解題教學應更注重思維品質(zhì)的培養(yǎng)

金偉兵

摘 要：在高三二輪復習中如何進行“含參不等式的恒成立問題”的教學，是值得大家研究關注的一個話題. 本文從四個方面探討了解決這一問題的方法：1. 明確目標，把握重難點；2. 回歸課本，熟悉常見題；3. 化隱為顯，尋找恒成立；4. 學以致用，剖析典型題.

關鍵詞：高三二輪復習；含參不等式恒成立；解決方法

含參不等式的恒成立問題在歷年的高考中屢見不鮮，是高考的熱點，同時也是復習提高的一個難點. 在高三二輪復習中如何進行此塊內(nèi)容的教學，值得大家研究關注. 下面是筆者在高三二輪復習時對這個專題的教學設計，取得比較好的效果，現(xiàn)將這節(jié)課的教學反思記錄如下，并和大家一起共同探討.

■明確目標，把握重難點

高三復習課應更注重學生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，展開課堂教學前教師首先得有自己明確的教學目標. 而掌握確定含參不等式恒成立問題的主要求解思路是本節(jié)復習課的主要目標. 根據(jù)不同條件選擇恰當?shù)姆椒ń鉀Q恒成立參數(shù)范圍問題是其中的重點和難點. 在此過程當中讓學生熟悉轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等常用思想方法，真正提高學生的思維品質(zhì).

■回歸課本，熟悉常見題

教材是學習數(shù)學基礎知識、形成數(shù)學基本技能的關鍵. 在平時數(shù)學教學中教師應重視回歸課本，講好、用好、學好課本，充分發(fā)揮教材的優(yōu)勢，才能使學生各方面的能力得到提高. 為此筆者選擇以下例題和改編題作為課堂的引入.

課本改編題：若函數(shù)f（x）=■x3-x2+ax+3在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是什么？

變式1：若不等式x2-ax+2≥0，對x∈[2，3]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是什么？

變式2：若g（x）=x2-ax+2≥0，對x∈[-3，3]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是什么？

評析：原題求導后是f ′（x）=x2-2x+a是二次函數(shù)，而且對稱軸、開口方向、自變量范圍均是定值，所以利用其最小值f ′（2）≥0解決問題比較快捷. 而變式1因?qū)ΨQ軸是變量，故利用原函數(shù)最值需討論參數(shù)，比較煩瑣. 而用分離參數(shù)的方法（a≤x+■對于x∈[2，3]恒成立）則可以很快得到結(jié)果.變式2可以引導學生發(fā)現(xiàn)分離參數(shù)也有局限，因為x∈[-3，3]，分離的時候需要關注到x=0這個特殊點，且分離時不等式的符號是不確定的，需要討論，所以此時采用數(shù)形結(jié)合的方法會更佳，即原不等式可化為：x2+2≥ax. 在同一坐標系中分別作出y=x2+2和y=ax的圖象就能解決問題. 以上3道題可以引導學生提煉解決含參不等式恒成立問題的三個主要思路：

1. 轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的最值. 2. 變量分離法. 3. 數(shù)形結(jié)合法.

■化隱為顯，尋找恒成立

在對整個解題方法有了基本的回顧和把握之后，可以用下面一組題來加深學生對恒成立問題的判斷，也就是哪些是恒成立問題？怎么轉(zhuǎn)化到恒成立？

1. 若函數(shù)f（x）=xekx在區(qū)間（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)k的取值范圍.

2. 已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，若函數(shù)f（x）在0，■上無零點，則求實數(shù)a的最小值.

3. 已知命題“？堝x∈（1，2）時，不等式x2-2x-logax+1≥0”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍.

評析：這三個問題都是隱藏的恒成立問題，尤其是第3小題其命題的否定即是恒成立問題，讓學生體會到不等式有解其實能轉(zhuǎn)化到恒成立，實質(zhì)是同一類問題. 課堂啟用這三小題能對剛剛形成的解題思路加以鞏固，并能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學問題其實是換湯不換藥的. 只要有敏銳的思維，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，問題就會迎刃而解. 當然具體在課堂教學中這3小題不用詳細展開，僅作大致方向判斷即可，這樣的處理有詳有略，課堂節(jié)奏也相對合理，同時也避免了把時間浪費在解重復的題型上. 這塊題組解決后及時總結(jié)讓學生提煉不等式恒成立解題思維模型：

隱性問題？圯顯性問題？圯研究最值？圯求原函數(shù)的最值或分離參數(shù)或數(shù)形結(jié)合？圯結(jié)論？搖？搖？搖

■學以致用，剖析典型題

在例題的選取上，筆者認為不在于多，更在于精，所以選擇了三道題分別解決三個含參的變化方向的問題：（1）參數(shù)的位置變化，（2）參數(shù)的地位變化，（3）參數(shù)的數(shù)量變化.

1. 參數(shù)的位置變化

例1 已知二次函數(shù)f（x）=ax2+x，若x∈[0，1]時，恒有f（x）≤1，求a的取值范圍.

評析：此題參數(shù)在二次項系數(shù)，讓學生感悟若參數(shù)放在一次項會有什么變化，學生會發(fā)現(xiàn)前者二次函數(shù)開口、對稱軸均未定，所以它的“穩(wěn)定性”更低，更不好處理，通過綜合比較三種基本解法，優(yōu)選最合適的處理辦法. 在實際教學中，學生往往從原函數(shù)的最值出發(fā)，那對含參討論的要比較高. 進一步引導學生另辟佳徑，易發(fā)現(xiàn)參數(shù)分離的方法可以把問題轉(zhuǎn)化為■≤a≤■對x∈[0，1]恒成立，則只要分別解決兩邊的恒成立就可以得到最后的結(jié)果，問題得到一定簡化. 如果再進一步讓學生發(fā)現(xiàn)-1-x≤ax2≤1-x的幾何意義：實質(zhì)是拋物線和兩條平行直線在[0，1]的位置關系，那么學生更會激動不已. 通過這道例題充分讓學生感受到參數(shù)位置的變化使我們在選擇解題方法時需變得更加靈活.

2. 參數(shù)的地位變化

例2 已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+1，若a∈[-1，1]時，恒有f（x）≥3，求實數(shù)x的取值范圍.

評析：此題可以讓學生對比例1的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)例2的實際“主參數(shù)”應該是a，兩道題目字母x和a地位恰巧互換，容易想到例2可以看做關于a的一個新函數(shù)，即原題等價于g（a）=xa+x2+1≥3對于a∈[-1，1]恒成立，左邊實際上就可以看做是一次函數(shù)，最后問題？圳g（-1）≥3且g（1）≥3，從而解出x≥2或x≤2.通過這道例題再次讓學生感受到參數(shù)問題應該要靈活應變，把誰看做“主參數(shù)”完全取決于題目條件的設置.

3. 參數(shù)的數(shù)量變化

例3 已知不等式xy≤ax2+2y2，對于？坌x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，求實數(shù)a取值范圍.

評析：當對于不止一個參數(shù)恒成立的問題時，引導學生首先考慮是否可以轉(zhuǎn)化成基本類型，如原題？圳a≥■-2■■對于■∈[1，3]恒成立，這樣就可以通過換元思想，令t=■，原題？圳a≥t-2t2對于t∈[1，3]恒成立，問題立馬得到解決. 同時讓學生思考此題的其他解法，引導學生選用逐個突破參數(shù)的思想來解決，首先解決y，如原題？圳f（y）=2y2-xy+ax2≥0對于y∈[1，3]恒成立，因為對稱軸■∈■，■，所以f（y）在y∈[2，3]上單調(diào)遞增，原題？圳f（y）min=f（2）≥0對于x∈[1，2]恒成立，最后分離參數(shù)？圳a≥■對于x∈[1，2]恒成立？圯a≥-1. 這也是解決多個參數(shù)恒成立的一個基本思路.

通過這樣的教學設計，學生會真正形成解決此類問題的思維體系. 在二輪專題復習的時候采用這樣的專題復習課，實際效果要比做大量的仿真模擬試題好很多，同時在教師的不斷點撥下學生的思維品質(zhì)也能得到更好地提升.