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    概率統(tǒng)計(jì)趣味性教學(xué)案例

    2014-04-29 00:00:00徐幼學(xué)謝甌
    學(xué)園 2014年33期

    【摘""要】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是眾多大學(xué)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課之一,其教學(xué)難點(diǎn)主要在于概念的抽象性造成學(xué)生難以理解。本文給出大量概率論教學(xué)中相關(guān)難點(diǎn)的趣味性教學(xué)實(shí)例,對(duì)豐富概率論課堂內(nèi)容、提高教學(xué)效果有著十分重要的意義。

    【關(guān)鍵詞】教學(xué)方法""概率論""教學(xué)案例

    【中圖分類號(hào)】G432.07"""""""""""【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A"""""""""""【文章編號(hào)】1674-4810(2014)33-0005-02

    概率統(tǒng)計(jì)是現(xiàn)代大學(xué)理工、經(jīng)濟(jì)、社科、農(nóng)林、體育等專業(yè)必修課程。課程的學(xué)習(xí)對(duì)于培養(yǎng)和提高學(xué)生的創(chuàng)新能力與綜合素質(zhì)起著極為重要的作用。其不但為學(xué)生學(xué)習(xí)一些后續(xù)課程奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),而且對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性、邏輯性與嚴(yán)密性方面進(jìn)行一定的訓(xùn)練和熏陶,使他們具有理解和運(yùn)用邏輯關(guān)系、研究和領(lǐng)會(huì)抽象事物、認(rèn)識(shí)和利用數(shù)形規(guī)律的初步能力。與其他數(shù)學(xué)研究對(duì)象和分析方法都不一樣,概率統(tǒng)計(jì)的難點(diǎn)和關(guān)鍵是對(duì)概念的理解,學(xué)生普遍反映很難聽(tīng)懂。如何把抽象概念形象化、具體化、簡(jiǎn)明化,值得我們思考。

    本文給出筆者在長(zhǎng)期從事概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過(guò)程中針對(duì)概率統(tǒng)計(jì)和高數(shù)各章疑難點(diǎn),收集和構(gòu)想的一批趣味性教學(xué)實(shí)例,與諸位同行交流,希望能夠豐富概率統(tǒng)計(jì)課堂教學(xué)的內(nèi)容,提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,改善教學(xué)效果。以下面幾個(gè)例子介紹概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題:

    一"賭徒分莊問(wèn)題

    上概率統(tǒng)計(jì)第一堂課,先簡(jiǎn)單介紹該課程的起源。概率論最初是研究賭博中的概率問(wèn)題,其中之一是著名的賭徒分莊問(wèn)題。三百多年前(17世紀(jì)中葉)法國(guó)有一個(gè)非常有名的賭徒名叫Mere,有一次他與Mitton賭博,兩人約定:各擲一次骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)六者為勝一局,五局三勝制,賭金各一萬(wàn)法郎。賭博進(jìn)行了三局,Mere兩勝一負(fù),此時(shí)因?yàn)樘厥庠蛸€博中止。問(wèn)如何根據(jù)現(xiàn)有結(jié)果來(lái)分割賭金。提供三種分莊方案(比例):

    Mere

    1/2

    1

    2/3

    Mitton

    1/2

    0

    1/3

    問(wèn)學(xué)生選哪種方案,或有另外的分配方案?學(xué)生回答各種方案的都有,其中選第三種方案的居多。事實(shí)上,當(dāng)時(shí)兩賭徒選的就是第三種方案。但事后Mere覺(jué)得自己吃虧了,

    ——————————————————————————

    就請(qǐng)教數(shù)學(xué)家Pascal。Pascal經(jīng)過(guò)分析得出結(jié)論,并把此問(wèn)題轉(zhuǎn)給另一位數(shù)學(xué)家Fermat,F(xiàn)ermat也得出同樣的結(jié)論。其

    結(jié)論是Mere應(yīng)得,為什么?原分配方案對(duì),只考慮

    了已經(jīng)發(fā)生的結(jié)果(2∶1),沒(méi)有考慮到如果賭博繼續(xù)進(jìn)行可能發(fā)生的結(jié)果。設(shè)賭博進(jìn)行完五局,后面有四種可能的結(jié)果:(+、+)、(+、-)、(-、+)、(-、-),其中“+”表示Mere勝,“-”表示Mere負(fù)。上述四種結(jié)果是等可能

    的,且前三種是Mere贏,故Mere應(yīng)得。

    據(jù)說(shuō),就是從此問(wèn)題討論開(kāi)始,法國(guó)數(shù)學(xué)家Pascal和Fermat與他們的好友荷蘭數(shù)學(xué)家Higens對(duì)賭博的概率問(wèn)題展開(kāi)了系統(tǒng)的研究,并由Higens寫(xiě)成《論賭博中的概率》一書(shū)。它是一部最早的概率論著作,那個(gè)時(shí)期也被定為概率論萌芽時(shí)期。

    二"三張卡片的故事

    有些古典概率結(jié)果是很直觀的,如擲硬幣出現(xiàn)正面和反

    面的概率各一半;擲一顆骰子,出現(xiàn)1~6點(diǎn)的概率都是

    等等。但是有些直觀是錯(cuò)誤的,看下面三張卡片的故事:

    有三張卡片大小、形狀和顏色都一樣,其中一張中間兩面都畫(huà)有一個(gè)圓圈,另一張兩面中間畫(huà)有一個(gè)黑點(diǎn),第三張一面中間是圓圈,另一面是黑點(diǎn),如圖1所示。

    從三張卡片中隨機(jī)地取一張,讓你看見(jiàn)其中一面,猜另一面的圖形。

    分析1:假設(shè)你看到一面中間是圓圈,那么排除上述第二張,而第一、第三張反面一張是圓圈、一張是黑點(diǎn),故猜

    另一面中間是圓圈或黑點(diǎn)的概率都是。

    分析2:同樣假設(shè)你看到圓圈,排除第二張,把第一、第三張卡片中的圖案編號(hào)如圖2。

    """"""

    圖1"""""""""""""""""""""""""""圖2

    你看到的圓圈是1、2、3中之一,且是等可能的。當(dāng)你看到1號(hào)或3號(hào)時(shí),猜另一面為圓圈正確,當(dāng)你看見(jiàn)2號(hào)時(shí),猜反面是圓圈錯(cuò),所以當(dāng)你看見(jiàn)一面是圓圈時(shí)猜另一面是圓

    圈猜中的概率為。

    分析3:當(dāng)你看見(jiàn)圖案是什么,就猜出另一面也是什么,

    成功的概率是(抽中第一、第三張卡片猜對(duì),第二張猜錯(cuò))。

    顯然,上述分析2、3是對(duì)的,而分析1直觀對(duì),實(shí)際錯(cuò)了。

    三"薄豐投針問(wèn)題

    圓周率π是一個(gè)無(wú)理數(shù)。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之是世界上第一個(gè)將π值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后面7位數(shù)的人,即3.1415926,這一紀(jì)錄保持了一千多年。法國(guó)數(shù)學(xué)家薄豐通過(guò)一個(gè)游戲得到π的近似值,精確到小數(shù)點(diǎn)后面5位,讓人嘆為觀止。在講幾何概型時(shí),我補(bǔ)充了這個(gè)例子。

    薄豐是法國(guó)數(shù)學(xué)家,據(jù)說(shuō)他非常富有,每個(gè)周末都邀請(qǐng)親朋好友到家里度假。有一個(gè)周末,他邀請(qǐng)到20多位親朋好友到家,晚上酒足飯飽后,他對(duì)朋友說(shuō):今天我們來(lái)做一個(gè)游戲,大家每人拿一盒針(100枚),一根一根地往下丟,統(tǒng)計(jì)地上的針與地面平行線(地面磚交線)相交的數(shù)量,把統(tǒng)計(jì)結(jié)果告訴我。

    一個(gè)小時(shí)過(guò)去了,游戲結(jié)束,大家把統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)交給薄豐。薄豐統(tǒng)計(jì)出結(jié)果,并把它代入一個(gè)預(yù)先設(shè)定好的計(jì)算公式,計(jì)算結(jié)果讓大家大吃一驚,其結(jié)果是3.14136,太奇妙了。

    讓我們看看奇跡是如何發(fā)生的。設(shè)地面平行線的距離為2d,針的長(zhǎng)度為2L,針的中點(diǎn)至最近平行線的距離為x,針與平行線的夾角為θ,如圖3。

    這是幾何概率問(wèn)題:

    樣本空間

    針與線相交的充要條件是

    圖3""""""""""""""""""""""圖4

    故針與直線相交的概率為

    設(shè)投針總量為N,針與線相交的數(shù)量為n,則其頻率為。

    由頻率與概率的關(guān)系得:。

    已知N=2000,n=382,d=20cm,L=6cm,一并代入

    上式得:。

    通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn),求出π的近似值,確實(shí)讓人驚奇。學(xué)生們可以自己設(shè)計(jì)一個(gè)薄豐投針的程序用電腦模擬實(shí)驗(yàn),可以得到更精準(zhǔn)的π值。

    四"概率為0與不可能事件

    我們知道,不可能事件的概率為0,即P(φ)=0。但是,概率為0的事件一定是不可能事件嗎?答案是否定的。

    例如,向[0,1]區(qū)間內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn),問(wèn)點(diǎn)恰好落在上的概率

    P()=?,設(shè)P()=p,若pgt;0,則P()=P()=

    pgt;0,n=1,2,…

    由可列可加性,矛盾。故p=0,而“點(diǎn)恰

    好落在上”是可能發(fā)生的事件。

    注:此例也表明,概率為1的事件不一定是必然事件。

    五"可列無(wú)窮與不可列無(wú)窮

    細(xì)心的同學(xué)可能會(huì)問(wèn),在上例中,對(duì),有

    P(χ)=0。于是,矛盾。是呀!問(wèn)題出在哪里呢?

    概率公理化定義中第三條可列可加性是指:設(shè)有可列多個(gè)不相容事件A1,A2,…,An

    是不可列無(wú)窮多之和,下式是不成立的。

    概率公理化定義中第三條可列可加性之所以強(qiáng)調(diào)“可列可加”而不是任意無(wú)窮可加,上述例子正是好的注解。

    六"最大似然的估計(jì)

    最大似然的估計(jì)是參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的一種重要方法,一般教材中是這樣闡述的:設(shè)總體X~f(x,θ),其中θ是要估計(jì)的參數(shù),抽取一個(gè)樣本(X1,X2,…,Xn)其聯(lián)合概率函數(shù)為

    ∠(θ),其中(x1x2…xn)為樣本值稱∠(θ)為

    似然函數(shù)。選取θ的估計(jì)值,使∠(θ)取到最大值,這個(gè)估計(jì)值就稱為最大似然估計(jì)。為什么要選θ的估計(jì)值,使∠(θ)取到最大值?學(xué)生很難理解這種思維方法。在長(zhǎng)期的教學(xué)過(guò)程中,我構(gòu)想了下面這個(gè)例子:

    1個(gè)盒子中有10個(gè)球,分黑白兩種顏色,兩種球比例為9∶1,但不知哪種球多,現(xiàn)從中任取一個(gè)球,發(fā)現(xiàn)是白球,問(wèn)盒中黑白球各多少?

    學(xué)生回答:白球9個(gè),黑球1個(gè)。為什么呢?學(xué)生回答,白球多,取到的概率大。如此簡(jiǎn)單的一個(gè)例子可以讓學(xué)生對(duì)這一抽象概念有直接的認(rèn)識(shí)。

    七"結(jié)束語(yǔ)

    本文是筆者在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)改革與實(shí)踐中獲得的一點(diǎn)粗淺的認(rèn)識(shí)和體會(huì),愿與各位同仁交流。

    參考文獻(xiàn)

    [1]宋桂榮.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)改革研究[J].時(shí)代教育,2012(19):9~11

    [2]魏巍.本科概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)模式改革的探索[J]數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2012(23):119~121

    〔責(zé)任編輯:龐遠(yuǎn)燕〕

    *"廣東省高等教育教學(xué)改革重點(diǎn)項(xiàng)目(編號(hào):2013-5-220)、廣東海洋大學(xué)教學(xué)改革課題(XJG201259)

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