2×3量子系統(tǒng)中互不偏的不可擴(kuò)展最大糾纏基

李瑋， 林平， 鄭鴻楠， 秦川棋， 楊強(qiáng)， 陶元紅

( 延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 吉林 延吉 133002 )

本文主要討論了2×3量子系統(tǒng)中彼此互不偏的不可擴(kuò)展的最大糾纏基.通過(guò)變換C3空間的基底，構(gòu)造了彼此無(wú)偏的兩組均由4個(gè)彼此規(guī)范正交的最大糾纏態(tài)構(gòu)成的2×3量子系統(tǒng)中不可擴(kuò)展的最大糾纏基，并在保證無(wú)偏的前提下，將這兩組不可擴(kuò)展的最大糾纏基進(jìn)行了完備化.

1 C2?C3中不可擴(kuò)展的最大糾纏基

定義2[4]由態(tài){|φi〉∈Cd?Cd′:i=1,2,…,n,n

1) |φi〉,i=1,2,…,n均為最大糾纏態(tài);

2) 〈φi|φj〉=δij;

3) 若對(duì)任意i=1,2,…,n, 均有〈φi|φ〉=0， 則φ必不是最大糾纏的.

首先構(gòu)造2×3量子系統(tǒng)中的不可擴(kuò)展的最大糾纏基.考慮C2?C3中如下4個(gè)彼此規(guī)范正交的最大糾纏態(tài)：

(1)

其中{|0〉,|1〉}，{|0′〉，|1′〉，|2′〉}分別為C2和C3中的標(biāo)準(zhǔn)正交基.

定理1(1)式中的4個(gè)最大糾纏態(tài)構(gòu)成了C2?C3中一組不可擴(kuò)展的最大糾纏基.

證明顯然(1)式中的每個(gè)態(tài)都是C2?C3中的最大糾纏態(tài)，且彼此規(guī)范正交.

即

(2)

(3)

(4)

(5)

顯然,(2)—(5)式可寫成

(6)

即為齊次方程組

Av=0.

(7)

綜上，(1)式中的4個(gè)向量構(gòu)成了C2?C3中的一組不可擴(kuò)展的最大糾纏基.

2 2×3量子系統(tǒng)中互不偏的不可擴(kuò)展最大糾纏基

首先在C3中選取與{|0′〉，|1′〉，|2′〉}不同的另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基(此組基與文獻(xiàn)[5]中的完全不同)：

(8)

然后利用定理1，構(gòu)造C2?C3中的第2組不可擴(kuò)展的最大糾纏基

(9)

容易證得，(1)式和(9)式這兩組不可擴(kuò)展的最大糾纏基是互不偏的，即

(10)

事實(shí)上，由于

(11)

(12)

為了證明這兩組基是互不偏的，只需證明如下兩組等式即可：

(13)

事實(shí)上，由于

綜上可知，(11)式和(12)式構(gòu)成了2×3量子系統(tǒng)中一對(duì)完備的互不偏的不可擴(kuò)展的最大糾纏基.

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