非慣性系之間相對運動方程的探討

熊標(biāo)， 郭振平

( 延邊大學(xué)理學(xué)院 物理系， 吉林 延吉 133002 )

研究物體的運動規(guī)律時通常選取慣性參考系進(jìn)行描述，但是當(dāng)物體的運動情況比較復(fù)雜時，僅采用慣性參考系難以給出一個清晰且精確的描述，還要借助于一定的非慣性參考系[1-3]．近年來，隨著航天技術(shù)、空間探測技術(shù)和自動控制技術(shù)的高速發(fā)展，人們對機器人、航天器和衛(wèi)星定位系統(tǒng)的精度要求越來越高，迫切需要研究非慣性系之間的相對運動問題[4-6]．Alessi等人[7]從一個低地球軌道研究了地球-月球非慣性系統(tǒng)的特性；文獻(xiàn)[8]基于太陽-地球-月球間的非慣性系統(tǒng)開發(fā)了一種用于載人航天任務(wù)的訓(xùn)練系統(tǒng)；Alipour等人[9]建立了非慣性系統(tǒng)動力學(xué)模型，并研究了懸浮的輪式移動機器人的穩(wěn)定運動問題；Stephan等人[10]則根據(jù)非慣性系統(tǒng)動力學(xué)模型提出了全球定位的測距方程；姜雪潔[11]研究了地球表面附近相對運動的偏差；王正昌[12]根據(jù)加速度的相對性對伽利略變換進(jìn)行了推廣；梁立孚等人[13]提出了在非慣性系中研究動力剛化問題；趙培茈和郭振平[14]研究了非慣性系下的雙滑輪運動的特性，指出了常見的分析誤區(qū)．基于上述文獻(xiàn)研究，本文為進(jìn)一步研究兩個轉(zhuǎn)動非慣性系之間的相對運動規(guī)律，將慣性系與非慣性系之間的相對運動方程推廣到非慣性系之間，通過非慣性系之間相對運動的分析建立了非慣性系之間的相對運動方程，并推導(dǎo)出非慣性系之間相對運動的速度和加速度的變換關(guān)系，進(jìn)而討論了以地球作為慣性參考系來計算轉(zhuǎn)動速度和加速度是否合適.

1 轉(zhuǎn)動非慣性系與慣性系之間的運動關(guān)系

如圖1所示：在靜止參考系S上建立坐標(biāo)系O-xyz， 運動參考系S′以角速度ω′繞z軸逆時針轉(zhuǎn)動；在運動參考系S′上建立坐標(biāo)系O-x′y′z(兩坐標(biāo)系的原點及z軸重合)．在靜止參考系S中任一點P的位矢r與Ox′的夾角為γ1，Ox′與Ox的夾角為φ1， 則r投影到S′系為

圖1 動參考系相對靜止參考系旋轉(zhuǎn)

r=x′i′+y′j′，

(1)

而

(2)

v=v′+ω′×r′.

(3)

2 兩個轉(zhuǎn)動非慣性系之間的速度關(guān)系

為消去(3)式中的v和ω′， 本文再引進(jìn)一個以角速度ω″繞z軸逆時針轉(zhuǎn)動的動系S″．在轉(zhuǎn)動參考系S″上建立坐標(biāo)系O-x″y″z， 使r與Ox″的夾角為γ2，Ox″與Ox的夾角為φ2(圖2)，則r投影到動系S″為r=x″i″+y″j″．

圖2 轉(zhuǎn)動參考系與靜止參考系間的關(guān)系

同理可以求得

(4)

v′+ω′×r′=v″+ω″×r″.

(5)

不難證明r′=x′i′+y′j′=r″=x″i″+y″j″， 然后將r′=r″代入(5)式得

v′=v″+(ω″-ω′)×r″．

(6)

(7)

令θ=φ2-φ1， 將其代入(7)式得

(8)

將(8)式代入(6)式得

(9)

3 兩個轉(zhuǎn)動非慣性系之間的加速度關(guān)系

為了求加速度間的關(guān)系，將(3)式兩端同時對時間t求導(dǎo)，得加速度a投影到S′系為

(10)

(11)

(12)

由(8)式可得

(13)

(14)

a向=-(ω″2-ω′2)r″.

(15)

4 結(jié)論

本文通過兩個轉(zhuǎn)動參考系間相對運動的分析，研究了兩個非慣性參考系之間的運動關(guān)系，推導(dǎo)出非慣性系之間相對運動的速度和加速度表達(dá)式，并給出了以地球為非慣性參考系的向心加速度公式．本文研究表明，對于相對運動的運動學(xué)方程，在由一重非慣性系(由一個慣性系和一個非慣性系構(gòu)成)向二重非慣性系(由兩個非慣性系構(gòu)成)推廣的過程中，對于平面轉(zhuǎn)動參考系，只有速度公式能用于二重非慣性系中，而加速度公式不再適用．因此，以地球為慣性系建立的相對運動方程，只有速度方程可用，而加速度方程必須進(jìn)行修正．本文研究僅涉及宏觀低速范圍，關(guān)于高速條件下的相對論效應(yīng)將另文討論.

參考文獻(xiàn)：

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