定積分的等價(jià)定義及其應(yīng)用

【摘要】傳統(tǒng)定積分的定義難度較大且過程復(fù)雜，應(yīng)用價(jià)值也較低.基于應(yīng)用目的，本文以內(nèi)涵先導(dǎo)方式給出了定積分的創(chuàng)新定義，且將這一定義命名為牛頓—萊布尼茲定義.對(duì)于兩個(gè)定義的關(guān)系文中采用獨(dú)特方法給出了詳細(xì)論證.與傳統(tǒng)定義相比創(chuàng)新定義具有簡(jiǎn)潔、實(shí)用的特點(diǎn)，對(duì)于提高教學(xué)質(zhì)量意義重大.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；定積分；牛頓—萊布尼茲定義；等價(jià)定義

高等數(shù)學(xué)是一門重要的基礎(chǔ)課，與其他學(xué)科相比具有多層次的教學(xué)特點(diǎn)，有本科、?？?，有文科、理科、工科，還有高職以及成人教育等.然而不管何種層次，定積分的教學(xué)都千篇一律地采用分割、做積、求和、取極限的傳統(tǒng)定義，因而會(huì)出現(xiàn)某些意想不到的問題.據(jù)調(diào)查，對(duì)于什么叫作定積分的問題，幾乎都以定積分的基本計(jì)算式作出回答.如以式子∫ b af（x）dx為內(nèi)涵給出定積分的定義更具合理性和實(shí)用性，并且可以直接導(dǎo)入重點(diǎn).高等數(shù)學(xué)建立概念的方式通常有兩種.第一種是由具體事物到一般規(guī)律，或者說由外延到內(nèi)涵；第二種是由一般規(guī)律到具體事物，或者說由內(nèi)涵到外延.不妨稱第一種為外延先導(dǎo)式概念，而第二種為內(nèi)涵先導(dǎo)式概念.傳統(tǒng)定積分的概念就屬于第一種.在舉出兩個(gè)實(shí)例之后給出定義.

定理2說明了當(dāng)函數(shù)f（x）連續(xù)時(shí)，在閉區(qū)間[a，b]上傳統(tǒng)定義與牛頓—萊布尼茲定義具有等價(jià)關(guān)系.因此，我們完全可以以定義2作為定積分的定義.兩個(gè)定義各自具有不同的特點(diǎn)，定義1著重在方法上，具有抽象性的特點(diǎn)，適合于理論研究；而定義2著重在計(jì)算和應(yīng)用上，具有創(chuàng)新、簡(jiǎn)潔、實(shí)用的特點(diǎn)，兩者在教學(xué)時(shí)間和難度上存在較大差距.不同層次的學(xué)生其基礎(chǔ)不同，思維能力不同，教學(xué)特點(diǎn)也不同，因此需要采用不同的定義方式，以利提高教學(xué)質(zhì)量.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王化久.數(shù)學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2002.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)及其應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]岳文宇.高等數(shù)學(xué)[M].沈陽(yáng)：遼寧科學(xué)技術(shù)出版社，2013.

[4]韓群，宋立溫.新編高等數(shù)學(xué)[M].北京：冶金工業(yè)出版社，2009.