感受“冪的運(yùn)算”中的思想方法

冪的運(yùn)算是代數(shù)演算的重要基礎(chǔ)，同學(xué)們?cè)谡莆諆绲母鞣N運(yùn)算法則的同時(shí)，還要深入理解其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想. 下面請(qǐng)同學(xué)們賞析幾道經(jīng)典例題.

一、 轉(zhuǎn)化思想

例1 已知am=2，an=3，ap=6，求a2m+n-p的值.

【分析】本題的關(guān)鍵是利用同底數(shù)冪乘除的性質(zhì)，把所求的式子轉(zhuǎn)化為與已知條件有關(guān)的式子，再代入求值. 我們可以用兩種方法思考：

解：解法1：a2m+n-p=a2m×an÷ap=（am）2×an÷ap=22×3÷6=2.

解法2：由am=2，得（am）2=22=4，

∴a2m+n-p=（am）2×an÷ap=4×3÷6=2.

【點(diǎn)評(píng)】解法1是逆用冪的乘方性質(zhì)和同底數(shù)冪的乘法、除法性質(zhì)，直接將a2m+n-p轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘除混合運(yùn)算，基本思路是從目標(biāo)出發(fā)，回歸已知條件；解法2是從已知條件出發(fā)，構(gòu)造出求值式中有關(guān)的a2m，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、除法性質(zhì)轉(zhuǎn)化，化求值式a2m+n-p為（am）2×an÷ap，基本思路是由已知條件向目標(biāo)轉(zhuǎn)化.

例2 已知a=348，b=436，c=724，則它們的大小關(guān)系為（ ）.

A. b>a>c B. a>c>b

C. a>b>c D. c>b>a

【分析】本題不能通過(guò)直接計(jì)算結(jié)果再比較大小，可以通過(guò)逆用冪的乘方的性質(zhì)，把不同指數(shù)的冪化成相同指數(shù)的冪，再比較底數(shù)的大小.

解：因?yàn)閍=348=（34）12=8112，b=436=（43）12

=6412，c=724=（72）12=4912，且81>64>49，所以a>b>c，故選C.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于無(wú)法計(jì)算結(jié)果的冪的運(yùn)算大小比較，如果指數(shù)有相同的公約數(shù)，可考慮轉(zhuǎn)化為相同指數(shù)的冪.

二、 方程思想

例3 已知32·9x=729，求x的值.

【分析】已知等式的兩邊不是同底數(shù)的冪，所以先考慮將它們轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的冪，再構(gòu)建方程求出未知數(shù)的值.

解：解法1：因?yàn)?2·9x=729，所以32·32x=

36，則2x+2=6，解得x=2.

解法2：因?yàn)?2·9x=729，所以9·32x=729，則32x=81=34，則2x=4，解得x=2.

【點(diǎn)評(píng)】求指數(shù)中的未知數(shù)時(shí)，通常情況下運(yùn)用“同底數(shù)冪相等，則指數(shù)相等”來(lái)構(gòu)建方程解未知數(shù).

三、 整體思想

例4 已知2m-3n+1=0，求9m ÷27n的值.

【分析】所求式子中的9m與27n并不是同底數(shù)冪，但可逆用冪的乘方法則轉(zhuǎn)化為以3為底的冪相乘的形式，然后整體代入求值.

解：由已知2m-3n+1=0，得2m-3n=-1，

所以9m÷27n=（32）m÷（33）n=32m÷33n=

32m-3n=3-1=.

【點(diǎn)評(píng)】解決不同底數(shù)的代數(shù)式的求值問(wèn)題，關(guān)鍵是將所求值的代數(shù)式化為同底數(shù)冪的形式，有時(shí)需把某個(gè)代數(shù)式變形后看作整體代入求值.

四、 分類討論思想

例5 已知（2x-3）x+1=1，求x的值.

【分析】本題應(yīng)對(duì)底數(shù)和指數(shù)的各種情況進(jìn)行分類討論：一是指數(shù)為0且底數(shù)不為0，二是底數(shù)為1時(shí)指數(shù)為任意數(shù)，三是底數(shù)為-1時(shí)指數(shù)為偶數(shù).

解：本題分三種情況進(jìn)行分類討論：

（1） 因?yàn)槿魏畏?數(shù)的0次冪都是1，所以有x+1=0且2x-3不為0，解得x=-1；

（2） 因?yàn)?的任何次冪都是1，所以有2x-

3=1，解得x=2；

（3） 因?yàn)?1的偶次冪都是1，所以有2x-

3=-1且x+1為偶數(shù)，解得x=1.

綜上討論，x的值為-1、2、1.

【點(diǎn)評(píng)】涉及有關(guān)底數(shù)為1的冪或0次冪問(wèn)題時(shí)，有時(shí)要利用分類討論思想逐一考慮各種可能性. 要做到按照同一標(biāo)準(zhǔn)分類，不重復(fù)、不遺漏.

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校）