淺析初中數(shù)學(xué)中的方程與不等式的應(yīng)用

李志遠(yuǎn)

摘 要：初中數(shù)學(xué)方程與不等式是教學(xué)中的重要知識內(nèi)容，兩者都是能夠有效地呈現(xiàn)現(xiàn)實生活的數(shù)學(xué)模型，是解決實際問題的重要數(shù)學(xué)工具，又是中考必考內(nèi)容，在其他的章節(jié)中也有廣泛的應(yīng)用，它們常與應(yīng)用題、函數(shù)、幾何等結(jié)合起來在綜合題中出現(xiàn)，建立方程（組）或不等式（組）模型加以解決。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；方程與不等式；應(yīng)用

一、要點回顧

建立方程（組）或不等式（組）模型解決實際問題，一定先要掌握下列知識點：

（1）方程的解、解方程及各種方程（組）的有關(guān)概念；

（2）一元一次方程及其解法和應(yīng)用；二元一次方程組及其解法和應(yīng)用。

（3）用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。

（4）可化為一元一次方程的分式方程的解法及應(yīng)用。

（5）不等式（組）及解集的有關(guān)概念，會用數(shù)軸表示不等式（組）的解集。

（6）一元一次不等式（組）的解法。

二、例題呈現(xiàn)

1.整式方程（組）的應(yīng)用

試題1.2013年4月20日四川雅安蘆山發(fā)生了7.0級地震，給當(dāng)?shù)厝嗣駧砹司薮蟮膿p失，“一方有難，八方支援”，我校全體師生積極捐款，其中九年級186班、187班、188班的學(xué)生捐款金額如表所示：

■

王老師統(tǒng)計時不小心把墨水滴在了其中兩個班的捐款金額上，但他知道下面三條信息。

信息一：這三個班的捐款總金額是7700元；

信息二：187班的捐款金額比188班的捐款金額多300元；

信息三：186班學(xué)生平均每人捐款的金額大于48元，小于51元。

請根據(jù)以上信息，幫助王老師解決下列問題。

（1）求出187班與188班的捐款金額各是多少元；

（2）求出186班的學(xué)生人數(shù)。

思路：用二元一次方程組來解決。要弄清楚①列方程（組）解實際應(yīng)用題的一般步驟是什么。②如何找到能夠表示題目全部含義的等量關(guān)系？③列方程（組）解決應(yīng)用題有哪些常用的方法？

解答：（1）設(shè)187班的捐款金額為x元，188班的捐款金額為y元，則依題意得x+y=7700-2000x-y=300，解得，x=3000y=2700。所以187班的捐款金額為3000元，188班的捐款金額為2700元。

（2）設(shè)186班的學(xué)生人數(shù)為x人，則依題意得48x<200051x>2000，解得39■

創(chuàng)新思維：解決實際問題的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，把握題意，找出等量關(guān)系，列出方程（組）或不等式（組）。求解后再對求出的解進(jìn)行驗證，看是否能使實際問題有意義。

2.分式方程的應(yīng)用

試題2.某超市花5000元買進(jìn)新品種橙子進(jìn)行試銷，由于銷售狀況良好，超市又花11000元買進(jìn)該品種橙子，但這次的進(jìn)貨價比試銷時每千克多了0.5元，買進(jìn)橙子數(shù)量是試銷時的2倍。

（1）試銷時該品種橙子的進(jìn)貨價是每千克多少元？

（2）如果超市將該品種橙子按每千克7元定價出售，當(dāng)大部分橙子售出后，余下的400千克按定價的七折售完，那么該超市在這兩次橙子銷售中共獲利多少元？

思路：用可化為一元一次方程的分式方程來解決。要弄清楚①列分式方程解實際應(yīng)用題的關(guān)鍵是什么？②列分式方程解實際應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題比較，要注意什么？③列分式方程解實際應(yīng)用題如何對方程的解進(jìn)行檢驗？

解答：（1）設(shè)試銷時這種橙子的進(jìn)貨價是每千克x元，依題意可得分式方程■=2×■，解得x=5，經(jīng)檢驗x=5是原方程的解，所以這種橙子的進(jìn)貨價是每千克5元。

（2）試銷時買進(jìn)橙子的數(shù)量為■=1000（千克），則第二次買進(jìn)橙子的數(shù)量為2000千克。贏利為2600×7+400×7×0.7-5000-11000=4160（元），所以在兩次橙子銷售中共獲利4160元。

創(chuàng)新思維：列分式方程解應(yīng)用題，應(yīng)先選取等量關(guān)系，再直接或間接設(shè)未知數(shù)并列出方程，最后還需要檢驗（檢驗是否是增根，是否符合實際）。

3.不等式（組）的應(yīng)用

試題3（2011湖南岳陽）.某廠有一種材料可加工甲、乙、丙三種型號機(jī)械配件240個，廠方計劃由20個工人一天內(nèi)輥工完成，并要求每人只加工一種配件，根據(jù)下表提供的信息，解答下列問題：

（1）設(shè)加工甲種配件的人數(shù)為x，加工乙種配件的人數(shù)為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果加工每種配件的人數(shù)均不少于3人，那么加工配件的人數(shù)安排方案有幾種？并寫出每種安排方案；

（3）要使此次加工配件的利潤最大，應(yīng)采用（2）中哪種方案？并求出最大利潤值。

思路：用不等式組來解決。要弄清楚①列不等式（組）解實際應(yīng)用題時要抓住哪些關(guān)鍵詞？②列不等式（組）解實際應(yīng)用題如何尋找不等關(guān)系？③如何用不等式的知識設(shè)計不同的方案？如何擇最優(yōu)方案？

解答：（1）由題意得16x+12y+10（20-x-y）=240，整理得y=-3x+20。（2）因為加工每種配件的人數(shù)不少于3人，所以x≥3y≥320-x-y≥3，即x≥3-3x+20≥320-x-（-3x+20）≥3，解得3≤x≤■，因為x是整數(shù)，所以x=3或4或5，因此共有三種方案：方案一：加工甲、乙、丙三種型號配件的人數(shù)分別為3人、11人、6人；方案二：加工甲、乙、丙三種型號配件的人數(shù)分別為4人、8人、8人；方案三：甲、乙、丙三種型號配件的人數(shù)分別為5人、5人、10人；

（3）方案一獲得利潤為：16×3×6+12×11×8+10×6×5=1644（元）；

方案二：獲得利潤為：16×4×6+12×8×8+10×8×5=1552（元）；

方案三：獲得利潤為：16×5×6+12×5×8+10×10×5=1460（元），所以應(yīng)選（2）中的方案一，可獲得最大利潤，最大利潤為1644元。

創(chuàng)新思維：本題是涉及實際生活中方案設(shè)計的問題，正確列出不等式組是解題的關(guān)鍵，在給出的問題中設(shè)計不同的方案，進(jìn)而比較擇優(yōu)，尋找最佳方案。

總之，在學(xué)習(xí)方程與不等式知識的應(yīng)用過程中，要善于建立數(shù)學(xué)模型，綜合其他知識解決實際問題。

（作者單位 湖南省衡山縣開云鎮(zhèn)中心學(xué)校）

編輯 劉青梅