【摘""要】在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中,泰勒公式是重要的內(nèi)容,在對(duì)一些數(shù)學(xué)問題的分析和研究中,泰勒公式的應(yīng)用非常廣泛,本文主要針對(duì)泰勒公式在方程根的唯一性和存在性、近似計(jì)算、求極限及不等式問題中的應(yīng)用技巧和方法進(jìn)行思考和討論。
【關(guān)鍵詞】泰勒公式""應(yīng)用""討論
【中圖分類號(hào)】G642"""""""""""【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A"""""""""""【文章編號(hào)】1674-4810(2014)33-0063-01
一"泰勒公式的定理及用泰勒公式展開函數(shù)的方法
定理1,假設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)的臨近區(qū)域內(nèi)n+1階可微,那么在該臨近區(qū)域內(nèi):
。
其中,,ξ為x0和x間的某一個(gè)值。
如果x0=0,則
,
0<θ<1。
定理2,假設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)n階可微,那么在x0近旁則有:
。
如果x0=0,則
應(yīng)用上述原理,可在x0=0近旁展開一些常用函數(shù),利用這些常用函數(shù)可以間接泰勒展開一些復(fù)合函數(shù)。
例1,求函數(shù)y=lncosx在x=0附近帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒展開式,到x4項(xiàng)。
解:利用和
復(fù)合兩式,得:
o
。
二"泰勒公式在極限函數(shù)中的應(yīng)用
極限問題中,針對(duì)待定型極限問題,通常采用洛必達(dá)法則解決,但是對(duì)于一些相對(duì)煩瑣的求導(dǎo)極限問題,尤其需要多次使用洛必達(dá)法則時(shí),問題就變得非常復(fù)雜。此時(shí),應(yīng)用泰勒公式對(duì)這一問題進(jìn)行解決就相對(duì)比較簡(jiǎn)單了。
例2,。
分析:該函數(shù)可利用洛必達(dá)法則求極限,但是需要通過六次應(yīng)用洛必達(dá)法則才能完成,并且一次比一次的導(dǎo)數(shù)復(fù)雜,那么應(yīng)用泰勒公式計(jì)算就比較簡(jiǎn)單了,當(dāng)然是在x=0處展開,選擇佩亞諾型余項(xiàng)。而對(duì)于展開的階數(shù)最終是多少不進(jìn)行考慮,通??紤]逐階展開,展開一項(xiàng),消去一項(xiàng),直到不能消去。首先,展開分子上的函數(shù),寫出
與sinx的泰勒展開式,
的第一項(xiàng)為1,sinx的第一項(xiàng)為x,則
就可以寫成6x,和后面的6x正好可以消去,然后再展開下一項(xiàng),得到
的前兩項(xiàng)為6x-7x3,所以,還要將其再展開一項(xiàng),同理,分母也按此方法進(jìn)行。
解:
因此,原式=
三"利用泰勒公式證明等式或不等式
例3,證明不等式
分析:在不等式的左邊,為二次三項(xiàng)式,右邊為無(wú)理函數(shù),兩者從表面上來(lái)看并沒有明顯的大小關(guān)系,那么需要進(jìn)行泰勒展開,將在x0=0處展開,然后和左邊的二次三項(xiàng)式進(jìn)行對(duì)比,判斷二者的關(guān)系。
證明:設(shè),則有
,
,
;
,
;
,
。
因此,(0lt;θlt;1),
當(dāng)x>0時(shí),余項(xiàng)>0,則
。
泰勒公式在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,當(dāng)然不止本文上述的幾個(gè)方面,還有更多問題的解決采用泰勒公式,如求行列式的值、判斷級(jí)數(shù)的斂散性等。本文著重對(duì)泰勒公式的幾個(gè)常用方面的應(yīng)用技巧進(jìn)行分析,對(duì)利用泰勒公式解決數(shù)學(xué)問題有了更深的認(rèn)識(shí)。在遇到不同的問題類型時(shí),要多加分析,對(duì)題設(shè)的條件及特點(diǎn)進(jìn)行研究,把握處理問題的原則,就能很好地利用泰勒公式對(duì)問題進(jìn)行處理。
參考文獻(xiàn)
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〔責(zé)任編輯:龐遠(yuǎn)燕