平面S型微彈簧多軸向彈性系數(shù)分析

程建建，聶偉榮，周織建，黃慶武

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇南京　210094)

0　引言

微彈簧是MEMS(micro electro-mechanical systems)器件的重要組成部分，其為MEMS器件提供彈性力以及傳遞能量[1]。S型彈簧是最典型微平面彈簧之一[2]，其3個(gè)坐標(biāo)方向的彈簧彈性被廣泛地應(yīng)用于MEMS器件設(shè)計(jì)中。文獻(xiàn)[3]采用S型彈簧的橫向剛度為結(jié)構(gòu)的主剛度，但缺少相應(yīng)的彈性系數(shù)理論計(jì)算公式。文獻(xiàn)[3-4]利用S型彈簧縱向彈性設(shè)計(jì)器件，文獻(xiàn)[2，5]推導(dǎo)了集中力作用下S型彈簧的縱向彈性系數(shù)。文獻(xiàn)[6-7]中結(jié)構(gòu)的功能性剛度為S型彈簧的垂直方向剛度，文獻(xiàn)[8]對(duì)集中力作用下S型彈簧垂直彈性系數(shù)進(jìn)行了理論公式的推導(dǎo)。文中推導(dǎo)了集中力(即等效作用于彈簧自由端的質(zhì)點(diǎn)力)作用下S型彈簧的橫向剛度，修正了文獻(xiàn)[8]彈性系數(shù)計(jì)算公式。在慣性環(huán)境作用下的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，影響彈簧彈性系數(shù)的結(jié)構(gòu)參數(shù)類(lèi)型及影響程度將發(fā)生改變，因此上述文獻(xiàn)S型彈簧彈性系數(shù)公式不適用于微慣性開(kāi)關(guān)、微加速度計(jì)等微慣性執(zhí)行器件中彈性系數(shù)計(jì)算。文中分別推導(dǎo)了慣性力(即環(huán)境加速度作用于微彈簧質(zhì)量系統(tǒng)而產(chǎn)生的力)作用下，平面S型彈簧橫向、縱向以及垂直方向彈性系數(shù)理論計(jì)算公式。

1　彈簧結(jié)構(gòu)參數(shù)

平面S型彈簧的結(jié)構(gòu)，如圖1所示。彈簧由n個(gè)結(jié)構(gòu)相同的U型單元組成，質(zhì)量塊(其體積為Vem)與平面S型彈簧的第一個(gè)U型單元的頂端相連接，第n個(gè)U型單元底端固定。B為彈簧線(xiàn)寬，L為彈簧U型單元直梁長(zhǎng)度，R為彈簧彎半徑，H為結(jié)構(gòu)厚度，L1為質(zhì)量塊質(zhì)心到彈性單元U．1自由端的Y軸向長(zhǎng)度。

圖1　平面S型彈簧

2　彈簧彈性系數(shù)分析

集中力Fcx，F(xiàn)cy，F(xiàn)cz分別作用在U．1彈性單元的自由端，S型彈簧在橫向(X軸向)、縱向(Y軸向)、垂直方向(Z軸向)分別產(chǎn)生相應(yīng)線(xiàn)彈性形變。因此在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)，利用力學(xué)能量法(卡爾第二定理)：

(1)

式中：Vε為應(yīng)變能；Fi任一載荷；δi為Fi方向的位移量。

可求解任一U型單元Y軸方向的位移量δy

(2)

式中：My(x)為產(chǎn)生的δy力偶矩；Fei為載荷；I為U型彈簧單元的慣性矩，I=B3H/12。

S型平面彈簧U型彈簧單元柔度系數(shù)計(jì)算公式

(3)

包含n個(gè)U型單元平面S型彈簧的彈性系數(shù)計(jì)算公式

(4)

利用上述方法可以推導(dǎo)出在集中力Fcx作用下，S型彈簧X軸向柔度的理論計(jì)算公式

(5)

式中：E為材料的彈性模量；I為截面X、Y軸向慣性矩。

文獻(xiàn)[4-5]已推導(dǎo)出Y軸向S型彈簧的彈性系數(shù)理論計(jì)算公式，理論值與仿真值得相對(duì)誤差小于3%。文獻(xiàn)[16]推導(dǎo)出了S型彈簧Z軸向的彈性系數(shù)理論計(jì)算公式，文中對(duì)文獻(xiàn)[16]中的理論公式進(jìn)行修正，推導(dǎo)出S型彈簧Z軸向的柔度系數(shù)理論計(jì)算公式

(6)

在微慣性傳感器中，彈簧承受環(huán)境力為體積力，其所承受的載荷不可以忽略。因此上述在集中力作用下，S型彈簧的彈性系數(shù)計(jì)算公式不適用于微慣性器件中彈簧彈性系數(shù)計(jì)算。加速度ax、ay、az分別作用在彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)上，S型等寬彈簧產(chǎn)生線(xiàn)彈性形變，利用上述方法分別推導(dǎo)出彈簧X軸向柔度系數(shù)理論計(jì)算公式

(7)

式中

S型彈簧Y軸向柔度理論計(jì)算公式為

(8)

式中：Qy1=2L3+3πRL2+12R2L+3πR3/2；Qy2=15L4/48+2R2L2+πR3L/2+π2R4/16+7πRL3/12；ceil[(n-1)/2]為朝正無(wú)窮大方向取整。

S型彈簧Z軸向柔度理論計(jì)算公式為

(9)

式中：

采用文獻(xiàn)[10]估算UV-LIGA工藝電鑄薄膜材料的楊氏模量方法，選取鎳材料的彈性模量E=1.6×1011Pa，泊松比μ=0.312，材料密度ρ=8 910 kg/m3．利用仿真軟件進(jìn)行驗(yàn)證，S型彈簧驗(yàn)算結(jié)構(gòu)參數(shù)B=20 μm，L=400 μm，R=100 μm，H=60 μm，Vem=6×105μm3，L1=65 μm，n=5。集中力Fcx=1 μN(yùn)，F(xiàn)cy=1 μN(yùn)，F(xiàn)cz=1 μN(yùn)分別作用在U．1彈性單元的自由端，S型彈簧產(chǎn)生彈性形變，分別獲得彈簧X、Y、Z軸向彈性系數(shù)理論值與仿真值，以及理論值與仿真值的相對(duì)誤差，如表1所示。加速度ax=1 m/s2、ay=1 m/s2、az=1 m/s2分別作用在彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，即可得彈簧在慣性環(huán)境下，S型彈簧X、Y、Z軸向彈性系數(shù)理論值與仿真值，以及理論值與仿真值的相對(duì)誤差，如表1所示。

表1　S型彈簧彈性系數(shù)K分析

從表1分析可知，S型彈簧分別在集中力下與慣性力環(huán)境下，X、Y、Z三軸向的彈性系數(shù)理論計(jì)算公式可信。同一根彈簧在兩種不同環(huán)境下的相對(duì)應(yīng)彈簧彈性系數(shù)不相等，因此集中力環(huán)境下的彈簧的彈性系數(shù)理論計(jì)算公式不適用于微慣性器件中。兩種環(huán)境下，X軸向彈性系數(shù)Kx最小，其次為Z軸向的彈性系數(shù)Kz，Y軸向的彈性系數(shù)Ky最大。

從圖2可知，S型彈簧的彈性系數(shù)分別與兩種環(huán)境力成反比關(guān)系(Kx．F|Fcx=+∞=0，Kx．F|Fcx=0=3.39 N/m，Kx．a(chǎn)|a=+∞=0，Kx．a(chǎn)|a=0=7.84 N/m．因此無(wú)環(huán)境力作用下，彈簧的X軸向的剛度最大(與彈簧的結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān))。彈簧在X軸向高沖擊力作用下，彈簧剛度近似為零，增加了齒形延時(shí)機(jī)構(gòu)在高載荷下延長(zhǎng)時(shí)間，增強(qiáng)了結(jié)構(gòu)對(duì)環(huán)境幅值的區(qū)分。

(a)集中力Fcx作用下

(b)加速度a作用下

在Y軸向慣性力作用下，等線(xiàn)寬微彈簧U型單元的最大正應(yīng)力近似計(jì)算公式

σi=6aρ(L+R)[Vem/H+i(2L+πR)B]/B2

(10)

(a)U型單元Y軸向彈性系數(shù)

(b)U型單元近似最大應(yīng)力

圖3S型彈簧分別在兩種環(huán)境力作用下U型彈性單元Y軸向彈性系數(shù)與在慣性力作用下U型單元近似最大應(yīng)力

由圖3(a)所示，在集中力作用下，S型彈簧任一U型彈性單元的彈性系數(shù)相等。在慣性力作用下，彈簧U型彈性單元的彈性系數(shù)與其在彈簧所處位置有關(guān)。與質(zhì)量塊鏈接的U型單元的彈性系數(shù)最大，與錨點(diǎn)相連的U型彈簧單元的彈性系數(shù)最小。 在慣性環(huán)境下，第U．n彈性單元的最大正應(yīng)力大于其余彈性單元，第U．1彈性單元的最大正應(yīng)力最小(如圖3(b)所示)。在慣性力環(huán)境下，S型彈簧任一U型單元的承載能力不一致，影響了彈簧整體抗過(guò)載能力。

圖4　彈簧在慣性力作用下質(zhì)量塊體積Vem對(duì)Z軸向彈性系數(shù)影響

由式(6)可知，S型彈簧在集中力作用下，彈簧彈性系數(shù)與質(zhì)量塊體積Vem無(wú)關(guān)。如圖4所示，上述S型彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)質(zhì)量塊體積Vem改變，彈簧結(jié)構(gòu)參數(shù)不變。在慣性環(huán)境下，彈簧的Z軸向彈性系數(shù)隨著質(zhì)量塊體積Vem的增大而減小。Vem接近無(wú)窮大時(shí)，Z軸向的彈性系數(shù)Kz趨近于常數(shù)(值取決于彈簧結(jié)構(gòu)參數(shù))。利用彈簧的Z軸向剛度的微慣性開(kāi)關(guān)，增大Vem，可減小彈簧Z軸向剛度，增加了電極之間的接觸面積以及接觸面積，開(kāi)關(guān)性能充分發(fā)揮。

3　結(jié)束語(yǔ)

文中推導(dǎo)了集中力作用下，平面S型彈簧橫向彈性系數(shù)理論計(jì)算公式，修正了文獻(xiàn)[8]中彈簧垂直方向彈性系數(shù)計(jì)算公式；推導(dǎo)了在慣性環(huán)境下，S型彈簧橫向、縱向以及垂直方向彈簧的彈性系數(shù)公式。利用仿真軟件證明了理論公式的正確性以及在集中力與慣性力下彈簧彈性系數(shù)區(qū)別。通過(guò)分析橫向環(huán)境力對(duì)彈簧橫向彈性系數(shù)的影響，表明了彈簧橫向彈性系數(shù)隨橫向環(huán)境力增大而減?。环治鰪椈稍诳v向慣性力作用下U型彈性單元縱向彈性系數(shù)與其最大正應(yīng)力，表明了在慣性環(huán)境下與錨點(diǎn)相連彈簧U單元彈性系數(shù)最小以及最大正應(yīng)力最大；分析了在垂直方向慣性力作用下，質(zhì)量塊體積對(duì)彈簧垂直方向彈性系數(shù)影響，表明了彈簧彈性系數(shù)隨質(zhì)量塊體積增大而減小。為微慣性器件的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了一定的理論依據(jù)。

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