對兩定點距離關系的探究

麻守仕

〔關鍵詞〕 數(shù)學教學；兩定點；距離

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）03—0090—01

在平面解析幾何的學習過程中，我們已經(jīng)知道橢圓和雙曲線的定義，即都是研究關于平面內(nèi)一動點與兩個定點的距離關系的.課本中這樣定義：“平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡”叫橢圓，“平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡”叫雙曲線.下面，我們進一步來探究其他一些與兩定點距離有關系的點的軌跡問題（仍引用教科書建立的坐標）.

探究一：到兩定點的距離積為定值的點的軌跡（d1×d2=m（m>0））.

探析：由■·■=m，兩邊平方，化簡得：x4+y4+2x2y2-2c2y2+c4-m2=0，整理后得y= ±■

（1）由曲線方程的特征可知曲線是關于x軸、y軸成軸對稱圖形，且關于原點成中心對稱圖形；

（2）在方程中令x=0，得y4+2c2y2+c4-m2=0，（y2+c2-m）（y2+c2+m）=0

則y2=m-c2 或 y2=-c2-m （y2<0，不合理舍去）.

當m>c2時，方程所表示的曲線與y軸交于兩點（0，±■）；

當m=c2時，方程所表示的曲線與y軸交于一點（0，0）；

當m

（3）令y=0，得：x4-2c2x2+c4-m2=0，（x2-c2+m）（x2-c2-m）=0

則x2=c2-m或 x2=c2+m，

∴當m>c2時，方程所表示的曲線與x軸交于兩點（±■，0）；

當m=c2時，方程所表示的曲線與x軸交于三點 （0，0），（±■，0）；

當m

由以上（1）、（2）、（3）綜合分析可得：

當m>c2時，方程所表示的圖形為圖1，我們可以稱其為“花生型”；當m=c2時，方程所表示的圖形為圖2，我們可稱其為“倒8字型”；當m

探究二：到兩定點的距離之比為定值的點得軌跡（■=a（a>0））.

探析：由■ =a，兩邊平方化簡得（x-■c）2+y2=（■）2.可以看出，當a≠1時其軌跡是以（■，0）為圓心，■為半徑的圓；

當a=1時，參看d1=d2時的情況.這其實也是圓的另外一種定義，它是“阿波羅尼奧斯”圓，簡稱“阿氏”圓.

探究三：到兩定點距離的平方和為定值的點的軌跡（d12+d22=a）.

探析：由（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=a，化簡得：x2+y2=■-c2 .

當2c2a時，軌跡不存在（2c2>a）；當2c2=a時，點的軌跡就是原點.

探究四：到兩定點距離的平方差為定值的點的軌跡，即d12-d22=a的情形.

探析：由（x+c）2+y2-（x-c）2-y2=a，化簡得x=■.因此，點的軌跡是垂直于x軸的直線.

編輯：謝穎麗

〔關鍵詞〕 數(shù)學教學；兩定點；距離

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）03—0090—01

在平面解析幾何的學習過程中，我們已經(jīng)知道橢圓和雙曲線的定義，即都是研究關于平面內(nèi)一動點與兩個定點的距離關系的.課本中這樣定義：“平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡”叫橢圓，“平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡”叫雙曲線.下面，我們進一步來探究其他一些與兩定點距離有關系的點的軌跡問題（仍引用教科書建立的坐標）.

探究一：到兩定點的距離積為定值的點的軌跡（d1×d2=m（m>0））.

探析：由■·■=m，兩邊平方，化簡得：x4+y4+2x2y2-2c2y2+c4-m2=0，整理后得y= ±■

（1）由曲線方程的特征可知曲線是關于x軸、y軸成軸對稱圖形，且關于原點成中心對稱圖形；

（2）在方程中令x=0，得y4+2c2y2+c4-m2=0，（y2+c2-m）（y2+c2+m）=0

則y2=m-c2 或 y2=-c2-m （y2<0，不合理舍去）.

當m>c2時，方程所表示的曲線與y軸交于兩點（0，±■）；

當m=c2時，方程所表示的曲線與y軸交于一點（0，0）；

當m

（3）令y=0，得：x4-2c2x2+c4-m2=0，（x2-c2+m）（x2-c2-m）=0

則x2=c2-m或 x2=c2+m，

∴當m>c2時，方程所表示的曲線與x軸交于兩點（±■，0）；

當m=c2時，方程所表示的曲線與x軸交于三點 （0，0），（±■，0）；

當m

由以上（1）、（2）、（3）綜合分析可得：

當m>c2時，方程所表示的圖形為圖1，我們可以稱其為“花生型”；當m=c2時，方程所表示的圖形為圖2，我們可稱其為“倒8字型”；當m

探究二：到兩定點的距離之比為定值的點得軌跡（■=a（a>0））.

探析：由■ =a，兩邊平方化簡得（x-■c）2+y2=（■）2.可以看出，當a≠1時其軌跡是以（■，0）為圓心，■為半徑的圓；

當a=1時，參看d1=d2時的情況.這其實也是圓的另外一種定義，它是“阿波羅尼奧斯”圓，簡稱“阿氏”圓.

探究三：到兩定點距離的平方和為定值的點的軌跡（d12+d22=a）.

探析：由（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=a，化簡得：x2+y2=■-c2 .

當2c2a時，軌跡不存在（2c2>a）；當2c2=a時，點的軌跡就是原點.

探究四：到兩定點距離的平方差為定值的點的軌跡，即d12-d22=a的情形.

探析：由（x+c）2+y2-（x-c）2-y2=a，化簡得x=■.因此，點的軌跡是垂直于x軸的直線.

編輯：謝穎麗

〔關鍵詞〕 數(shù)學教學；兩定點；距離

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）03—0090—01

在平面解析幾何的學習過程中，我們已經(jīng)知道橢圓和雙曲線的定義，即都是研究關于平面內(nèi)一動點與兩個定點的距離關系的.課本中這樣定義：“平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡”叫橢圓，“平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡”叫雙曲線.下面，我們進一步來探究其他一些與兩定點距離有關系的點的軌跡問題（仍引用教科書建立的坐標）.

探究一：到兩定點的距離積為定值的點的軌跡（d1×d2=m（m>0））.

探析：由■·■=m，兩邊平方，化簡得：x4+y4+2x2y2-2c2y2+c4-m2=0，整理后得y= ±■

（1）由曲線方程的特征可知曲線是關于x軸、y軸成軸對稱圖形，且關于原點成中心對稱圖形；

（2）在方程中令x=0，得y4+2c2y2+c4-m2=0，（y2+c2-m）（y2+c2+m）=0

則y2=m-c2 或 y2=-c2-m （y2<0，不合理舍去）.

當m>c2時，方程所表示的曲線與y軸交于兩點（0，±■）；

當m=c2時，方程所表示的曲線與y軸交于一點（0，0）；

當m

（3）令y=0，得：x4-2c2x2+c4-m2=0，（x2-c2+m）（x2-c2-m）=0

則x2=c2-m或 x2=c2+m，

∴當m>c2時，方程所表示的曲線與x軸交于兩點（±■，0）；

當m=c2時，方程所表示的曲線與x軸交于三點 （0，0），（±■，0）；

當m

由以上（1）、（2）、（3）綜合分析可得：

當m>c2時，方程所表示的圖形為圖1，我們可以稱其為“花生型”；當m=c2時，方程所表示的圖形為圖2，我們可稱其為“倒8字型”；當m

探究二：到兩定點的距離之比為定值的點得軌跡（■=a（a>0））.

探析：由■ =a，兩邊平方化簡得（x-■c）2+y2=（■）2.可以看出，當a≠1時其軌跡是以（■，0）為圓心，■為半徑的圓；

當a=1時，參看d1=d2時的情況.這其實也是圓的另外一種定義，它是“阿波羅尼奧斯”圓，簡稱“阿氏”圓.

探究三：到兩定點距離的平方和為定值的點的軌跡（d12+d22=a）.

探析：由（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=a，化簡得：x2+y2=■-c2 .

當2c2a時，軌跡不存在（2c2>a）；當2c2=a時，點的軌跡就是原點.

探究四：到兩定點距離的平方差為定值的點的軌跡，即d12-d22=a的情形.

探析：由（x+c）2+y2-（x-c）2-y2=a，化簡得x=■.因此，點的軌跡是垂直于x軸的直線.

編輯：謝穎麗