平均值的一組新不等式

劉小寧

(武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院 湖北 武漢：430205)

1 一組優(yōu)美的平均值不等式

設(shè)ai與t為正數(shù)，n為不小于2的自然數(shù)，當(dāng)i=1，2，…，n時(shí)，記An、Gn與Hn分別為n個(gè)正數(shù)ai的算術(shù)平均值、幾何平均值與調(diào)和平均值，即

文中構(gòu)建了如下一組3個(gè)結(jié)構(gòu)新穎且形式優(yōu)美的平均值不等式

(1)

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)成立。

(2)

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)成立。

(3)

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)成立。

實(shí)際上，平均值不等式(1)～(3)也是3個(gè)關(guān)于正數(shù)ai個(gè)數(shù)n的單調(diào)遞增函數(shù)。

在算術(shù)平均值A(chǔ)n，幾何平均值Gn與調(diào)和平均值Hn之間，還存在大家熟悉的算術(shù)——幾何——調(diào)和平均值不等式[1]

An≥Gn≥Hn

(4)

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)成立。

式(1)～式(3)是含參數(shù)t的平均值不等式，而平均值不等式(4)不含參數(shù)t。

2 證明

為證明結(jié)構(gòu)新穎且形式優(yōu)美的平均值不等式(1)～(3)，先證明如下定理。

定理：若x與t為正數(shù)，則

(5)

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)t=xn-1時(shí)成立。

證明：設(shè)y與m為正數(shù)，作輔助函數(shù)

R(y)=yn-n·mn-1·y+(n-1)·mn

則

由于y與m為正數(shù)，

1)若y=m，則R(y)=0；

2)若x

則

3)若y>m，有y-m>0，且

故

以上分析表明，當(dāng)y與m為正數(shù)時(shí)，恒有

R(y)=yn-n·mn-1·y+(n-1)·mn≥0

在上式中作變換

可得到定理即式(5)，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)y=m即t=xn-1時(shí)成立。定理證畢。

不等式(1)的證明：令定理中

注意到

不等式(2)的證明：令定理中

注意到

不等式(3)的證明：令定理中

注意到

以及

an=n·An-(n-1)·An-1

不等式(4)的證明：取不等式(1)中t=1，可得算術(shù)——幾何平均值不等式：An≥Gn；取不等式(2)中t=1，可得幾何——調(diào)和平均值不等式：Gn≥Hn；綜合這兩個(gè)不等式，可得到算術(shù)——幾何——調(diào)和平均值不等式(4)，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)成立。不等式(4)證畢。

3 應(yīng)用

例1：記關(guān)于n個(gè)正數(shù)ai的算術(shù)平均值A(chǔ)n，幾何平均值Gn與調(diào)和平均值Hn的均差函數(shù)分別為

F1(n)=n(An-Gn)

(6)

(7)

F3(n)=n(An-Hn)

(8)

則F1(n)，F(xiàn)2(n)與F3(n)分別是n的單調(diào)遞增函數(shù)。

證明：取不等式(1)～(3)中t=1，可分別得到

F1(n)≥F1(n-1)

F2(n)≥F2(n-1)

F3(n)≥F3(n-1)

故F1(n)，F(xiàn)2(n)與F3(n)分別是n的遞增函數(shù)。

因?yàn)槔?中關(guān)于式(6)為遞增函數(shù)的結(jié)論是Rado不等式[2-6]，所以式(7)與式(8)為遞增函數(shù)的結(jié)論可視為Rado不等式的推廣[7]。

例2：記關(guān)于n個(gè)正數(shù)ai的算術(shù)平均值A(chǔ)n，幾何平均值Gn與調(diào)和平均值Hn的均商函數(shù)分別為

(9)

(10)

(11)

則f1(n)，f2(n)與f3(n)分別是n的單調(diào)遞增函數(shù)。

證明：1)取不等式(1)中

整理可得到：f1(n)≥f1(n-1)

故例2中式(9)是n的單調(diào)遞增函數(shù)。

2)取不等式(2)中

整理可得到：f2(n)≥f2(n-1)

故例2中式(10)是n的單調(diào)遞增函數(shù)。

3)取不等式(3)中

整理可得t到：f3(n)≥f3(n-1)

故例2中式(11)是n的單調(diào)遞增函數(shù)。

因?yàn)槔?中關(guān)于式(9)為遞增函數(shù)的結(jié)論是Popovic不等式[2-6]，所以式(10)與式(11)為遞增函數(shù)的結(jié)論可視為Popovic不等式的推廣[7]。

例3：設(shè)r為不超過n的正整數(shù)，即r=1，…，n時(shí)，則

An≥q1(r)·Gn≥Gn≥q2(r)·Hn≥Hn

An≥q3(r)·Hn

(12)

其中

(13)

證明：當(dāng)r為非負(fù)整數(shù)且r=1，…，n時(shí)，

1)因?yàn)槔?中式(9)是單調(diào)遞增函數(shù)，有

由算術(shù)——幾何平均值不等式即不等式(4)的最左項(xiàng)與中間項(xiàng)，可知式(12)中第一式的最左項(xiàng)與中間項(xiàng)，以及式(13)的q1(r)成立。

2)因?yàn)槔?中式(10)是單調(diào)遞增函數(shù)，有

由幾何——調(diào)和平均值不等式即不等式(4)中的中間項(xiàng)與最左右項(xiàng)，可知式(12)第一式的中間項(xiàng)與最左項(xiàng)，以及式(13)的q2(r)成立。

3)因?yàn)槔?中式(11)是單調(diào)遞增函數(shù)，有

由算術(shù)——幾何——調(diào)和平均值不等式即不等式(4)的最左項(xiàng)與最右項(xiàng)，可知式(12)中第二式，以及式(13)的q3(r)成立。

例3表明，在n個(gè)正數(shù)ai的算術(shù)平均值A(chǔ)n與幾何平均值Gn之間，以及在幾何平均值Gn與調(diào)和平均值Hn之間可分別加細(xì)，例3中的q1(r)與q2(r)，分別是An與Gn之間，Gn與Hn之間的加細(xì)系數(shù)；在An與Hn之間，可用系數(shù)q3(r)進(jìn)行加細(xì)。

根據(jù)式(6)與式(7)遞增性的證明過程，可得到

例4：設(shè)r為不超過n的正整數(shù)，且r=1，…，n-2時(shí)，則

顯然，例4是算術(shù)——幾何——調(diào)和平均值不等式加細(xì)的又一種形式。