數(shù)學模型在高等數(shù)學教學中的引入與應(yīng)用

【摘要】高等數(shù)學是理工科高等院校的公共必修基礎(chǔ)課，在整個本科教學體系中占有極為重要的地位。本文通過總結(jié)教學實踐中的經(jīng)驗，探討了如何在高等數(shù)學教學中引入數(shù)學模型，豐富教學內(nèi)容和教學方法，提高教學質(zhì)量。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學模型數(shù)學思想高等數(shù)學

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2014）08－0062－02

高等數(shù)學是理工科高等院校的公共必修基礎(chǔ)課。通過該課程的學習，學生可以掌握數(shù)學的基本理論和思想方法，提高自身的邏輯思維能力和辯證思維能力，為后續(xù)的數(shù)學類課程和其他理工專業(yè)課程的學習奠定必要的數(shù)學基礎(chǔ)。

高等數(shù)學的核心內(nèi)容是微積分，課程內(nèi)容繁多，并且知識結(jié)構(gòu)嚴密穩(wěn)定，這使得該課程需要較多的課時。但我校跟其他大部分院校一樣，在近年來的教學改革中，對公共基礎(chǔ)課做了較大的調(diào)整，將高等數(shù)學的課時縮短將近1/3。為了完成理論內(nèi)容的教學，不少教師無奈地采取說教式的教學方法。由于這種的教學方法缺少啟發(fā)性，造成學生既無法感受到數(shù)學學習的意義，進而逐漸失去學習的興趣，又因為得不到充分的思維鍛煉，無法靈活運用所學的知識。這使得高等數(shù)學無法實現(xiàn)其真正的價值。如何在有限的課時內(nèi)，讓學生真正地學到數(shù)學知識，得到思維鍛煉，是一個值得深思的問題。

筆者通過理論學習和總結(jié)自身的教學實踐經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)通過在教學中引入數(shù)學模型，是解決上述的問題的一個行之有效的方法。高等數(shù)學中的許多概念，如極限、導數(shù)、積分、級數(shù)、微分方程等，都是從客觀事物的某種數(shù)量關(guān)系或空間形式中抽象出來的數(shù)學模型。這些數(shù)學模型都具有深刻的背景，來自不同的學科領(lǐng)域。如果能在教學中很好地利用數(shù)學模型，學生就能較好地理解相關(guān)的概念、定義和定理，能夠真正接觸到數(shù)學在所學的相關(guān)專業(yè)中的應(yīng)用。這將進一步調(diào)動學生應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學知識分析、解決實際問題的積極性，激起學生把所學的數(shù)學知識和數(shù)學方法運用到實際問題之中的渴望，產(chǎn)生學習參與感，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。學生學習興趣提高了，教學互動就自然進展順利，進而提高教學效果。那么，應(yīng)該如何在高等數(shù)學課程中引入和應(yīng)用數(shù)學模型呢？筆者在此提出以下三點想法。

一 充分利用經(jīng)典模型，強調(diào)數(shù)學概念的背景和意義

現(xiàn)有的高等數(shù)學教材中，都包含了大量的經(jīng)典模型，其中大部分都可以作為教學所需的素材。只要充分利用素材，就可以得到很好的教學效果。這其中的關(guān)鍵在于，在利用這些模型引入數(shù)學概念時，不能只是把它簡單地看成是一個自然的引入過程，必須在學習的過程中重點強調(diào)模型的背景和意義。這樣，學生才能對相關(guān)概念有一個更深刻、具體、形象的理解。以導數(shù)的概念為例，它是可以通過兩個經(jīng)典的例子引入：瞬時速度和切線斜率，如果只是簡單地通過講述這兩個例子，指出導數(shù)的本質(zhì)就是“變化率”，那么學生可能更多的只是知道導數(shù)的本質(zhì)是“變化率”，但變化率又是什么呢？最終的結(jié)果就是學生得到了一個抽象概念的抽象理解而已。但是，如果能集中時間，利用瞬時速度引入導數(shù)的概念，并且強調(diào)導數(shù)就是“速度”，就可以讓學生得到導數(shù)的一個具體形象的理解。這樣的理解，對后續(xù)課程的學習也大有助益。在講述費馬引理時，只需要提醒學生，想象一輛往前走的車，在往回走之前，位移和速度應(yīng)該怎么變化，學生就可以得到這樣的結(jié)論：車要在位移最大的地方掉頭，此時速度為零，也就是在該點處函數(shù)值取極值，而導數(shù)為零。同樣地，在利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時，提醒學生導數(shù)大于零意味著速度是正的，位移就會增加，此時函數(shù)是單調(diào)遞增的，反正亦然。這樣教學既可以節(jié)省課時，又可以加深學生的理解。

二 針對學科特點，適當引入新模型

在高等數(shù)學的教材中，關(guān)于微積分的應(yīng)用，也有大量的實際例子，這些例子都可以看成是數(shù)學模型。但是這些模型大部分都來自數(shù)學本身或物理，對其他專業(yè)的學生而言，既乏味又對專業(yè)學習沒有任何幫助。開普勒定理就是其中的典型，雖然可以向?qū)W生展現(xiàn)微積分在實際應(yīng)用中的威力，但是也有學生感嘆：很厲害的想法啊，可惜在幾百年前就用過了，到現(xiàn)在還有其他用處嗎？因此，非常有必要針對不同的學科，適當引入新模型。以微分方程的應(yīng)用為例，可以對學習經(jīng)管的學生引入描述GDP增長的微分方程模型，對學習動物養(yǎng)殖的學生引入畜牧業(yè)的微分方程模型。筆者在教學中發(fā)現(xiàn)，通過這樣的調(diào)整，既豐富了教室內(nèi)容和教學手段，還極大地提高了學生的學習興趣，教學過程輕松了，教學效果也更明顯。

三 強調(diào)建模思想，加強思維鍛煉

高等數(shù)學的學習，最重要的是對學生進行思維鍛煉。在教學中引入數(shù)學模型，不能停留在引入本身，還要引導學生參與建模的過程。學生通過合理假設(shè)將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，在得到結(jié)論后，再利用實際問題的數(shù)據(jù)對所得結(jié)論進行檢驗。根據(jù)檢驗結(jié)果對假設(shè)進行調(diào)整，進一步優(yōu)化模型。在此過程中，學生通過發(fā)揮主觀能動性，積極、主動地綜合運用數(shù)學知識及方法解決問題。一般來說，根據(jù)不同的假設(shè)，可能得到不同的結(jié)果，所以數(shù)學模型幾乎都不可能是完美的。因此，在引導學生建立模型的過程中，要時刻提醒學生，目的不是得到模型本身，而是在于檢驗提出的假設(shè)是否合理，如何不斷調(diào)整假設(shè)，以得到合理的模型的過程。如前面所述，關(guān)于畜牧業(yè)的微分方程模型，影響因素多種多樣，如何判斷哪些因素是關(guān)鍵的，針對這些因素，如何合理假設(shè)，自身的能力可以研究哪些因素，都是需要引導學生思考的。只有通過這樣的過程，學生才能真正得到思維鍛煉，達到引入數(shù)學模型的根本目的。

參考文獻

［1］同濟大學數(shù)學系.“十二五”普通高等教育本科國家級規(guī)劃教材：高等數(shù)學（第六版）（下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2007

［2］姜啟源、謝金星、葉俊.數(shù)學模型（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003

〔責任編輯：范可〕