數(shù)形雙向溝通在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的研究

作者簡介：王廠文（1964—），男，浙江衢州人，衢州學(xué)院教師教育學(xué)院講師，研究方向：數(shù)學(xué)教育。摘要： 數(shù)形雙向溝通的思想就是運(yùn)用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和圖形的直觀，將數(shù)學(xué)邏輯與圖形語言結(jié)合在一起，將思維的抽象和圖形的直觀結(jié)合起來，通過對圖形的描述、邏輯的論證來研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思維方法。數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)教育中最重要的思想之一，它是連接數(shù)學(xué)中具體與抽象之間的紐帶，既提高了學(xué)生的解題思維能力，又為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：數(shù)形雙向溝通；數(shù)學(xué)教育；數(shù)學(xué)邏輯；認(rèn)知結(jié)構(gòu)

新《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)?！痹谥袑W(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，數(shù)與形是最基礎(chǔ)的兩個(gè)部分，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中處處都是數(shù)字與圖形。

在日常數(shù)學(xué)的教學(xué)活動中，如果學(xué)生能夠?qū)⒊橄笏季S與直觀圖形結(jié)合起來，不僅能表現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)解題的能力，同時(shí)也能體現(xiàn)學(xué)生思維的發(fā)散性與跳躍性。數(shù)形雙向溝通思想不僅能夠拓寬教師和學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的思路，而且能夠?qū)?fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題簡單化、直觀化，因此，復(fù)雜難懂的數(shù)學(xué)題目也就變得簡單易懂了。

一、數(shù)形雙向溝通在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義1有助于學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)邏輯的起點(diǎn)，是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的核心。但是由于數(shù)學(xué)中的概念往往是高度抽象的，它給人一種單調(diào)、乏味、枯燥、難懂的感覺。因此，利用數(shù)形結(jié)合的思想可以幫助學(xué)生正確地理解數(shù)學(xué)概念。

（1）化抽象為具體，有利于數(shù)學(xué)概念的理解、記憶。利用數(shù)形雙向溝通，容易揭示數(shù)學(xué)概念的來龍去脈，學(xué)生易于感知和接受；有利于學(xué)生對知識本質(zhì)的理解；為概念賦予圖形信息，幫助學(xué)生利用圖形信息來理解、記憶概念及對相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行應(yīng)用。

（2）發(fā)展和優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)者頭腦中的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，即數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)通過內(nèi)化在學(xué)者頭腦中所形成的觀念的內(nèi)容和組織。數(shù)形雙向溝通可以使學(xué)生的知識整體化、系統(tǒng)化，便于學(xué)生在各種知識背景下提取有用的信息，且能從“數(shù)”與“形”兩個(gè)維度去考慮解決問題。數(shù)形雙向溝通加強(qiáng)了知識與知識之間的相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，構(gòu)建了有效的知識網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。通過數(shù)形雙向溝通使學(xué)生原有的認(rèn)知水平得到了深化發(fā)展，使學(xué)生對知識的理解更加深刻、透徹。

2有助于拓展學(xué)生解決問題的途徑

（1）數(shù)形雙向溝通是解決具體問題的“向?qū)А薄?shù)形雙向溝通作為一種思維策略，雖然不能作為解答問題的具體方法，但可以作為尋找正確解法的一個(gè)思路及突破口，它使得學(xué)生不會拘泥于現(xiàn)有的方法和思維模式，具有積極的意義。

（2）有助于學(xué)生積累數(shù)學(xué)知識模塊，簡縮思維鏈。不同的學(xué)生對于同一問題的思維過程有長短之分，能力強(qiáng)的學(xué)生思維過程短，思維鏈的環(huán)節(jié)較少，而能力弱的學(xué)生往往表現(xiàn)出思維過程長，思維鏈多且無序。數(shù)形結(jié)合最大的特點(diǎn)就是模型化、直觀化，用簡單、直觀的圖形代替冗長的代數(shù)推理。學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)中儲備有一些豐富的圖形模塊和數(shù)式模塊，在實(shí)際解題的過程中這些圖形模塊和數(shù)式模塊能夠幫助學(xué)生快速、準(zhǔn)確地找出方法。

3有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展

進(jìn)入中學(xué)階段的學(xué)生已完成了由直觀形象思維到抽象邏輯思維的飛躍，但這并不代表在教學(xué)中教師就能夠偏重于某一種思維方式的教學(xué)。形象思維的培養(yǎng)在中學(xué)階段是不容忽視的，也是很重要的。數(shù)形雙向溝通的思想可以培養(yǎng)學(xué)生的多種思維。

（1）有助于幫助學(xué)生樹立形象思維。數(shù)形雙向溝通豐富了表象的儲備，而表象的運(yùn)動過程可促進(jìn)學(xué)生形象思維的發(fā)展。數(shù)形雙向溝通有助于培養(yǎng)學(xué)生對圖形的想象能力，促進(jìn)學(xué)生形象思維的發(fā)展。

（2）有助于培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題能直接揭示問題的本質(zhì)，直觀地看到問題的結(jié)果，只需稍加計(jì)算或推導(dǎo)，就能得到確切的答案，因此許多數(shù)學(xué)問題的解答都是先從幾何形象的直覺感知中得到某種猜想、預(yù)感，然后再進(jìn)行邏輯推理和證明，進(jìn)而使問題得以解決。

（3）有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。數(shù)形雙向溝通表面上看是代數(shù)與幾何之間的結(jié)合。任何的學(xué)習(xí)遷移都是通過概括這一思維過程來實(shí)現(xiàn)的。數(shù)形雙向溝通在應(yīng)用的過程中，常常根據(jù)數(shù)量關(guān)系與圖形特征之間的聯(lián)系和規(guī)律，可以把一個(gè)形的問題轉(zhuǎn)化遷移到與之相應(yīng)的數(shù)的問題，反之，數(shù)的問題轉(zhuǎn)化遷移到與之相應(yīng)的形的問題。

4利用數(shù)形雙向溝通，喚起學(xué)生對數(shù)學(xué)美的追求

數(shù)學(xué)本身就是一門美的科學(xué)，數(shù)學(xué)上的對稱美、輪換美、簡潔美、和諧美、奇異美等形式在數(shù)學(xué)圖形上的體現(xiàn)更為直觀、動人。利用數(shù)形雙向溝通能培養(yǎng)學(xué)生審美情趣，經(jīng)受審美體驗(yàn)，提高審美意識和審美能力，以激勵學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的激情、動力和追求解題的藝術(shù)美，促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)的全面提高。

二、運(yùn)用數(shù)形雙向溝通應(yīng)注意的問題1作圖問題

在同一坐標(biāo)系中將幾個(gè)函數(shù)的圖像進(jìn)行比較時(shí)，要注意函數(shù)圖像的延伸趨勢以及伸展“速度”。教學(xué)中展示的圖像僅僅是函數(shù)圖像的一小部分，而不是完整的圖形。這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的部分圖像中去思考、發(fā)掘。對函數(shù)的發(fā)展趨勢和伸展形狀做出合乎邏輯的判斷，實(shí)現(xiàn)由直觀圖像到抽象性質(zhì)的銜接。

2定義域問題

定義域是自變量的取值范圍，實(shí)際過程中如果學(xué)生忽略了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化過程的等價(jià)問題，那么自變量的取值范圍就有可能擴(kuò)大或縮小了，因此，畫出來的圖像就會多出或者少了一部分，而通過對這樣不正確圖像進(jìn)行分析，得到的結(jié)果往往也是錯誤的。所以，注意轉(zhuǎn)化過程的等價(jià)問題是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，考查轉(zhuǎn)化過程是否等價(jià)，在得到相應(yīng)結(jié)果后，再用另外的方法去進(jìn)行驗(yàn)證、檢查得到的結(jié)論是否正確。

3邏輯問題

“形”并不能完全作為證明的依據(jù)，在幾何證明過程中，除進(jìn)行直觀分析外，還要進(jìn)行代數(shù)邏輯的證明與計(jì)算，并用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表達(dá)證明過程。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合時(shí)，“形”只是一種手段，一個(gè)工具，而不能成為理論依據(jù)。不論是怎么樣的題目，“形”只是我們思考問題的一種方式，只為解題提供一些幫助，只有給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撘罁?jù)，得到的結(jié)論才有說服力。

數(shù)形雙向溝通是一個(gè)非常實(shí)用而且重要的方法，其應(yīng)用性強(qiáng)。在實(shí)際解題過程中，不能完全依賴數(shù)形結(jié)合，因?yàn)樗鼛в袧夂竦摹安聹y”色彩而不能給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明。因此，需要客觀全面分析，發(fā)揮數(shù)形雙向溝通的長處，在突出直觀的同時(shí)，輔以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。

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