數(shù)列平均值極限的相關(guān)問題

唐東磊　胡銳

摘 要：本文討論了數(shù)列平均值極限的相關(guān)問題，給出了若干反例及相關(guān)命題。

關(guān)鍵詞：平均值；極限；聚點(diǎn)

關(guān)于數(shù)列平均值的極限有下面著名的結(jié)論：

定理1 數(shù)列{an}極限存在為a，則由前n項(xiàng)的平均值構(gòu)成的數(shù)列a1+a2+…+ann極限也存在且等于a。

下面我們考慮該定理的逆命題及否命題是否成立。首先我們考慮否命題，也即“如果數(shù)列{an}極限不存在，那么數(shù)列a1+a2+…+ann極限存在”是否成立呢？我們給出下面的例子。

例1 令an=n，則有l(wèi)imn→∞an=+∞，a1+a2+…+ann=n（n+1）2n=n+12，那么我們有l(wèi)imn→∞a1+a2+…+ann=+∞。

可見當(dāng){an}極限不存在時(shí)平均值a1+a2+…+ann的極限可能不存在，也即定理的否命題不成立。如果將無(wú)窮（+∞、-∞或∞）看成是廣義極限（或非正常極限）的話，那么上面的例2并不能說(shuō)明問題，我們?cè)俳o出下面的例子。

例2 令an=3k-2，n=3k-2，0，n=3k-1，-3k+2，n=3k，

也即{an}=1，0，-1，4，0，-4，7，0，-7，…，可以看出{an}極限不存在。n=3k-2時(shí)，a1+a2+…+ann=1+0+（-1）+…+（3k-2）3k-2=1；

n=3k時(shí)，

a1+a2+…+ann=1+0+（-1）+…+（3k-2）+0+（-3k+2）3k=0，

可知數(shù)列a1+a2+…+ann有兩個(gè)子列收斂到不同的極限，從而a1+a2+…+ann極限不存在。

上面的兩個(gè)例子中數(shù)列{an}都是無(wú)界數(shù)列，an的變化很大，導(dǎo)致了平均值的極限不存在，那么我們就會(huì)有這樣一個(gè)想法，對(duì)有界數(shù)列{an}而言，an總在上下界之間變化，改變幅度有限，這樣會(huì)不會(huì)使得平均值極限一定存在呢？我們有下面的例子。

例3 如下定義數(shù)列{an}：

a1=1，a2=-1，a3=a4=1，a5=a6=-1，a7=…=a12=1，a13=…=a18=-1，…，

假設(shè)前2·3k項(xiàng)已定義，令a2·3k+1=…=a2·3k+2·3k=1，a2·3k+2·3k+1=…=a2·3k+2·3k+2·3k=-1。

很顯然，數(shù)列{an}有界，且極限不存在。對(duì)于平均值數(shù)列a1+a2+…+ann，當(dāng)n=2·3k時(shí)，

a1+a2+…+ann=1+（-1）+…+1+1+…+（-1）+（-1）2·3k=0；

當(dāng)n=4·3k時(shí)，

a1+a2+…+ann=1+（-1）+…+1+1+…+12·3k個(gè)4·3k=12。

可知數(shù)列a1+a2+…+ann有兩個(gè)子列收斂到不同的極限，從而a1+a2+…+ann極限不存在。

從上面例子可以看出不論數(shù)列{an}的有界性保證不了平均值極限的存在性。

接下來(lái)我們考慮定理的逆命題，也即“如果數(shù)列a1+a2+…+ann極限存在，那么數(shù)列{an}極限存在”是否成立。這個(gè)命題也是不成立的，我們有下面的例子。

例4 令an=（-1）n，很顯然{an}極限不存在。但a1+a2+…+ann為-1或0，是有界量，從而limn→∞a1+a2+…+ann=0。

比較上面的例3和例4我們發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)數(shù)列都只是由1和-1構(gòu)成的，那么為什么會(huì)造成一個(gè)平均值極限存在，一個(gè)平均值極限不存在呢？這主要是由于1和-1出現(xiàn)的頻率不同造成的。在例3的數(shù)列中1和-1在前n項(xiàng)所占比例隨著n的增加變化很大，而在例4的數(shù)列中1和-1在前n項(xiàng)所占比例比較穩(wěn)定，n增加時(shí)二者所占比例趨近于1/2。這又為什么會(huì)造成平均值極限存在呢？我們可以用概率的觀點(diǎn)來(lái)理解這件事情。把例4數(shù)列理解為一個(gè)隨機(jī)事件，那么1和-1在前n項(xiàng)所占比例也就是頻率，頻率的穩(wěn)定值是概率，所以該隨機(jī)事件中出現(xiàn)1和-1的概率都是1/2，從而數(shù)學(xué)期望為12×1+12×（-1）=0，而數(shù)學(xué)期望正是平均值的穩(wěn)定值，所以平均值的極限存在且等于0。其實(shí)不光對(duì)例4我們可以這樣理解，對(duì)其它一些情況也有類似的結(jié)論。我們給出下面的定理。

定理2 假設(shè)有界數(shù)列{an}有且僅有兩個(gè)聚點(diǎn)x和y，其中xx+y2}中元素的個(gè)數(shù)。如果極限limn→∞xnn=p，則有l(wèi)imn→∞a1+a2+…+ann=px+（1-p）y。

證明 將{an}中小于等于x+y2的項(xiàng)構(gòu)成的子列記為{bn}，大于x+y2的項(xiàng)構(gòu)成的子列記為{cn}。下面證明limn→∞bn=x，limn→∞cn=y。

反證法。若{bn}不收斂于x，則必存在x的一個(gè)鄰域（x-δ，x+δ）使得其外有{bn}的無(wú)限多項(xiàng)。而{bn}為有界數(shù)列，這無(wú)限多項(xiàng)也是有界的，從而由聚點(diǎn)定理可知這無(wú)限多項(xiàng)至少有一個(gè)聚點(diǎn)z，且z≠x。由bn≤x+y2可知z≤x+y2，從而z≠y。也即{bn}有一個(gè)不同于x和y的聚點(diǎn)，這也意味著{an}有一個(gè)不同于x和y的聚點(diǎn)，這與{an}只有兩個(gè)聚點(diǎn)矛盾，limn→∞bn=x得證。同理可證limn→∞cn=y。

由定理1可知limn→∞b1+…+bnn=x，limn→∞c1+…+cnn=y。在{an}的前n項(xiàng)中有xn項(xiàng)屬于子列{bn}，有yn項(xiàng)屬于子列{cn}，故limn→∞a1+a2+…+ann=limn→∞b1+…+bxn+c1+…+cynn=limn→∞b1+…+bxnn+c1+…+cynn

=limn→∞b1+…+bxnxn·xnn+c1+…+cynyn·ynn

=limn→∞b1+…+bxnxn·limn→∞xnn+limn→∞c1+…+cynyn·limn→∞ynn

=xp+ylimn→∞n-xnn=px+（1-p）y.

可以看出，上面的例4正是定理2的特殊情況。上面的定理是對(duì)于只有兩個(gè)聚點(diǎn)的數(shù)列得到的，其實(shí)對(duì)有有限多個(gè)聚點(diǎn)的數(shù)列也有類似的結(jié)論，我們不加證明地給出下面的定理。

定理3 假設(shè)有界數(shù)列{an}有k個(gè)聚點(diǎn)x1，x2，…，xk，其中x1xk-1+xk2}中元素的個(gè)數(shù)。如果有極限limn→∞I1nn=p1，limn→∞I2nn=p2，…，limn→∞Iknn=pk，那么limn→∞a1+a2+…+ann=p1x1+p2x2+…+pkxk。（作者單位：南京審計(jì)學(xué)院）

參考文獻(xiàn)：

[1] 《數(shù)學(xué)分析》，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，2010（第四版）

[2] 《數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法》，裴禮文編，高等教育出版社，2006

[3] 《數(shù)學(xué)分析教程》，許紹溥等編，南京大學(xué)出版社，1992