基于t分布為先驗(yàn)約束的疊前AVO反演

印興耀，周琪超，宗兆云，劉漢卿

(中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東青島266580)

疊前AVO反演通過(guò)研究地震波振幅隨入射角的變化規(guī)律，可以從含有豐富動(dòng)力學(xué)信息的疊前地震資料中獲得多種反映地下儲(chǔ)層物性信息的彈性參數(shù)，為儲(chǔ)層預(yù)測(cè)與烴類(lèi)檢測(cè)提供定量化的依據(jù)[1]。然而，疊前反演是一個(gè)嚴(yán)重的病態(tài)問(wèn)題[2]，并且易受噪聲等不確定性因素的影響。為了獲得穩(wěn)定可靠的反演解，必須對(duì)反演過(guò)程進(jìn)行合理的約束。

基于貝葉斯理論框架的疊前三參數(shù)反演研究是目前對(duì)反演效果進(jìn)行改善的主流方向，該方法將似然函數(shù)與先驗(yàn)地質(zhì)信息結(jié)合，通過(guò)求解最大后驗(yàn)概率來(lái)建立反演的目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而反演彈性參數(shù)。其中，先驗(yàn)信息的正則約束作用可以較好地解決三參數(shù)同時(shí)反演所存在的“病態(tài)”問(wèn)題[3]，似然函數(shù)的構(gòu)建則可以體現(xiàn)反演目標(biāo)與地震子波及地震數(shù)據(jù)的關(guān)系。但對(duì)于先驗(yàn)信息及似然函數(shù)的選擇，并沒(méi)有統(tǒng)一的假設(shè)及論述，對(duì)此許多學(xué)者進(jìn)行了大量的研究。

Mallick等[4]將貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)的框架引入AVO數(shù)據(jù)的反演，并用遺傳算法實(shí)現(xiàn)了AVO數(shù)據(jù)的波形反演;Buland等[5]通過(guò)概率統(tǒng)計(jì)分析認(rèn)為彈性參數(shù)特別是縱波速度基本符合高斯分布，并以此構(gòu)建出貝葉斯反演方法，得到較好地反演結(jié)果;Downton[6]在動(dòng)校正的基礎(chǔ)上做了AVO稀疏脈沖波形的反演，得到了反射系數(shù)剖面，發(fā)現(xiàn)柯西先驗(yàn)比高斯先驗(yàn)分布分辨率更高;Hampson等[7]結(jié)合疊后波阻抗公式推導(dǎo)的思想，給出了疊前AVO三參數(shù)反演公式;陳建江等[8-9]基于貝葉斯理論，建立了測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)的參數(shù)協(xié)方差矩陣約束反演，提高了反演問(wèn)題的穩(wěn)定性;楊培杰等[10]驗(yàn)證了改進(jìn)柯西分布的改良效果，提出了一種基于非線(xiàn)性二次規(guī)劃的疊前三參數(shù)反演方法，能夠較好地反演信噪比較低的數(shù)據(jù);張世鑫等[11]提出了以三分量柯西分布作為先驗(yàn)函數(shù)分布，在利用柯西分布保護(hù)弱反射信息的同時(shí)考慮了三參數(shù)統(tǒng)計(jì)的相關(guān)特性，得到了較為準(zhǔn)確的反演參數(shù);王磊等[12]提出了在先驗(yàn)信息不確定條件下貝葉斯結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)方法，提高了貝葉斯框架的可信度;劉洋等[13]提出了針對(duì)非高斯噪聲的地震疊前反演算法，構(gòu)造了能同時(shí)壓制高斯和非高斯噪聲的混合范數(shù)作為反演的目標(biāo)函數(shù)，較為有效地壓制了疊前地震資料中的噪聲。

我們?cè)谇叭搜芯康幕A(chǔ)上，基于貝葉斯理論，以t分布作為先驗(yàn)函數(shù)構(gòu)建疊前AVO反演方法，實(shí)現(xiàn)了三參數(shù)的約束反演，為儲(chǔ)層預(yù)測(cè)提供了更為可靠的反演參數(shù)。

1 t分布

為了提高對(duì)先驗(yàn)函數(shù)選擇的準(zhǔn)確性，增加后驗(yàn)函數(shù)的可信度，通過(guò)對(duì)多個(gè)地區(qū)若干口井的測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)在絕大部分地區(qū)待反演的地層參數(shù)更符合t分布，而與高斯、柯西分布存在較大差別，因此，選擇t分布作為先驗(yàn)函數(shù)更為合理(圖1)。

圖1 井中待反演參數(shù)分布

t分布的概率密度函數(shù)是常規(guī)的t分布自由度(k)選擇值通常為k>1，但在此構(gòu)建計(jì)算過(guò)程中，為了在特殊情況下提高分辨率，我們也可以選擇k<1。當(dāng)t分布自由度取1時(shí)，t分布成為柯西分布；當(dāng)自由度取+∞時(shí)，t分布成為高斯分布。

(1)

圖2給出了不同自由度的t分布與高斯分布及柯西分布的函數(shù)曲線(xiàn)對(duì)比。由圖2可以看出，在構(gòu)建的貝葉斯理論框架下，先驗(yàn)函數(shù)選擇高斯分布和柯西分布只是t分布的兩個(gè)特例，與高斯分布、柯西分布相比，t分布有更大的適用性。

圖2 不同自由度的t分布與高斯分布及柯西分布的函數(shù)曲線(xiàn)

2 方法原理

2.1 反演流程

我們采用基于t分布作為先驗(yàn)函數(shù)構(gòu)建的貝葉斯疊前AVO反演方法，通過(guò)處理過(guò)的地震數(shù)據(jù)和地震子波，直接反演得到彈性參數(shù)，具體流程如圖3所示。

圖3 基于貝葉斯框架的AVO反演流程

2.2 基于t分布為先驗(yàn)函數(shù)的貝葉斯方程的建立

由貝葉斯公式得到參數(shù)m的后驗(yàn)概率分布為

(2)

式中：m為要估計(jì)的參數(shù);x為觀測(cè)樣本;p(m|x)為后驗(yàn)概率;p(m)為先驗(yàn)概率;p(x|m)為似然函數(shù)。貝葉斯估計(jì)在地震反演中的用法就是由帶噪聲的觀測(cè)數(shù)據(jù)d估計(jì)模型參數(shù)m。假設(shè)地震資料的背景噪聲服從高斯分布，則似然函數(shù)為

(3)

(4)

式中：σm為模型參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。由貝葉斯公式[3,14]可得后驗(yàn)概率分布為

(5)

其中，

對(duì)后驗(yàn)概率分布取極值(對(duì)目標(biāo)函數(shù)取對(duì)數(shù)，省略常數(shù)項(xiàng)，再求導(dǎo))得

(8)

2.3 模型約束

在有井資料或其他地質(zhì)資料時(shí)，通常用一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)變換關(guān)系式來(lái)對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行趨勢(shì)約束，使反演結(jié)果更精確。

本文中的模型約束矩陣形式寫(xiě)為

(9)

式中：ξ為模型參數(shù)對(duì)應(yīng)的井資料數(shù)據(jù);P為積分算子矩陣。

將模型約束加入到目標(biāo)函數(shù)，則最終目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?/p>

(10)

(11)

2.4 自由度的選擇

由(11)式可以看出，在反演目標(biāo)函數(shù)中，除了噪聲和模型的分布方差外，自由度k是反演過(guò)程中正則化約束大小的決定性因素。t分布自由度的選擇，是決定反演效果的重要因素。對(duì)一般地區(qū)的處理，可根據(jù)反演地區(qū)的井?dāng)?shù)據(jù)，通過(guò)參數(shù)提取進(jìn)行曲線(xiàn)擬合，以此確定自由度的數(shù)值。對(duì)于無(wú)井地區(qū)的自由度選擇，可先抽取一個(gè)地震道集，通過(guò)反演試算確定自由度。

3 模型試算

給定一個(gè)雷克子波和反射界面模型，進(jìn)行無(wú)噪與有噪的正演合成，結(jié)果如圖4所示。

下面驗(yàn)證t分布與柯西分布、高斯分布作為先驗(yàn)函數(shù)的反演效果。

1) 當(dāng)信噪比為4時(shí)，合成數(shù)據(jù)(圖5a)質(zhì)量較好，分別采用柯西分布、t分布以及高斯分布的算法進(jìn)行反演，得到圖5b，圖5c和圖5d?？梢钥闯觯呔茏R(shí)別反射層位，柯西分布和t分布的反演結(jié)果分辨率相對(duì)較高，故應(yīng)選擇柯西分布或自由度相對(duì)較小的t分布。

2) 當(dāng)信噪比為2時(shí)，合成數(shù)據(jù)(圖6a)質(zhì)量一般，分別采用柯西分布、t分布以及高斯分布構(gòu)建的算法進(jìn)行反演，得到圖6b，圖6c和圖6d?？梢钥闯觯咚狗植嫉姆囱萁Y(jié)果可以大體分辨反射層位，但波動(dòng)性較大，精度較低;柯西分布的反演結(jié)果精度提高，卻產(chǎn)生了“假反射”，誤導(dǎo)反射層位的判斷;而t分布的反演結(jié)果可以較好地反應(yīng)反射層位，且分辨精度較高。

通過(guò)圖5和圖6可以看出，相對(duì)于t分布作為先驗(yàn)函數(shù)構(gòu)建的算法，高斯分布(相當(dāng)于自由度為+∞的t分布)和柯西分布(相當(dāng)于自由度為1的t

圖4 給定的子波(a)與反射系數(shù)(b)正演合成的無(wú)噪(c)和有噪(d)數(shù)據(jù)

圖5 信噪比為4時(shí)合成數(shù)據(jù)(a)的柯西分布(b)、t分布(c)及高斯分布(d)反演結(jié)果

分布)作為先驗(yàn)函數(shù)構(gòu)建的算法反演效果相對(duì)較差。通過(guò)圖5b和圖5c(或者圖6b和圖6c)的對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)自由度適當(dāng)增大可以提高反演的穩(wěn)定性;通過(guò)圖5c和圖5d(或者圖6c和圖6d)的對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)自由度適當(dāng)減少可以提高分辨率。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證t分布作為先驗(yàn)分布的貝葉斯反演方法的可行性，我們對(duì)圖7所示的Marmousi模型數(shù)據(jù)(包括縱、橫波速度及密度數(shù)據(jù))進(jìn)行試算。

圖8是根據(jù)圖7中的數(shù)據(jù)進(jìn)行不同角度道集疊加的剖面。圖9是對(duì)圖8中的疊加剖面進(jìn)行基于t分布的疊前AVO反演得到的彈性參數(shù)剖面。通過(guò)反演出的縱、橫波速度和密度剖面(圖9)與原始二維地層模型數(shù)據(jù)(圖7)的對(duì)比可以看出，二者吻合度較高，且分層較為清晰，細(xì)節(jié)反演準(zhǔn)確，證明了t分布構(gòu)建的貝葉斯框架反演效果較好，有較高的分辨率和適用性。

圖6 信噪比為2時(shí)合成數(shù)據(jù)(a)的柯西分布(b)、t分布(c)及高斯分布(d)反演結(jié)果

圖7 二維Marmousi地層模型數(shù)據(jù)a 縱波速度; b 橫波速度; c 密度

圖8 Marmousi模型數(shù)據(jù)不同角度道集疊加剖面a 小角度(5°～15°); b 中角度(15°～25°); c 大角度(25°～35°)

圖9 Marmousi模型數(shù)據(jù)基于t分布的疊前AVO反演得到的彈性參數(shù)a 縱波速度; b 橫波速度; c 密度

4 實(shí)際資料處理

為了驗(yàn)證本文方法處理實(shí)際資料的有效性和實(shí)用性，對(duì)某地區(qū)實(shí)際地震資料的疊前角道集進(jìn)行彈性參數(shù)反演。分別采用基于柯西分布、t分布和高斯分布作為先驗(yàn)函數(shù)構(gòu)建的算法進(jìn)行反演，對(duì)反演得到的結(jié)果與測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析。

圖10是該地區(qū)縱波速度的反演結(jié)果，可以看出，基于3種分布的算法均能較好地反演出縱波速度，但在一些細(xì)節(jié)部位(見(jiàn)圖中藍(lán)圈標(biāo)示)，t分布還是具有較好的改善功能。

圖11是該地區(qū)橫波速度的反演結(jié)果，可以看出，t分布作為先驗(yàn)函數(shù)構(gòu)建的反演算法(圖11b)比柯西分布、高斯分布作為先驗(yàn)函數(shù)構(gòu)建的反演算法(圖11a，圖11c)反演效果明顯改善(見(jiàn)圖中藍(lán)圈標(biāo)示)，反演的數(shù)據(jù)更切合真實(shí)值。

圖12是該地區(qū)密度信息的反演結(jié)果，可以看出，密度反演相對(duì)于縱、橫波速度反演精確度明顯下降，但以t分布為先驗(yàn)函數(shù)的反演算法(圖12b)比柯西分布、高斯分布作為先驗(yàn)函數(shù)的反演算法(圖12a，圖12c)整體效果要好，反演出的密度基本可以較好地刻畫(huà)地層巖石的真實(shí)密度。

圖10 實(shí)際資料反演得到的縱波速度(黑色曲線(xiàn))與測(cè)井縱波速度(紅色曲線(xiàn))對(duì)比a 柯西分布; b t分布; c 高斯分布

圖11 實(shí)際資料反演得到的橫波速度(黑色曲線(xiàn))與測(cè)井橫波速度(紅色曲線(xiàn))對(duì)比a 柯西分布; b t分布; c 高斯分布

圖12 實(shí)際資料反演得到的密度(黑色曲線(xiàn))與測(cè)井密度(紅色曲線(xiàn))對(duì)比a 柯西分布; b t分布; c 高斯分布

通過(guò)圖10至圖12的對(duì)比分析表明，針對(duì)實(shí)際地震資料，t分布構(gòu)建的貝葉斯框架反演方法反演精度更高，適用性更好，可以得到更為可靠的彈性參數(shù)反演結(jié)果，從而更為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)儲(chǔ)層流體。

5 結(jié)束語(yǔ)

1) 模型數(shù)據(jù)和實(shí)際資料的疊前反演結(jié)果表明，t分布作為先驗(yàn)概率分布更符合實(shí)際地層參數(shù)分布，反演效果更好。

2) 對(duì)于t分布的自由度選取，應(yīng)對(duì)測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行曲線(xiàn)擬合，得到初始自由度。

3) 對(duì)t分布自由度的選擇還應(yīng)考慮實(shí)際地震資料的采集、處理情況，若反演初始資料質(zhì)量相對(duì)較高，則應(yīng)選擇較小的自由度;若反演初始資料質(zhì)量相對(duì)較低，則應(yīng)選擇較大的自由度。

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