一種基于偽失效的Wiener退化產(chǎn)品可靠性評(píng)估方法

張國(guó)龍，蔡金燕，梁玉英，呂　萌，潘　剛

(軍械工程學(xué)院電子與光學(xué)工程系，河北石家莊　050003)

0　引言

目前，高可靠長(zhǎng)壽命產(chǎn)品的壽命預(yù)測(cè)方法主要采用基于退化失效分析方法，這種方法主要是考慮很多高可靠產(chǎn)品具有退化失效的特性，即產(chǎn)品的工作狀態(tài)由幾個(gè)關(guān)鍵性能參數(shù)決定，對(duì)于每個(gè)參數(shù)都有預(yù)定的失效臨界值，產(chǎn)品在工作過(guò)程中，當(dāng)性能參數(shù)超過(guò)臨界值時(shí)，即意味著產(chǎn)品退化失效的發(fā)生，這種方法可以減少試驗(yàn)樣本量，縮短試驗(yàn)時(shí)間，已引起了極大的關(guān)注，但有時(shí)因?yàn)橥嘶瘷C(jī)理復(fù)雜而很難建立退化軌道模型。另外，在很多退化失效問(wèn)題中，產(chǎn)品的退化量隨時(shí)間的變化極其緩慢，有時(shí)在很長(zhǎng)的測(cè)量周期內(nèi)，退化量的變化微乎其微，甚至這種微小的變化都比不上測(cè)量誤差，在這種情況下試驗(yàn)時(shí)間很長(zhǎng)，測(cè)量次數(shù)要很多，試驗(yàn)樣品個(gè)數(shù)也要很多才能保證試驗(yàn)的精度。因此在實(shí)際中通常采用定時(shí)截尾加速退化試驗(yàn)獲得退化數(shù)據(jù)來(lái)分析產(chǎn)品的壽命特性，典型的退化模型包括：(1)隨機(jī)過(guò)程模型，如Wiener過(guò)程，Gamma過(guò)程等，Doksum和Hoyland[1]利用一種時(shí)間變換的Wiener過(guò)程對(duì)加速退化數(shù)據(jù)建模，文獻(xiàn)[2]提出了基于隨機(jī)過(guò)程的加速退化建模的一般框架，詳細(xì)討論了基于布朗運(yùn)動(dòng)、幾何布朗運(yùn)動(dòng)和Gamma過(guò)程的建模和參數(shù)估計(jì)問(wèn)題；(2)非線性混合效應(yīng)模型，Lu和Meeker[3]首次提出了一種非線性混合效應(yīng)回歸模型的退化建模方法，考慮了產(chǎn)品個(gè)體的差異性及測(cè)量誤差，并將該模型應(yīng)用到加速試驗(yàn)中。這些模型大多為非線性或有多個(gè)隨機(jī)參數(shù)，利用退化軌道模型直接進(jìn)行壽命分布的推斷時(shí)往往難以作解析計(jì)算[4]，只能借助仿真方法得到近似解．另外，在有限的試驗(yàn)時(shí)間內(nèi)產(chǎn)品在性能退化首次達(dá)到失效閾值的個(gè)數(shù)往往也很難滿足壽命估計(jì)的要求，為了解決上述方法中遇到的困難，文中考慮到Wiener退化失效型產(chǎn)品的首達(dá)失效時(shí)間服從逆高斯壽命分布的特性，提出偽閾值的方法，通過(guò)退化軌道模型獲得各偽閾值下的失效時(shí)間序列，再采用基于壽命數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)方法，得到高可靠性產(chǎn)品的壽命分布。

1　退化失效模型

假設(shè)產(chǎn)品的性能退化特征量是一個(gè)維納過(guò)程，記為

{W(t)|≥0}，

W(t)=ηt+σB(t)

(1)

式中：η為漂移參數(shù)；σ>0是一個(gè)擴(kuò)散系數(shù)；B(t)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)。

假設(shè)產(chǎn)品失效時(shí)間為T，定義為產(chǎn)品的性能退化量首次達(dá)到失效閾值aF的時(shí)間，即：

T=inf{t|W(t)≥aF，W(0)=0，t≥0}

(2)

(3)

如果獲得的n個(gè)試驗(yàn)樣品的參加試驗(yàn)直到所有樣品失效，得到n個(gè)失效時(shí)間t1，t2，…，tn，可以利用極大似然估計(jì)的方法獲得μ，λ的估計(jì)值：

(4)

因?yàn)槟娓咚狗植挤闹笖?shù)分步族，因此，可以得出μ，λ，的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)分別是：

(5)

2　問(wèn)題描述：

基本假設(shè)：

(1)在應(yīng)力水平S1，S2，…，SK下進(jìn)行恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)，每個(gè)應(yīng)力水平下有n個(gè)樣本參與試驗(yàn)，試驗(yàn)進(jìn)行到τ時(shí)刻截止；

(2)產(chǎn)品在不同應(yīng)力水平S1，S2，…，SK下試驗(yàn)時(shí)，與正常工作應(yīng)力水平S0下的失效機(jī)理相同，為退化失效，表現(xiàn)為性能參數(shù)W(t)隨試驗(yàn)時(shí)間t單調(diào)遞增。

(3)所有試驗(yàn)樣品的初始退化量為W(0)=0，假設(shè)產(chǎn)品性能退化服從Wiener過(guò)程，假設(shè)產(chǎn)品性能退化軌跡呈遞增趨勢(shì)，產(chǎn)品的退化失效閾值為aF；

(4)在(0，aF)，選取若干個(gè)偽閾值，a1，a2，…ak，性能退化過(guò)程首次達(dá)到偽閾值的時(shí)間分記為：tk1，tk2，…，tkn，稱為偽失效時(shí)間，即：

此數(shù)據(jù)并非真正的失效數(shù)據(jù)。

圖1　Wiener退化過(guò)程偽失效時(shí)間與閾值的關(guān)系

圖1給出了在給定的應(yīng)力Si下試驗(yàn)時(shí)，維納退化失效產(chǎn)品的偽失效時(shí)間與偽閾值的關(guān)系，對(duì)于高可靠長(zhǎng)壽產(chǎn)品來(lái)說(shuō)，在有限的時(shí)間內(nèi)很難獲得真正的退化失效數(shù)據(jù)(首次達(dá)到aF的時(shí)間)，而通過(guò)退化模型外推得到的失效數(shù)據(jù)存在一定誤差，而偽失效時(shí)間與偽閾值也能反映產(chǎn)品的壽命分布特性[6]，因此，文中基于以上假設(shè)，提出一種基于偽閾值的加速退化試驗(yàn)可靠性分析方法。

根據(jù)以上假設(shè)，通過(guò)加速退化試驗(yàn)得到應(yīng)力水平、偽閾值及偽失效時(shí)間的數(shù)據(jù)如表1所示，在不同應(yīng)力下產(chǎn)品的壽命也服從逆高斯分IG(μ，λ)，尺度參數(shù)由失效機(jī)理決定，保持不變，形狀參數(shù)由應(yīng)力Si和失效閾值ak決定，壽命分布F(t|Si，ak)．

3　擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與參數(shù)估計(jì)

首先，需要對(duì)偽失效數(shù)據(jù)是否服從逆高斯分布進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，按照文獻(xiàn)[7]中的方法，假設(shè)樣本Y1，Y2，…，Yn是分布函數(shù)F(·)的一組隨機(jī)樣本，令Zi=F(Yi)，然后對(duì)Zi從小到大排列，Z(1)≤Z(2)≤L≤Z(n)，分別計(jì)算如下3個(gè)統(tǒng)計(jì)量：

表1　偽失效數(shù)據(jù)

(6)

(7)

對(duì)于Wiener退化產(chǎn)品，漂移系數(shù)η與應(yīng)力水平S有關(guān)，擴(kuò)散系數(shù)σ與應(yīng)力水平無(wú)關(guān)，即在逆高斯壽命分布中μ與應(yīng)力水平有關(guān)，而λ與應(yīng)力無(wú)關(guān)，因此只需要確定參數(shù)μ與應(yīng)力水平S和a偽閾值之間關(guān)系。

參數(shù)估計(jì)的步驟如下：

Setp1.根據(jù)偽失效數(shù)據(jù)計(jì)算逆高斯分布的兩個(gè)參數(shù)估計(jì)值：

(8)

式中Na為閾值的個(gè)數(shù)。

(1)逆冪律模型：αS=ξSη；

(2)阿倫尼斯模型：αS=ξeSη；

(3)逆對(duì)數(shù)模型：αL=ξ(logL)η；

(4)指數(shù)模型：αL=ξeηL；

(5)逆線性模型：αL=ξ+ηL．

Step4．根據(jù)Step3求得的函數(shù)關(guān)系式，外推得得到正常應(yīng)力水平下產(chǎn)品的壽命分布形狀參數(shù)。

4　實(shí)例分析

金屬化膜脈沖電容器是強(qiáng)激光裝置上應(yīng)用十分廣泛的一種元器件，應(yīng)用文獻(xiàn)[9]中的加速模型對(duì)其進(jìn)行仿真試驗(yàn)。圖2是強(qiáng)激光裝置所用某型金屬化膜電容器恒定應(yīng)力加速退化數(shù)據(jù)示意圖，該型電容器的額定工作電壓為23 kV，電容器退化失效閾值為53．2 μF，分別在25 kV，29 kV，33 kV3個(gè)加速應(yīng)力水平下進(jìn)行加速退化試驗(yàn)，試驗(yàn)樣本容量為8。首先根據(jù)退化實(shí)際情況，確定3個(gè)偽閾值a1，a2，a3分別為54.7 μF，54.2 μF，54.7 μF，然后根據(jù)退化軌跡得到3個(gè)加速應(yīng)力水平下的偽失效時(shí)間，根據(jù)第3節(jié)的內(nèi)容通過(guò)偽失效數(shù)據(jù)計(jì)算逆高斯分布的估計(jì)值，形狀參數(shù)的估計(jì)值如表2所示：選擇逆冪律加速模型，假設(shè)μ(S，a)=a/kSb，其中k，b為模型系數(shù)，兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換為線性關(guān)系，可通過(guò)多元非線性擬合方法對(duì)表1數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到μ=exp(110.141 7-3.989 2×log(S)-21.912 9×log(a))

圖2　加速退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)

表2　尺度參數(shù)估計(jì)值

將S0=23 kV，aF=53．2 μF代入上式即可得到正常工作應(yīng)力下壽命分布的參數(shù)μ0=38．19，λ=658．898 1代入式(3)，得到產(chǎn)品在23 kV下的失效概率分布為：

如圖3所示，由失效概率分布函數(shù)(式(3))可求得20 000次充放電時(shí)電容器的可靠度為R(20000)=1-F(20000)=0．998 2．

圖3　正常工作應(yīng)力下的失效概率分布

5　結(jié)束語(yǔ)

文中針對(duì)高可靠長(zhǎng)壽命產(chǎn)品定時(shí)加速退化試驗(yàn)中缺乏真正失效數(shù)據(jù)，性能退化建模方法推導(dǎo)復(fù)雜等問(wèn)題，提出基于偽失效數(shù)據(jù)的方法，產(chǎn)品性能退化軌跡首次達(dá)到偽閾值的時(shí)間也能很好地反映產(chǎn)品失效分布，以Wiener退化產(chǎn)品為例，應(yīng)用文中方法對(duì)金屬膜電容器的可靠性進(jìn)行了分析，并與文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比，非常相近，說(shuō)明該方法能夠很好地解決缺乏失效數(shù)據(jù)、建模推導(dǎo)過(guò)程復(fù)雜的問(wèn)題，在試驗(yàn)時(shí)間有限的情況下，可適當(dāng)加大樣本量提高方法的精度，方法也可應(yīng)用到其他分布的退化型產(chǎn)品及加速應(yīng)力試驗(yàn)中。

參考文獻(xiàn)：

[1]HOYLAND A,DOKSUM K A ．Models for viable-stress accelerated life testing experiments based on Wiener processes and the inverse Gaussian distribution．Technometrics，1992，34(1)：74-82．

[2]CHANSEOK P，PADGETT W J．Stochastic degradation models with several accelerated variables．IEEE TRANSACTIONS ON RELIABILITY，2006，55(2)：379-390．

[3]WILLIAM Q,MEEKER C,JOSEPH L，et al Escobar．Using degradation measures to estimate a time-to-failure distribution．Technometrics，1993，35：161-174．

[4]LU C J,MEEKER W Q,ESCOBAR L A．A comparison of degradation and failure-time analysis methods for estimating a time-failure distribution．Statistica Sinica，1996，6(5)：531-546．

[5]FOLKS L,CHHIKARA R S ．The inverse Gaussian distribution：Theory，methodology，and applications．Marcel Dekker ，New York，1989．

[6]TSUI-SHU S．Estimating Lifetime Distribution and Its Paratmeters Based on Intermediate Data from a Wiener Degradation Model[D]．National Tsing Hua University，2005．

[7]EDGEMAN R J， PAVUR R L，SCOTT R C．Quadratic statistics for the goodness-of-fit test of the inverse Gaussian distribution．Reliability IEEE Transactions on Reliability ，1992，41 (1)：118 -123．

[8]PADGETT W J，CHANSEOK，PARK．Accelerated Degradation Models for Failure Based on Geometric Brownian Motion and Gamma Processes．Lifetime Data Analysis，2005，11：511-527．

[9]MEEKER W Q，ESCOBAR L A,LU C J．Accelerated degradation tests：modeling and analysis．Technometrics，1998，40：89-99．

[10]趙建?。谛阅芡嘶瘮?shù)據(jù)的可靠性建模與應(yīng)用研究：[學(xué)位論文]，長(zhǎng)沙：國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2005．