蘇科版七(下)教材第42頁上第19題是一道關(guān)于三角形折疊的角度猜想驗證的問題,問題如下:
如圖1,將△ABC紙片沿著DE折疊,使點A落在四邊形BCDE內(nèi)點A′的位置,探索∠A與∠1+∠2的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
在研究這個問題時,我們可以分別測量∠A與∠1、∠2的度數(shù),再研究∠1+∠2的度數(shù)和∠A的度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系,可以猜想∠1+∠2=2∠A.
但是,這個問題需要說明理由,因此我們需要逐步進行研究. 這里可能要用到三角形外角的一個重要性質(zhì):三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和.
首先,我們可以做特殊化處理如下:
如圖2,如果紙片沿直線DE折疊,使點A′正好落在直線AC上,此時∠1=∠BEA′,∠2為0°. 根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠DA′E=∠A,∠BEA′=∠A+∠DA′E=2∠A,因此∠1+∠2=2∠A. 由此可見,猜想成立.
當然,如圖3,如果紙片沿直線DE折疊,使點A′正好落在直線AB上,實際上與圖2是同一種類型. 此時∠2=∠CDA′,∠1=0°,根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠DA′E=∠A,∠CDA′=∠A+∠DA′E=2∠A,因此得到∠1+∠2=2∠A. 由此可見,猜想依然成立.
然后,我們再思考這個結(jié)論在圖1中的一般性的情況下是否依然成立.
證法一:如圖4,根據(jù)平角的定義和折疊的性質(zhì),得:∠1+∠2=360°-2(∠3+∠4).
又因為∠3+∠4=180°-∠A,所以∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A.
證法二:如圖4,因為∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C=360°,
且∠3+∠4=180°-∠A′=180°-∠A,∠B+∠C=180°-∠A,
所以得到:∠1+∠2+(180°-∠A)+(180°-∠A)=360°,
則∠1+∠2-2∠A=0,所以∠1+∠2=2∠A.
證法三:如圖5,連接AA′. 因為∠1=∠EAA′+∠EA′A=2∠EAA′,∠2=∠DAA′+∠DA′A=2∠DAA′,
所以∠1+∠2=2∠EAA′+2∠DAA′=
2(∠EAA′+∠DAA′)=2∠A.
由此可見,猜想肯定成立.
通過以上兩類圖形的研究,我們可以發(fā)現(xiàn),折疊后點A的位置可以在三角形的邊所在的直線上,也可以在∠A內(nèi). 當折疊后的點在∠A的外部,以上結(jié)論是否還成立?于是我們可以作出圖6(與圖7是同一種類型).
如圖6,因為∠1=∠3+∠A,∠3=∠2+∠A′,所以∠1=∠2+∠A′+∠A=∠2+2∠A,所以∠1-∠2=2∠A.
換成圖7,結(jié)論就變成了∠2-∠1=2∠A,因此以上的結(jié)論肯定是變化了!
同學(xué)們,通過以上探究,你們應(yīng)該掌握了基本的解題方法了吧?我們能否再進一步,解答以下一題?
如圖8,如果把四邊形ABCD沿EF折疊,使點A、D落在四邊形BCFE的內(nèi)部A′、D′的位置,你能求出∠EAD、∠ADF、∠1與∠2之間的關(guān)系嗎?并且說明理由.
結(jié)論是∠1+∠2=2(∠A+∠D)-360°,這個結(jié)論很特別. 其實,最簡單的方法是如下解法:
如圖9,延長EA′、FD′交于點P′,延長EA、FD交于點P,
則∠P=∠EAD-∠ADP=∠EAD-(180°-∠ADF)=∠EAD+∠ADF-180°,
所以∠1+∠2=2∠P′=2∠P=2(∠EAD+∠ADF-180°)=2(∠EAD+∠ADF)-360°,
即2(∠EAD+∠ADF)-(∠1+∠2)=360°.
(作者單位:江蘇省揚州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校)