En中Finsler-Hadwiger與Euler不等式的改進(jìn)

陳士龍

(安徽廣播影視職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 安徽合肥 230011)

1 主要結(jié)果

設(shè)三角形ABC的三邊長分別為a、b、c，則在二維歐氏平面上有著名的 Finsler-Hadwiger 不等式：

(1)

當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC為正三角形時等號成立.

在n維歐氏空間En中，文獻(xiàn)[1]建立了下面的結(jié)果的兩個結(jié)果

(2)

(3)

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)單形Ωn為正則單形.

在二維平面上，任意三角形成立如下的著名的不等式：

R≥2r

(4)

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形，這就是二維平面上的Euler不等式.

在n維歐氏空間En中，也有類似的結(jié)果，文獻(xiàn)[2]將二維Euler不等式推廣到n維歐氏空間En，建立了如下的不等式:

R≥nr

(5)

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)單形為正則單形.

文獻(xiàn)[3-5]分別對n維Euler不等式進(jìn)行了推廣，獲得了很多加強(qiáng)的結(jié)果.本文對n維Finsler-Hadwiger和n維Euler不等式進(jìn)行了研究，建立了定理1和定理2，得到了比已有結(jié)果更強(qiáng)的結(jié)果.

定理1對En中n維單形Ωn，成立下面的不等式：

(6)

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)單形Ωn為正則單形.

定理2對En中n維單形Ωn，成立下面的不等式：

(7)

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)單形Ωn為正則單形.

2 引理

引理1[6]對En中n維單形Ωn，有

(8)

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)Ωn為正則單形.

引理2[7]對En中n維單形Ωn，有

(9)

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)Ωn為正則單形.

引理3[8]對En中n維單形Ωn，有

(10)

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)Ωn為正則單形.

3 定理的證明

3.1 定理1的證明

(11)

(12)

由式(11)和式(12)可得

(13)

由算術(shù)幾何平均不等式有

(14)

由式(14)和式(8)可得

(15)

由冪平均不等式可得

(16)

進(jìn)行如下的變形

(17)

式(17)即化為

(18)

結(jié)合式(18)和式(13)可得

(19)

式(19)經(jīng)過化簡可得

(20)

此結(jié)果變形就是定理1.

由證明過程可知，上述各式中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)單形Ωn為正則單形.

3.2 定理2的證明

由引理2可知

(21)

式(21)與定理1可得

(22)

由式(22)和式(10)，可得定理2，證明過程中的等號成立當(dāng)且僅當(dāng)n維單形Ωn為正則單形.

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