感受奇異美：三角形“兩角平分線”夾角的探究

練習(xí)講評(píng)時(shí)，老師安排我講解下面這道練習(xí)：

例1 如圖1，在△ABC中，CP平分∠ACB， BP是△ABC的外角∠ABE的平分線，試分析∠P與∠A的大小關(guān)系.

我發(fā)現(xiàn)∠P=∠A，不過(guò)不少同學(xué)都感到很驚訝. 我感覺(jué)只敘述難說(shuō)清楚，于是就在黑板上寫出如下的過(guò)程：

由△BCP外角的性質(zhì)得到，∠P=∠PBE-∠PCB，由△ABC外角的性質(zhì)得到，∠A=∠ABE-∠ACB，結(jié)合角平分線的性質(zhì)，∠PBE=∠ABE，∠PCB=∠ACB，

于是有∠P=∠A.

這樣一說(shuō)，大家都明白了. 老師也表示肯定，并要求我們把教材翻到第42頁(yè)，課后繼續(xù)研究第20題.

課后，我發(fā)現(xiàn)這個(gè)題目也是兩角平分線夾角問(wèn)題，經(jīng)過(guò)分析，我發(fā)現(xiàn)它們也有如下規(guī)律：

例2 如圖2，在△ABC中，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，探究∠BOC與∠A的關(guān)系.

【探究】∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A，而在△BOC中，∠BOC=180°-（∠1+∠2）=90°+∠A.

例3 如圖3，在△ABC中，BP、CP分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的平分線，試求∠BPC與∠A的大小關(guān)系.

【探究】∠PBC+∠PCB=

（∠DBC+∠BCE）=（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=90°+∠A，于是在△BPC中，∠BPC=

90°-∠A.

原來(lái)三角形的“兩角平分線”夾角與“第三個(gè)角”都存在一種規(guī)律！老師前面曾說(shuō)三角形的三條內(nèi)角平分線會(huì)交于一點(diǎn)，屬于一種數(shù)學(xué)上的奇異美現(xiàn)象. 我想，上面三種“兩角平分線”夾角的規(guī)律也是一種奇異美吧！

劉老師點(diǎn)評(píng)：小宇同學(xué)經(jīng)歷了上面的變式與探究，積累了三角形“兩角平分線”夾角的規(guī)律問(wèn)題，這其實(shí)是陜西師大羅增儒教授倡導(dǎo)的“模式識(shí)別”策略，上文的探究和小結(jié)其實(shí)就是發(fā)現(xiàn)和積累模式圖形與性質(zhì)（也有資料上稱“基本圖形及性質(zhì)”），這樣在此后的作業(yè)或考試中，面對(duì)這類模式圖形就可以快速打開思路，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的快速突破. 實(shí)際上，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，這樣的變式探究及一般性規(guī)律的發(fā)現(xiàn)是十分重要的，只有多進(jìn)行這樣一題多變的訓(xùn)練和反思，才能走出題海，更本質(zhì)地學(xué)習(xí)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)解題能力！

（指導(dǎo)老師：劉東升）