非線性函數(shù)三次型逼近算法研究

宋巨龍，錢富才，梁錦錦

(1.西安石油大學 理學院,陜西 西安 710065；2.西安理工大學 自動化與信息工程學院，陜西 西安 710048)

在非線性控制領(lǐng)域中，二次型最優(yōu)控制方法是一個值得研究的方向，文獻[1] 提出了非齊次雙線性二次型最優(yōu)控制迭代算法、文獻[2] 基于二次型性能指標對簡單自適應控制系統(tǒng)進行了研究，文獻[3] 給出了一個二次型控制方法在風量空調(diào)箱優(yōu)化方面的應用。文獻[4] ～[6] 則對廣義二次型和類二次型以及矩陣的性質(zhì)及應用進行了研究，文獻[7] 所論及的二次型設(shè)計方法則涉及二次型在軍事領(lǐng)域的應用，此外二次型還在航空、自動化、化工[7-9]等諸多領(lǐng)域中有著廣泛的應用。在最優(yōu)化方法中，人們也常常將非線性函數(shù)展開為二次函數(shù)進行近似求解[10]，這里也涉及二次型。受上述文獻的啟發(fā)我們考慮如果能將非線性函數(shù)的三階泰勒多項式加以應用，用三次型替代二次型應該能夠得到更為精確的結(jié)果。但是目前較為一般的方法是把非線性函數(shù)利用其二次函數(shù)替代，這是因為多元函數(shù)三次以上的泰勒展開式的形式比較復雜，從幾何意義上看不很明確，利用起來比較困難。比如文獻[11] 對多元函數(shù)的泰勒公式進行了研究，但所使用的就是傳統(tǒng)的多元函數(shù)泰勒展開式，顯得較為繁瑣而不易理解。此外注意到函數(shù)逼近論中很多情況下也是將一個函數(shù)用多項式來替代從而達到近似計算的目的[12]，如果我們能給出更高階的、幾何特征正直觀的多項式，也會使這種問題得到更精確的結(jié)果。

本文根據(jù)目前的研究現(xiàn)狀，從二次型這一概念及其重要的應用性出發(fā)，對二次型進行一個數(shù)學意義上的擴展，提出了一個新的概念——三次型。對二次型的運算方式進行稍稍改變，并由此出發(fā)給出三次型的定義和運算方法。從向量、矩陣引申出體陣的概念；從二次型擴展到三次型。還將傳統(tǒng)的二次型和新提出來的三次型在形式上、運算方式上進行了統(tǒng)一，給出了三次型的各階導數(shù)。

1 二次型

二次型的定義[4]：

眾所周知，二次型由于其形式特殊、性質(zhì)特殊、應用范圍廣泛，因而極具研究價值。

推而廣之，不難寫出n元k次齊次多項式。

相信很多人也想過這個問題，只不過對其理論意義和應用價值無法確定，另外由于其表現(xiàn)形式已經(jīng)比較復雜了，失去了二次型通過矩陣運算相對簡單的特性，因而如何使其運算簡單化，也是需要考慮的一個問題。下面對這些問題逐一進行探討。

2 三次型的定義

為了使得后面所討論的問題能夠有一個比較簡單的形式，先給出一些定義。

定義2稱由n個數(shù)a1,a2,…,an組成的n維數(shù)組為一個1度n維體陣，記為：

即為通常意義上的n維向量，因而1度n維體陣也和向量看作是相同的。

定義3稱由n2個數(shù)aij(i,j=1,2,…,n)組成的正方形數(shù)表為一個2度n維體陣，記為：

其中aij=aji(i≠j,i,j=1,2,…,n)。即通常意義上的n階方陣。

定義4稱由n3個數(shù)aijk(i,j,k=1,2,…,n)組成的立方體數(shù)陣為一個3度n維體陣，記為：

其中:

aijk=aikj=akji=akij=ajik=ajki

(i≠j, 或j≠k, 或k≠i;i,j,k=1,2,…,n)

定義6設(shè)有2度n維體陣:

圖1 2度n維體陣與x2的乘積法則

如圖2所示。

圖2 3度n維體陣與x3的乘積法則

3度n維體陣與向量x的冪的乘積方法為：

簡單地說，分三步進行，每次都是將體陣中的每一列和與該列平行的x1,x2,…,xn作內(nèi)積，最終形成一個數(shù)字。由于體陣的對稱性，這種做法可以按可能的任意一種順序進行，其結(jié)果都是一樣的。

3 三次型的導數(shù)

根據(jù)上述定義，從導數(shù)的定義出發(fā)，不難推出以下關(guān)于三次型的各階導數(shù)的結(jié)論。

對于上面的結(jié)論，因為都非常簡單，所以這里只對3)中的?進行證明。

證明：由于函數(shù)的表達式是由n3個項的和構(gòu)成的，所以我們只需證明任意一項的三階導數(shù)都等于其系數(shù)即可。設(shè)任意一項為akijxkxixj, 分3種情形討論。

綜合以上，可知命題3)的?是成立的。

當我們給出上述表示方法，并且有了相應函數(shù)的導數(shù)記法，原來已有的多元函數(shù)的一些表示方法可以寫成和人們熟悉的一元函數(shù)一樣。

例3 此外還可以定義三次多項式函數(shù)：

其一階導數(shù)為：

二階導數(shù)為:

三階導數(shù)為:

例4 三階偏導數(shù)連續(xù)的多元函數(shù)的泰勒公式可以寫為：

f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+

4 結(jié) 論

提出了體陣的概念，并通過體陣的定義推導出體陣的導數(shù)的形式和導數(shù)，給出了一些數(shù)學結(jié)果及其記法，給出了幾個體陣的運算方法，使得復雜問題得以簡化規(guī)范，并且將多元函數(shù)的符號記法及運算結(jié)果與一元函數(shù)的符號記法及運算結(jié)果進行了統(tǒng)一，使得多元函數(shù)的表示更加簡潔、更易于理解，該結(jié)果有一定的實用價值。

另外，當筆者給出三次型之后，很可能有類似于二次型的應用結(jié)果。例如是否存在三次型的特征值和特征向量，其意義如何？再如，動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性一直是理論界和工程界關(guān)注的熱點問題之一，因為不穩(wěn)定的系統(tǒng)無法付諸實際應用，而Lyapunov方法是解決這類問題的有力工具。

對于線性系統(tǒng)，判斷平衡點穩(wěn)定性的基本思想為：首先構(gòu)造一個具有二次型的Lyapunov函數(shù)，然后求解Lyapunov方程，就可給出所需的結(jié)果。

對于多元多項式非線性系統(tǒng)，用類似的思想也可以對平衡點的穩(wěn)定性進行判斷，只不過需要把二次型的Lyapunov函數(shù)推廣到三次正定型，這方面的潛在應用還有待于進一步研究。

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