教師與學(xué)生需要互相配合，才能不斷提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)

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[5]王錦章.一道高中數(shù)學(xué)課本例題的解法探究與變式訓(xùn)練[J].考試周刊，2012（92）

〔責(zé)任編輯：林勁〕

ontT ? e 9 ??～ ?? font-family：'Times New Roman'; vertical-align：sub; \" gt;n=cqn（c≠0，q≠0），Sn=kqn-k（q≠0，q≠1）等較多的數(shù)列性質(zhì)。最重要的數(shù)列公式更要牢固掌握，這也是解決數(shù)列求和問題的基礎(chǔ)。例如{an}為等差數(shù)列：an=a1+

（n-1）d，。{bn}為等比數(shù)列：

bn=b1qn-1（q≠1）;（q≠1）。

此外，還要注重培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力，讓學(xué)生能夠洞察問題的本質(zhì)，能夠建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將簡單個例普遍化。

二"利用數(shù)列基本公式進(jìn)行求和

在牢固掌握數(shù)列知識的基礎(chǔ)上，遇到數(shù)列求和問題時，可首先分析是否可以套用公式進(jìn)行解答，是數(shù)列求和問題中較為容易的一類。在利用數(shù)列基本公式進(jìn)行數(shù)列求和時，要注意公式的準(zhǔn)確性，如果公式不正確，答案自然也南轅北轍。因此，學(xué)生一定要認(rèn)真記憶公式。例如，下面的問題就可以采用公式進(jìn)行求和。

求和：（1）;（2）Sn=（x+）2+

;（3）求數(shù)列1，3+4，5+6+7，

7+8+9+10，…前n項和Sn。

思路分析：通過分組，直接用公式求和。

解：（1）