簡單遞推數(shù)列通項(xiàng)的求法

獨(dú)志榮

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；遞推數(shù)列；通項(xiàng)；求解方法

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）03—0089—01

遞推數(shù)列是高考的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，也是高考的重要題型.這些題型既體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，又要求具有較強(qiáng)的歸納、總結(jié)以及運(yùn)算能力.從歷年高考的命題趨勢來看，數(shù)列題的難度平穩(wěn)上升，而且?guī)缀醵际且赃f推數(shù)列來命題的.下面，筆者舉例談?wù)勥f推數(shù)列的常用解法.

題型一：型如an+1=an+f（n） （其中數(shù)列{f（n）}是可求和的）的數(shù)列，可以選用疊加法. 此法是等差數(shù)列的拓展，所以做法與推導(dǎo)等差數(shù)列公式的過程相似.

例1 設(shè)數(shù)列{an} 中，a1=2，an+1=an+n+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析：由于an+1=an+n+1符合題型一中數(shù)列的特征，故可以選用疊加法，通過前、后項(xiàng)相消得到通項(xiàng)公式.

解：因?yàn)?a1=2，an+1=an+n+1，所以an=an-1+（n-1）+1

an-1=an-2+（n-2）+1 … a2=a1+1+1

將以上各式相加得：

an=n-1+n-2+n-3+…+2+1+n+1

=■+n+1=■ +1

即 an=■ +1

題型二：型如an+1=f（n）an（其中數(shù)列{f（n）}是可求積的）的數(shù)列，可以選用累積法. 此法是等比數(shù)列的拓展，做法與推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的過程相似，它體現(xiàn)了高考題源于課本而高于課本的思想.

例2 已知數(shù)列{an}滿足a1=2，■=■.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析：因?yàn)椤?■ ， 符合題型二中數(shù)列的特征，故可以選用累積法，通過累乘前后項(xiàng)相消得到通項(xiàng)公式.

解：由題意，得■=■.

即■=■，…，■=■ ，■=■，

將以上各式相乘，得■=■×…×■×■=■，

即 an=a1×2n-1×n2=2nn2.

題型三：型如an+1=can+d（c，d為常數(shù)，c≠1，cd≠0）（一階線性遞推數(shù)列）的數(shù)列，可以選用待定系數(shù)法. 一階線性遞推數(shù)列里蘊(yùn)含著一個等比數(shù)列，所以利用待定系數(shù)法能使問題很快得到解決.

例3 在數(shù)列{an}中，若an=1，an+1=2an+3（n≥1），求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

分析：因?yàn)閍n+1=2an+3（n≥1）符合題型三中數(shù)列的特征，故可以選用待定系數(shù)法.

解： 令an+1+x=2（an+x）（n≥1） ，則an+1=2an+x，（n≥1），

由題意得 x=3.

故{an+3} 是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以 an=2n+1-3.

例4 已知數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=（■-1）（an+2），n=1，2，3… 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解： 令 an+1+x=（■-1）（an+x），（n≥1），則an+1=2an+x，（n≥1），

由題意，得 x=-■，

故{an-■} 是以（2-■）為首項(xiàng)，（■-1）為公比的等比數(shù)列， 所以 an=1+■-（■-1）n.

總之，對于遞推數(shù)列的問題，主要是求數(shù)列的通項(xiàng)公式.要具體情況具體處理，但必須理解并掌握基本題型，并能將一些非基本題型經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化為基本題型，然后用基本題型的常用方法處理.有時也要用到猜想方法獲得通項(xiàng)公式.筆者認(rèn)為，掌握以上方法是解決遞推數(shù)列問題的關(guān)鍵.

編輯：謝穎麗endprint

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；遞推數(shù)列；通項(xiàng)；求解方法

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）03—0089—01

遞推數(shù)列是高考的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，也是高考的重要題型.這些題型既體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，又要求具有較強(qiáng)的歸納、總結(jié)以及運(yùn)算能力.從歷年高考的命題趨勢來看，數(shù)列題的難度平穩(wěn)上升，而且?guī)缀醵际且赃f推數(shù)列來命題的.下面，筆者舉例談?wù)勥f推數(shù)列的常用解法.

題型一：型如an+1=an+f（n） （其中數(shù)列{f（n）}是可求和的）的數(shù)列，可以選用疊加法. 此法是等差數(shù)列的拓展，所以做法與推導(dǎo)等差數(shù)列公式的過程相似.

例1 設(shè)數(shù)列{an} 中，a1=2，an+1=an+n+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析：由于an+1=an+n+1符合題型一中數(shù)列的特征，故可以選用疊加法，通過前、后項(xiàng)相消得到通項(xiàng)公式.

解：因?yàn)?a1=2，an+1=an+n+1，所以an=an-1+（n-1）+1

an-1=an-2+（n-2）+1 … a2=a1+1+1

將以上各式相加得：

an=n-1+n-2+n-3+…+2+1+n+1

=■+n+1=■ +1

即 an=■ +1

題型二：型如an+1=f（n）an（其中數(shù)列{f（n）}是可求積的）的數(shù)列，可以選用累積法. 此法是等比數(shù)列的拓展，做法與推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的過程相似，它體現(xiàn)了高考題源于課本而高于課本的思想.

例2 已知數(shù)列{an}滿足a1=2，■=■.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析：因?yàn)椤?■ ， 符合題型二中數(shù)列的特征，故可以選用累積法，通過累乘前后項(xiàng)相消得到通項(xiàng)公式.

解：由題意，得■=■.

即■=■，…，■=■ ，■=■，

將以上各式相乘，得■=■×…×■×■=■，

即 an=a1×2n-1×n2=2nn2.

題型三：型如an+1=can+d（c，d為常數(shù)，c≠1，cd≠0）（一階線性遞推數(shù)列）的數(shù)列，可以選用待定系數(shù)法. 一階線性遞推數(shù)列里蘊(yùn)含著一個等比數(shù)列，所以利用待定系數(shù)法能使問題很快得到解決.

例3 在數(shù)列{an}中，若an=1，an+1=2an+3（n≥1），求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

分析：因?yàn)閍n+1=2an+3（n≥1）符合題型三中數(shù)列的特征，故可以選用待定系數(shù)法.

解： 令an+1+x=2（an+x）（n≥1） ，則an+1=2an+x，（n≥1），

由題意得 x=3.

故{an+3} 是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以 an=2n+1-3.

例4 已知數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=（■-1）（an+2），n=1，2，3… 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解： 令 an+1+x=（■-1）（an+x），（n≥1），則an+1=2an+x，（n≥1），

由題意，得 x=-■，

故{an-■} 是以（2-■）為首項(xiàng)，（■-1）為公比的等比數(shù)列， 所以 an=1+■-（■-1）n.

總之，對于遞推數(shù)列的問題，主要是求數(shù)列的通項(xiàng)公式.要具體情況具體處理，但必須理解并掌握基本題型，并能將一些非基本題型經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化為基本題型，然后用基本題型的常用方法處理.有時也要用到猜想方法獲得通項(xiàng)公式.筆者認(rèn)為，掌握以上方法是解決遞推數(shù)列問題的關(guān)鍵.

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〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；遞推數(shù)列；通項(xiàng)；求解方法

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）03—0089—01

遞推數(shù)列是高考的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，也是高考的重要題型.這些題型既體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，又要求具有較強(qiáng)的歸納、總結(jié)以及運(yùn)算能力.從歷年高考的命題趨勢來看，數(shù)列題的難度平穩(wěn)上升，而且?guī)缀醵际且赃f推數(shù)列來命題的.下面，筆者舉例談?wù)勥f推數(shù)列的常用解法.

題型一：型如an+1=an+f（n） （其中數(shù)列{f（n）}是可求和的）的數(shù)列，可以選用疊加法. 此法是等差數(shù)列的拓展，所以做法與推導(dǎo)等差數(shù)列公式的過程相似.

例1 設(shè)數(shù)列{an} 中，a1=2，an+1=an+n+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析：由于an+1=an+n+1符合題型一中數(shù)列的特征，故可以選用疊加法，通過前、后項(xiàng)相消得到通項(xiàng)公式.

解：因?yàn)?a1=2，an+1=an+n+1，所以an=an-1+（n-1）+1

an-1=an-2+（n-2）+1 … a2=a1+1+1

將以上各式相加得：

an=n-1+n-2+n-3+…+2+1+n+1

=■+n+1=■ +1

即 an=■ +1

題型二：型如an+1=f（n）an（其中數(shù)列{f（n）}是可求積的）的數(shù)列，可以選用累積法. 此法是等比數(shù)列的拓展，做法與推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的過程相似，它體現(xiàn)了高考題源于課本而高于課本的思想.

例2 已知數(shù)列{an}滿足a1=2，■=■.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析：因?yàn)椤?■ ， 符合題型二中數(shù)列的特征，故可以選用累積法，通過累乘前后項(xiàng)相消得到通項(xiàng)公式.

解：由題意，得■=■.

即■=■，…，■=■ ，■=■，

將以上各式相乘，得■=■×…×■×■=■，

即 an=a1×2n-1×n2=2nn2.

題型三：型如an+1=can+d（c，d為常數(shù)，c≠1，cd≠0）（一階線性遞推數(shù)列）的數(shù)列，可以選用待定系數(shù)法. 一階線性遞推數(shù)列里蘊(yùn)含著一個等比數(shù)列，所以利用待定系數(shù)法能使問題很快得到解決.

例3 在數(shù)列{an}中，若an=1，an+1=2an+3（n≥1），求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

分析：因?yàn)閍n+1=2an+3（n≥1）符合題型三中數(shù)列的特征，故可以選用待定系數(shù)法.

解： 令an+1+x=2（an+x）（n≥1） ，則an+1=2an+x，（n≥1），

由題意得 x=3.

故{an+3} 是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以 an=2n+1-3.

例4 已知數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=（■-1）（an+2），n=1，2，3… 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解： 令 an+1+x=（■-1）（an+x），（n≥1），則an+1=2an+x，（n≥1），

由題意，得 x=-■，

故{an-■} 是以（2-■）為首項(xiàng)，（■-1）為公比的等比數(shù)列， 所以 an=1+■-（■-1）n.

總之，對于遞推數(shù)列的問題，主要是求數(shù)列的通項(xiàng)公式.要具體情況具體處理，但必須理解并掌握基本題型，并能將一些非基本題型經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化為基本題型，然后用基本題型的常用方法處理.有時也要用到猜想方法獲得通項(xiàng)公式.筆者認(rèn)為，掌握以上方法是解決遞推數(shù)列問題的關(guān)鍵.

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