抽象函數(shù)的概念及應(yīng)用

劉艷英

抽象函數(shù)能有效地反映學(xué)生對知識的掌握、理解、應(yīng)用及遷移的能力，對培養(yǎng)和提高學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造性思維等能力有很好的促進(jìn)作用。因此，這類問題在高中數(shù)學(xué)的各類考試中經(jīng)常出現(xiàn)，它涉及函數(shù)、方程、不等式等多方面的知識，它滲透著換元、遞推、賦值、猜想、數(shù)形結(jié)合、一般到特殊等思想方法，綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了高考加大對理性思維能力考查的命題思想。本文結(jié)合例題說明抽象函數(shù)的應(yīng)用。

一、抽象函數(shù)在求解定義域方面的應(yīng)用

求抽象函數(shù)的定義域一般表現(xiàn)為已知一個抽象函數(shù)的定義域求另一個抽象函數(shù)的定義域，有三種常見題型：

例1：若函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇-1，1]， 則函數(shù)y=f（2x-1）的定義域?yàn)?。

例2：若函數(shù)y=f（2x-1）的定義域?yàn)閇-1，1]，則函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)?。

例3：若函數(shù)y=f（x2-2）的定義域?yàn)閇1，3]，則y=f（3x+2）定義域?yàn)?。

解：1.∵f（x）的定義域?yàn)閇-1，1]，∴-1≤2x-1≤1，解得0≤x≤1。

∴f（2x-1）的定義域?yàn)閇0，1]。

2.∵f（2x-1）的定義域?yàn)閇-1，1]，∴-1≤x≤1，∴-3≤2x-1≤1 ∴f（x）的定義域?yàn)閇-3，1]。

3.∵f（x2-2）的定義域?yàn)閇1，3]，∴1≤x≤3，1≤x2≤9.∴-1≤x2-2≤7，

∴-1≤3x+2≤7，-1≤x≤■∴f（3x+2）的定義域?yàn)閇-1，■]。

解決好這類問題關(guān)鍵抓好兩點(diǎn)：一是明確函數(shù)的定義域是指自變量的范圍；二通俗地講就是“誰占了誰的地方，原本的地方大小不變”。

二、抽象函數(shù)在求解值域方面的應(yīng)用

求函數(shù)的值域是函數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，與抽象函數(shù)結(jié)合其解法更顯靈活，而且體現(xiàn)了“換元”法的運(yùn)用。

例4：已知f（x）的值域?yàn)閇■，■]，試求y=f（x）+■的值域。

解：∵f（x）∈[■，■] ∴■≤1-2f（x）≤■ 即■≤■≤■

令■=t （■≤t≤■）

則 f（x）=■（1-t2），

函數(shù)化為y=■（1-t2）+t=-■（t-1）2+1

∴t=■時，y最小為■；t=■時y最大為■。

∴y=f（x）+■值域?yàn)閇■，■]。

抓住求值域即求y的范圍的本質(zhì)，換元法把f（x）看做一個整體，運(yùn)用“整體性”思想，把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)來解決，降低了難度。

三、抽象函數(shù)在求解析式方面的應(yīng)用

抽象函數(shù)沒有具體的解析式，而它在與解析式的綜合方面體現(xiàn)了由抽象到具體的思想，通過“賦值法”把抽象的與具體的聯(lián)系起來。

例5：設(shè)f（x）滿足f（0）=1，f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1），求f（x）解析式。

（法一）∵f（0）=1，令x-y=0得f（0）=f（x）-x（2x-x+1）

∴f（x）=x2+x+1

（法二）∵f（0）=1，令x=0得f（-y）=f（0）-y（-y+1）

∴f（-y）=1-y（-y+1）

用x代替-y，得 f（x）=1+x（x+1）

即f（x）=x2+x+1

利用已知條件，合理賦值（賦具體值或代數(shù)式）是解決抽象函數(shù)問題的基本方法。

四、抽象函數(shù)在考查函數(shù)性質(zhì)方面的應(yīng)用

函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)，也是函數(shù)的“核心”。抽象函數(shù)是只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的一類函數(shù)，由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題是函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一，其性質(zhì)常常是隱而不漏，但一般情況下以學(xué)過的常見函數(shù)的背景對函數(shù)性質(zhì)通過代數(shù)表述給出。

例6：已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，滿足對任意x，y∈R都有f（xy）=f（x）f（y）且f（-1）=1。當(dāng)0≤x<1時f（x）∈[0，1）。

（1）判斷f（x）的奇偶性。

（2）判斷f（x）在[0，∞）上的單調(diào)性。

解：（1）令y=-1，則f（-x）=f（x）f（-1）

∵f（-1）=1 ∴f（-x）=f（x）

∴f（x）為偶函數(shù)。

（2）對任意x≥0，有f（x）=f（■×■）=f（■）f（■）=f2（■）≥0

設(shè)0≤x1

∴f（x1）-f（x2）=f（x2·■）-f（x2）=f（x2）·f（■）-f（x2）

∴f（x1）

函數(shù)單調(diào)性的證明方法有導(dǎo)數(shù)法和定義法。由于抽象函數(shù)沒有具體的解析式，所以只能用定義法，由已知條件變形出符合單調(diào)性定義的式子，從而得出結(jié)論。

以上介紹了抽象函數(shù)在函數(shù)問題方面的幾種應(yīng)用，要想解決好抽象函數(shù)問題要注意以下幾點(diǎn)：1.加深對函數(shù)概念、性質(zhì)的理解；2.熟練掌握與抽象函數(shù)有關(guān)的解題方法和技巧；3.緊密聯(lián)系與所給題目有關(guān)的知識，掌握綜合題的解題通法和技巧。

（責(zé)編 趙建榮）