映“數(shù)”“形”花別樣紅

金明

摘 要：數(shù)學學習離不開思維，數(shù)學探索需要通過思維來實現(xiàn)，在初中數(shù)學教學中逐步滲透數(shù)學思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學思維習慣，既符合新的課程標準，也是進行數(shù)學素質(zhì)教育的一個切入點。而數(shù)形結合思想貫穿了整個初中數(shù)學教學過程，它的地位和作用可見一斑。數(shù)形結合將數(shù)與形巧妙地結合起來，有效地相互轉(zhuǎn)化，一些看似無法入手的問題就會迎刃而解，產(chǎn)生事半功倍的效果。

關鍵詞：數(shù)形結合；思維；數(shù)學素質(zhì)教育；滲透；數(shù)學思想方法；切入點

進入初中學習后，幾乎每一次數(shù)學考試結束后，總有學生會說：某某題計算量好大，好繁瑣，算了很久都沒有得出答案，還影響了后面題目的完成。其實，有時候做題時換個思路，角度，也許這道題就很輕松地解決了，真有這樣神奇的方法嗎？答案是肯定的，數(shù)形結合的思想就是其中最為耀眼突出的“法寶”之一。

我國著名數(shù)學家華羅庚說：“數(shù)形結合百般好，割裂分家萬事非?！敝v的就是數(shù)形結合思想的重要性。那么，什么是數(shù)形結合的思想呢？解決這個問題，首先我們得從“數(shù)”和“形”兩個基本概念入手?！皵?shù)”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。

所謂數(shù)形結合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應關系。數(shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。

數(shù)學學習離不開思維，數(shù)學探索需要通過思維來實現(xiàn)，在初中數(shù)學教學中逐步滲透數(shù)學思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學思維習慣，既符合新的課程標準，也是進行數(shù)學素質(zhì)教育的一個切入點。數(shù)形結合將數(shù)與形巧妙地結合起來，有效地相互轉(zhuǎn)化，一些看似無法入手的問題就會迎刃而解，產(chǎn)生事半功倍的效果。

既然解決數(shù)學問題時運用數(shù)形結合的思想可以達到事半功倍的效果，那么在我們平時的數(shù)學教學中應該如何來滲透數(shù)形結合的思想呢？下面筆者結合具體的實例來分析：

一、以“數(shù)”解“形”

在初中數(shù)學中，圖形是直觀的，這是“形”的優(yōu)點，任何事物集優(yōu)、缺點于一體，“形”也有缺點，它不是很精確，比如有時候有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出規(guī)律來，這時就要借助代數(shù)來分析計算。

例1.求直線y=x-1與拋物線y=x2+2x-2的交點坐標。

分析本題，在平面直角坐標系中畫出直線與拋物線的草圖，可以發(fā)現(xiàn)它們有兩個交點，在第三、四象限，但不確定點的坐標，圖形很直觀，但不精確。那么怎么來求出交點坐標呢？我們可以借助“數(shù)”。我們借助函數(shù)解析式，交點的坐標都是滿足直線和拋物線的解析式，那么我們可把交點的橫坐標和縱坐標看做是直線和拋物線解析式聯(lián)立的方程組的解，這樣我們就可以“數(shù)”解“形”了。所以，對于本題，我們的做法是：

聯(lián)立y=x-1

y=x2+2x-2得x-1=x2+2x-2，得x2+x-1=0，解此方程，求出對應的y，交點就求出了。

本題的解決充分展示了以“數(shù)”解“形”，運用代數(shù)可彌補圖形帶來的不足。

二、以“形”助“數(shù)”

從例1的解決中，我們體會到以“數(shù)”解“形”的“威力”，但是，心理學研究表明，學生對圖形的認識比純粹的文本（計算）更感興趣。我們來看這個例子：

例2.解不等式x-1≥-x2+2x+1。

由于初中沒學過解一元二次不等式，我們可用圖象法解決此問題，令y1=x-1，y2=-x2+2x+1，然后在同一坐標系中畫出函數(shù)y1和y2的圖象，只要滿足函數(shù)y1在y2圖象上方對應的x的范圍就是此不等式的解集，因此解此不等式得先求出函數(shù)y1與y2的交點（2，1）和（-1，-2），然后觀察圖象，得出結論：x≥2或x≤-1。

上述問題體現(xiàn)了以“形”助“數(shù)”的優(yōu)越性，把“數(shù)”的對應——“形”找出來，利用圖形來解決問題，既直觀又簡單，何樂而不為呢？

三、“數(shù)”“形”互變

例1和例2分別展示了“數(shù)”與“形”的優(yōu)勢，其實在解決實際問題中，很多數(shù)學問題中不僅僅是簡單的以“數(shù)”解“形”或以“形”助“數(shù)”，而是需要“形”“數(shù)”互相變換。我們再看一個例子：

例：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）開口向下，對稱軸為x=1，交于y軸正半軸，與x軸的交點（左邊的位于-1與0之間，右邊的位于2和3之間）。

①abc>0；②bm（am+b）（m≠1的實數(shù)），其中正確的結論有_____

對于①，即求a，b，c的符號，拋物線開口向下，a<0，以“形”助“數(shù)”；拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，即-■>0，結合a<0，所以b>0，既有以“形”助“數(shù)”，也有以“數(shù)”解“形”；拋物線與y軸交于正半軸上，c>0，以“形”助“數(shù)”。故①錯誤。從①中就可以發(fā)現(xiàn)由“形”的直觀變?yōu)椤皵?shù)”的嚴密還要由“數(shù)”的嚴密聯(lián)系到“形”的直觀，即“數(shù)”“形”互變。

對于②，b0，c>0考慮，不能判斷，那么由“數(shù)”就要想到“形”了，只需做個簡單的移項，即判斷a-b+c>0正確與否，利用“形”可以發(fā)現(xiàn)：a-b+c是拋物線在x=-1時的函數(shù)值，對照草圖，a-b+c<0，故②錯誤，“數(shù)”“形”互變體現(xiàn)得淋漓盡致。

對于③，判斷a+b>m（am+b）（m≠1的實數(shù)）是否正確，如果純粹從“數(shù)”的角度考慮，似乎很難有結果，但如果兩邊同時加上c，即判斷a+b+c>m（am+b）+c（m≠1的實數(shù)）是否正確，結合“形”，a+b+c即當x=1時的拋物線的函數(shù)值，即拋物線的最大值，而m（am+b）+c（m≠1的實數(shù)）是在拋物線任取一點（異于頂點）的函數(shù)值，顯然成立。本小題體現(xiàn)了“數(shù)”“形”互變的較高境界。

數(shù)形結合是一個數(shù)學思想方法，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖象結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在初中數(shù)學教學中有意識地滲透數(shù)形結合的思想，同時給學生足夠的時間與空間，學生定會給教師意想不到的精彩！

參考文獻：

潘海燕，何晶.教師怎樣進行反思與寫案例和論文北京：中國輕工業(yè)出版社，2009-05.

（作者單位 江蘇省蘇州市太倉市明德初級中學）

編輯 薄躍華