基本上成立的概念及其應(yīng)用

林謙， 楊祺

(1.云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650092;2.云南農(nóng)業(yè)大學(xué) 附屬中學(xué)，云南 昆明 650000)

在實函中很多地方都涉及“基本上成立”的概念，如{xn}在(0,1)內(nèi)處處收斂卻不一致收斂，若從(0,1)內(nèi)去掉一個長度為δ(0<δ<1)的小區(qū)間(1-δ,1)后，{xn}便在余下的點集(0,1-δ]上具有一致收斂性．一般地，當(dāng){fn(x)}在集合E(E?Rn)上不一致收斂時，仍有可能從E中去掉一個“很小”的e，使得{fn(x)}在余下的E-e上一致收斂[1]，但這樣描述顯得模糊、冗長且不夠精確．因此，本文將用類似數(shù)學(xué)分析中極限的ε-δ定義給出“基本上成立”概念的精確定義，并探討其性質(zhì)．有了“基本上成立”的概念，便可簡化許多定理及其證明的過程，同時使許多概念之間的關(guān)系顯得更加簡潔明了和協(xié)調(diào)．

1 基本概念

1.1 基本上成立的概念

定義1 設(shè)P(x)是一個與可測集E中的點x有關(guān)的命題，且?δ>0，存在可測集Eδ?E，使得m(E-Eδ)<δ且命題P(x)在Eδ上成立，則稱命題P(x)在可測集E上基本上成立，并將其記為P(x)n.*.成立于E，即P(x)n.*.成立于E?δ>0，?可測集Eδ?E，使得m(E-Eδ)<δ且P(x)在Eδ上成立，如易知函數(shù)列{xn}在E=(0,1)內(nèi)基本上一致收斂于0．

1.2 函數(shù)列的幾種收斂性概念

下面有關(guān)函數(shù)列收斂的各種詳細(xì)概念見參考文獻(xiàn)[2]，這里僅給出簡述形式．

1.3 函數(shù)項級數(shù)的幾種收斂性概念

1.4 函數(shù)的幾種連續(xù)性概念

(1)處處連續(xù)

定義3[3]若?x0∈A(A?E)，f(x)關(guān)于點集E在點x0處連續(xù)，即?x0∈A有

則稱函數(shù)f(x)關(guān)于點集E在點集A上處處連續(xù)(簡稱f(x)關(guān)于E在A上連續(xù))，或稱函數(shù)f(x)關(guān)于點集E是點集A上的連續(xù)函數(shù)．

若記CE(A)={f(x)|f(x)關(guān)于E在A上連續(xù)}，則定義3可簡述為：

f∈CE(A) ? ?

? ?x0∈A，f(x)關(guān)于E在點x0處連續(xù)．

下面有關(guān)函數(shù)連續(xù)的各種詳細(xì)概念見參考文獻(xiàn)[3]，這里僅給出簡述形式．

1.5 函數(shù)的幾種可導(dǎo)性概念

(1) 處處可導(dǎo)

定義4[4]若函數(shù)f(x)關(guān)于區(qū)域D(?Rn)在點集A(?D)上每一點處都可導(dǎo)(n>1時可導(dǎo)指對每個自變量的偏導(dǎo)數(shù)都存在)，則稱f(x)關(guān)于區(qū)域D在點集A上處處可導(dǎo)(簡稱f(x)關(guān)于D在A上可導(dǎo))，或稱f(x)關(guān)于D是A上的可導(dǎo)函數(shù)．

若記DD(A)={f(x)│f(x)關(guān)于D在A上可導(dǎo)，則定義4可簡述為：

f∈DD(D-E0)? ?x∈A，f(x)關(guān)于D在點x處可導(dǎo)．

(2) 幾乎處處可導(dǎo)

? ?可測集E0?D，使得mE0=0且f(x)關(guān)于D在D-E0上可導(dǎo)．

(3) 基本上可導(dǎo)

??δ>0，?開集Dδ?D，使得mDδ<δ且f(x)關(guān)于D-Dδ在D-Dδ上可導(dǎo)．

2 基本上一致收斂與其他收斂的關(guān)系

2.1 基本上一致收斂與一致收斂和幾乎處處一致收斂的關(guān)系

例1說明：對在E上基本上一致收斂的函數(shù)列{fn(x)}，即使mE<+，也不能保證函數(shù)列{fn(x)}在E上幾乎處處一致收斂、一致收斂和處處收斂．

2.2 基本上一致收斂與基本上收斂的關(guān)系

推論2[2]若mE<+，則

推論4 若mE<+，則

2.3 基本上一致收斂與幾乎處處收斂的關(guān)系

推論5[2]若mE<+，則

推論7 若mE<+，則

2.4 基本上一致收斂與處處收斂的關(guān)系

定理4[2]若mE<+且則反之不成立(見例1)．

推論8 若mE<+且則反之不成立．

2.5 基本上一致收斂與度量收斂的關(guān)系

注：在推論2、推論4、推論5、推論7的充分條件中不需假設(shè)mE<+.

3 基本上收斂與其他收斂的關(guān)系

下面所涉及的函數(shù)均為可測集E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，不再贅述．

3.1基本上收斂與幾乎處處收斂的關(guān)系

3.2 基本上收斂與基本上一致收斂的關(guān)系

見定理2、推論2、推論3和推論4．

例3(葉果洛夫定理)[2]若mE<+且則

3.3 基本上收斂與度量收斂的關(guān)系

定理7[2]若mE<+且則反之不成立(見例6)．

推論11 若mE<+且則反之不成立．

例6說明：對在E上度量收斂的函數(shù)列{fn(x)}，即使mE<+，也不能保證函數(shù)列{fn(x)}在E上基本上一致收斂、幾乎處處一致收斂、一致收斂、基本上收斂、幾乎處處收斂和處處收斂，由此進(jìn)一步說明度量收斂的函數(shù)列是各種收斂函數(shù)列中收斂性最弱的一種情形．

例7 若mE<+且則?{fnk}?{fn}，使得

證明因mE<+且故由定理2有從而結(jié)合定理5和黎斯定理便得證．證畢

4 基本上連續(xù)與可測函數(shù)的關(guān)系

定理8(魯金定理)[5]若f(x)是可測集E上的幾乎處處有限的可測函數(shù)，則?δ>0，?閉集Fδ?E，使得m(E-Eδ)<δ且f∈CFδ(Fδ)，即f(x)關(guān)于E在E上基本上連續(xù)．

推論12 若f(x)是可測集E上的幾乎處處有限的可測函數(shù)，則f(x)關(guān)于E在E上基本上連續(xù)，且?δ>0，?閉集Fδ?E及g∈CRn(Rn)，使得f(x)=g(x)于Fδ及mE[f≠g]<δ.

5 基本上連續(xù)與其他連續(xù)的關(guān)系

由定義容易看出，當(dāng)函數(shù)f(x)關(guān)于點集E在E上處處連續(xù)且A?E時，函數(shù)f(x)關(guān)于點集E在A上也處處連續(xù)，但反之不成立．由此有：

5.1 基本上連續(xù)與處處連續(xù)的關(guān)系

定理9[3]若f∈CE(E)，則f(x)關(guān)于E在E上基本上連續(xù)，即?δ>0，?可測集Eδ?E，使得mEδ<δ且f∈CE-Eδ(E-Eδ)，反之不成立(見例9)．

5.2 基本上連續(xù)與幾乎處處連續(xù)的關(guān)系

定理10[3]若函數(shù)f(x)關(guān)于E在E上幾乎處處連續(xù)，則f(x)關(guān)于E在E上基本上連續(xù)，反之不成立(見例9)．

5.3 基本上連續(xù)與本性連續(xù)的關(guān)系

定理11[3]若函數(shù)f(x)關(guān)于E在E上本性連續(xù)，則f(x)關(guān)于E在E上基本上連續(xù)，反之不成立．

例10 對E=[0,1]，用類似于Cantor集的構(gòu)造法可構(gòu)造一個無內(nèi)點的閉集A?E，使得mA>0且0,1∈A，則可在E上定義可測函數(shù)

f(x)=χA(x)(點集A的特征函數(shù))

于是由魯金定理知，函數(shù)f(x)關(guān)于點集E在E上基本上連續(xù)，且可證[3]函數(shù)f(x)關(guān)于點集E在E上非本性連續(xù)．

6 基本上可導(dǎo)與其他可導(dǎo)的關(guān)系

6.1 基本上可導(dǎo)與處處可導(dǎo)的關(guān)系

6.2 基本上可導(dǎo)與幾乎處處可導(dǎo)的關(guān)系

證明“?” 由定義立得．

[1] 江澤堅，吳智泉，紀(jì)友清．實變函數(shù)論[M]．三版.北京：高等教育出版社，2007．

[2] 林謙．關(guān)于可測函數(shù)列的各種收斂性[J]．云南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1994，14(1)：8-17．

[3] 林謙．函數(shù)在點集E?Rn上連續(xù)的六個層次[J].云南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2002，22(4)：4-7.

[4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編．?dāng)?shù)學(xué)分析[M]．四版.北京：高等教育出版社，2010．

[5] 程其襄，張奠宙，魏國強(qiáng)，等．實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M]．三版.北京：高等教育出版社，2010．