自然數(shù)方冪和公式的一種新推法

樸元俊, 廉曉龍

( 延邊大學(xué)師范分院， 吉林 延吉 133000 )

求自然數(shù)方冪和既是一個古典的數(shù)學(xué)問題，也是當(dāng)今數(shù)學(xué)研究的熱點問題之一.文獻(xiàn)[1-5]的作者分別采用逐差法、貝努利數(shù)的性質(zhì)、遞推方法等得到了許多有益的研究結(jié)果，但其推導(dǎo)過程和結(jié)果較為復(fù)雜.本文利用組合數(shù)學(xué)中的母函數(shù)理論[6]和排列組合知識，用相對簡捷的方法推導(dǎo)出一種比較新穎的自然數(shù)方冪和公式.

1 預(yù)備定理及其證明

(1)

(2)

則系數(shù)(Ti j)有遞推關(guān)系：

Ti j=-(i-j+1)Ti-1 j-1+Ti-1 j, 1

(3)

T22=-T11=-1；

T32=-2T21+T22=-3,T33=-T22=1；

….

(4)

由(2)式和(4)式，得遞推關(guān)系Ti j=-(i-j+1)Ti-1 j-1+Ti-1 j, 1

將方冪ni(i∈N)的系數(shù)(Ti j)逐次排列成圖1所示的“金字塔”形，不難發(fā)現(xiàn)：在類似于楊輝三角的“金字塔三角形”狀態(tài)排列中，每個數(shù)都是整數(shù)，Ti j表示第i行第j個數(shù)(i代表行號，j代表排列序號)；從第2行起，每一行數(shù)的“符號”交替變換，奇數(shù)行的首位數(shù)和末數(shù)都是1，偶數(shù)行的首位數(shù)是1、末位數(shù)是-1,其他每個數(shù)都等于它的左上方的數(shù)的相反數(shù)乘以自己的倒數(shù)序號加上右上方的數(shù).依據(jù)遞推關(guān)系(3)，整個“金字塔三角形”圖表可以繼續(xù)寫下去.本文稱此圖表為“類楊輝三角”.

11-11-311-67-11-1025-1511-1565-9031-1…………………………………

圖1類楊輝三角

2 主要公式的推導(dǎo)

根據(jù)定理2的意義，自然數(shù)方冪為

則自然數(shù)的k次方冪和(數(shù)列{nk}的前n項和)為

(5)

基于系數(shù)圖表(類楊輝三角)的上述求自然數(shù)方冪和的公式，僅利用初等排列組合計算即可，這既簡捷、新穎，又便于實現(xiàn)計算機編程.

3 實例

解由(5)式可知：

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊志強.用逐差法求解自然數(shù)方冪之和[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2003,33(11)：136-137.

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[6] 田秋成.組合數(shù)學(xué)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2006.