解決函數(shù)問題——定義域優(yōu)先

王海春

摘要：函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的始終，函數(shù)的定義域是函數(shù)三要素（定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系）的關(guān)鍵要素，是解決所有函數(shù)問題必須考慮的先決條件。也就是說，求解函數(shù)問題必須樹立“定義域”優(yōu)先的原則。在解決任何函數(shù)問題中，若不加以注意，學(xué)生常常誤入“歧途”。在解函數(shù)問題中強調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力也是十分有益的。

關(guān)鍵詞：定義域；解析式；值域；單調(diào)性；奇偶性；周期

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）03-0119

通過定義域?qū)瘮?shù)解析式、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期的影響來提高學(xué)生對函數(shù)定義域的重視程度，學(xué)生不但加深了對函數(shù)概念的理解，提高了解題能力，還拓寬了他們的思維空間，培養(yǎng)了他們的思維能力。

一、定義域?qū)瘮?shù)解析式的影響，

分析：在已知f [g（x）]的解析式，求f（x）的解析式，一種常見的解法是將f [g（x）]解析式中拼湊出g（x）的整體。再將g（x）換成x從而求f（x）得的解析式。但容易忽略f（x）的定義域，從而導(dǎo)致錯誤。

注：正解中采用換元的辦法，換元法是高中處理數(shù)學(xué)問題的常用方法。換元學(xué)生就能注意到新元的取值范圍，而不易丟掉定義域。

二、定義域?qū)瘮?shù)值域的影響

剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有t≥0，而函數(shù)y=2t2+t+1在[0，+∞）上是增函數(shù)，所以當(dāng)t=0時，ymin=1。故所求的函數(shù)值域是[1， +∞）。

注：變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結(jié)果的產(chǎn)生。

三、定義域?qū)瘮?shù)單調(diào)性的影響

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進行。

例3. 判斷函數(shù)f（x）=log3（x-2x-3）的單調(diào)性。

錯解：函數(shù)f（x）=log3（x-2x-3）是由u=x2-2x-3y=log3u復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循同增異減的原則，二次函數(shù)u=x2-2x-3的單調(diào)減區(qū)間（-∞，1），單調(diào)增區(qū)間（1，+∞）；在y=log3u定義域上單調(diào)增，所以原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，1），單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）。

正解：先求定義域x2-2x-3>0得x<-1或x>3

所以函數(shù)的定義域為（-∞，1）∪（3，+∞）

u=x2-2x-3知在（-∞，-1），u單調(diào)減；在（3，+∞）單調(diào)增

又y=log3u在（0，+∞）單調(diào)增

所以，原函數(shù)f（x）=log3（x2-2x-3）的減區(qū)間為（-∞，-1），增區(qū)間為（3，+∞）。

注：如果在做題時，沒有在定義域的兩個區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說明學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，沒有理解，在做練習(xí)或作業(yè)時，只是對題型，套公式，而不去領(lǐng)會解題方法的實質(zhì)，也說明學(xué)生的思維缺乏深刻性。

四、定義域?qū)瘮?shù)奇偶性的影響

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體特征是對整個函數(shù)定義域而言的，所以考查函數(shù)的奇偶性一定是函數(shù)的定義域優(yōu)先。

正解：由函數(shù)f（x）=■有意義得1-x2≥0x-2≠2得函數(shù)的定義域{x -1≤x≤1且x≠0}所以f（x）=■，則f（-x）=■=-f（x），所以函數(shù)f（x）=■為奇函數(shù)

五、函數(shù)的定義域?qū)瘮?shù)周期的影響

分析：由題 f（0）有意義，而f（π）不存在，所以 f（0+π）≠f（0）。由周期函數(shù)的定義，若定義域中存在x0使f（x0+T）≠f（x0）則T不是函數(shù) f（x）周期，所以π不是函數(shù)的周期。原因是化簡前后函數(shù)的定義域發(fā)生變化，在函數(shù)的定義域下畫出函數(shù) f（x）=tanx圖像，知函數(shù)f（x）周期為2π。

通過以上的論述，在求解函數(shù)解析式、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等問題中，函數(shù)的定義域都有舉足輕重的作用。在解題中能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過程，就可以避免錯誤的發(fā)生。這也為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了堅實的基礎(chǔ)。

（作者單位：黑龍江省雞西實驗中學(xué) 158100）