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    自由代數(shù)Fm的E(n)-模代數(shù)的證明

    2014-04-04 02:18:49
    關(guān)鍵詞:有子教學(xué)部子集

    鄭 燁

    (江蘇食品藥品職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部, 江蘇 淮安 223003)

    1 理論基礎(chǔ)

    設(shè)k是一個域,chark≠2,E(n)[1](n是一個正整數(shù))是域k上的2n+1-維Hopf代數(shù).作為代數(shù)E(n)由g,hi(i=1,2,…,n)生成,滿足生成關(guān)系式

    g2=1,hihj+hjhi=0,ghi+hig=0,?1≤i,j≤n

    余乘法、余單位和antipodeS由下式給出:

    Δ(g)=g?g,(Δhi)=hi?g+1?hi,ε(g)=1,ε(hi)=0,s(g)=g-1,s(hi)=ghi.

    其中1≤i≤n.當(dāng)n=1時,E(1)恰好為Sweedler四維Hopf代數(shù)H4[2-4].

    對于任意嚴(yán)格遞增的子集P={p1,p2,…p3}?{1,2,…,n},即p1

    定義1[5]一個k-代數(shù)A稱為超代數(shù),如果A是一個Z2-分次代數(shù),其中Z2=Z/2Z,即A有子空間直和分解:A=A0⊕A1,而且AiAj?Ai+j,其中i,j∈Z2.

    定義2[5]設(shè)A是一個超代數(shù),一個線性變換δ∈End(A)稱為分次微分,若以下條件成立:

    (1)δ(Ai)∈Ai+1;

    (2)δ2=0;

    (3)δ(ab)=aδ(b)+(-1)iδ(a)b,a∈A,b∈Ai,

    其中i∈Z2.

    定義3[5]一個代數(shù)A稱為多重微分超代數(shù),若A是一個超代數(shù),且有n個分次微分δ1,δ2,…,δn滿足:

    δiδj+δjδi=0,1≤i,j≤n

    2 定理證明

    命題1一個k-代數(shù)A是左E(n)-模代數(shù)[6],當(dāng)且僅當(dāng)A是一個多重微分超代數(shù).

    證明設(shè)A是E(n)-模代數(shù),則A=A0⊕A1是一個超代數(shù),其中Ai={a∈A|g·a=(-1)ia},i=1, 2.對于1≤j≤2,令δj∈End(A)為

    δj(a)=hj·a,a∈A

    則顯然有δj2=0和δiδj+δjδi=0.再設(shè)a∈A,b∈Ai,i=1, 2,則

    δj(ab)=hj·(ab)=(1·a)(hj·b)+(hj·a)(g·b)=aδj(b)+(-1)iδj(a)b

    g·(δj(b))=g·(hj·b)=(ghj)·b=-(hjg)·b=-hj·(g·b)=(-1)i+1hj·b=(-1)i+1δj(b)

    故δj是A的分次微分,A為多重微分超代數(shù).

    反之,若A是一個多重微分超代數(shù),且有n個分次微分δ1,δ2,…,δn,則直接驗證可知A是左E(n)-模代數(shù),其模作用為

    g·a=(-1)ia,hj·a=δj(a),a∈Ai,i=1, 2,j=1, 2, …,n

    現(xiàn)在設(shè)k{x1,x2,…,xm}為m個變元x1,x2,…,xm的自由代數(shù),則k{x1,x2,…,xm}有一組k-基:

    {1,xi1,xi2…,xis|s≥1,1≤i1,i2,…,is≤m}

    以下簡記k{x1,x2,…,xm}為Fm.

    定理1設(shè)Γ=(γij)n×m∈Mn×m(k)是域k上的n×m矩陣,則Fm是一個左E(n)-模代數(shù),其模作用由Γ確定如下:

    g·xj=-xj,hi·xj=γij,1≤i≤n,1≤j≤m

    證明如果Fm是一個左E(n)-模代數(shù),模作用由矩陣Γ按定理中的等式給出,則首先有

    g·1=1,hi·1=0,i=1, 2, …,n

    進一步地,對于任意的1≤i1,i2,…,is≤m,s≥1有

    g·(xi1xi2…xis)=(g·xi1)(g·xi2)…(g·xis)=(-1)sxi1…xis

    因此,我們可以直接定義E(n)在Fm上的模作用如下:

    g·1=1,hi·1=0,g·(xi1xi2…xis)=(-1)sxi1xi2…xis

    其中s≥1,1≤i1,i2,…,is≤m,1≤i≤n.則顯然有

    g·(g·1)=1

    g·(g·(xi1xi2…xis))=xi1xi2…xis

    g·(hi·1)+hi·(g·1)=0

    hi·(hj·1)+hj·(hi·1)=0

    其中s≥1,1≤i1,i2,…,is≤m,1≤i≤n.進一步地還有

    從而有

    hi·(hj·(xi1xi2…xis))+hj·(hi·(xi1xi2…xis))=

    這就證明了上述定義使得Fm是一個左E(n)-模.

    然后,設(shè)1≤i1,i2,…,is,j1,j2,…jt≤m,其中s,t≥1,則有

    g·((xi1…xis)(xj1…xjt))=g·(xi1…xisxj1…xjt)=(-1)s+t(xi1…xisxj1…xjt)=

    ((-1)sxi1…xis((-1)txj1…xjt)=(g·(xi1…xis))(g·(xj1…xjt))

    以及

    (hi·(xi1…xis))(g·(xj1…xjt))+(xi1…xis)(hi·(xj1…xjt))=

    這就證得了

    hi·((xi1…xis)(xj1…xjt))=(hi·(xi1…xis))(g·(xj1…xjt))+(xi1…xis)(hi·(xj1…xjt))

    故Fm是一個左E(n)-模代數(shù).記定理1中給出的E(n)-模代數(shù)為Fm(Γ)

    [1] Beattie M,Dǎscǎlescu S, Grünenfelder L. Constructing pointed Hopf algebras by Ore extension[J], J. Algebra, 2000,225: 743-770.

    [2] Sweedler M E.Hopf Algebras[M]. New York: Benjamin, 1969.

    [3] Van Oystaeyen F,Zhang Y H. The Brauer group of Sweedler's Hopf algebra H4[J]. Proc. Amer. Math. Soc. , 2001, 129:371-380.

    [4] Chen H X, Zhang Y. Four-dimensional Yetter-Drinfeld module algebras over H4[J]. J. Algebra , 2006,296: 582-634.

    [5] Hochschild G. Structure of Lie groups[M]. San Francisco:Holden-Day Series Mathematics, 1965.

    [6] Carnovale G, Cuadra J. Cocycle twisting of E(n)-module algebras and applications to the Brauer group[J]. K-Theory , 2004, 33:251-276.

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