關于圓錐曲線中一個結論的探究與總結

金麗

【摘要】大家知道，關于圓錐曲線的統(tǒng)一性質和結論有許多，如能對這些性質和結論熟練理解和掌握，它不僅可以幫助我們快速解題，還有利于我們更加深刻地理解和認識圓錐曲線.本文從一個具體的題目出發(fā)，淺析與圓錐曲線相關的統(tǒng)一性質和結論.

【關鍵詞】橢圓；雙曲線；拋物線

引題過拋物線C：y2=4x焦點F的直線L交拋物線C于P，Q兩點，若點P關于x軸對稱的點為M，則直線QM的方程可能為（）.

A.3x+2y+4=0B.3x-5y+6=0

C.2x+3y+4=0D.x-2y+1=0

解析本題考查直線與拋物線的位置關系.解決這題我們自然想到：若把“作點P的對稱點”變?yōu)椤白鼽cQ的對稱點”，又根據(jù)拋物線關于x軸對稱可以發(fā)現(xiàn)：這些動直線QM過一定點，且在x軸上.根據(jù)這樣的想法進行解題得知：直線與x軸的交點是該拋物線的準線與x軸的交點.

性質1過拋物線C：y2=2px（p>0）焦點F的直線L交拋物線C于P，Q兩點，若點P關于x軸對稱的點為M（M與Q不重合），證明：直線QM一定通過該拋物線的準線與x軸的交點.

證明設P（x1，y1），Q（x2，y2），直線L方程：x=my+p2，則M（x1，-y1），

∴QM方程的斜率是k=y2+y1x2-x1，那么直線QM方程為：y-y2=y2+y1x2-x1（x-x2）.

又點P，Q兩點均在拋物線C：y2=2px（p>0）上，∴x1=y212p，x2=y222p.

∴直線QM方程變?yōu)?/p>

y=y2+y1y222p-y212px-y222p+y2=2py2-y1x-y1y2y2-y1.

聯(lián)立拋物線C：y2=2px（p>0）與直線L方程：

y2=2px，x=my+p2， 消去x，得

y2-2pmy-p2=0，

∴y1y2=-p2.

∴直線QM方程為

y=2py2-y2x+p2y2-y1=2py2-y2x+p2.

∴直線QM過定點-p2，0，即過拋物線的準線與x軸的交點.

性質2設橢圓方程C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），過橢圓右焦點F2直線L交橢圓C于P，Q兩點，若點P關于x軸對稱的點為M（M與Q不重合），證明：直線QM一定通過該橢圓的右準線x=a2c與x軸的交點即為點a2c，0.

證明由題意可知，直線的斜率一定存在，設直線L方程是y=k（x-c），P（x1，y1），Q（x2，y2），則M（x1，-y1），直線QM方程的斜率是k=y2+y1x2-x1，那么直線QM方程為：y-y2=y2+y1x2-x1（x-x2），即

y=y2+y1x2-x1（x-x2）+y2

=k（x1+x2）-2kcx2-x1x-2kx1x2-kc（x1+x2）x2-x1.

聯(lián)立橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）與直線L方程：

y=k（x-c），x2a2+y2b2=1， 消去x，得（b2+a2k2）x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0，根據(jù)韋達定理，得

x1+x2=2a2k2cb2+a2k2，

x1x2=a2k2c2-a2b2b2+a2k2，

代入上直線方程中得