淺談如何運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想解題

周偉

[摘 要] 建模思想在中考數(shù)學(xué)中發(fā)揮著重要作用，只有充分掌握第一手資料，了解問(wèn)題的實(shí)際背景知識(shí)，用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言提煉、描述表達(dá)，然后建立數(shù)學(xué)模型，求解、驗(yàn)證、分析，才能解決實(shí)際問(wèn)題.

[關(guān)鍵詞] 問(wèn)題情境；建立模型；解釋；應(yīng)用；拓展

數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出：初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，采用“問(wèn)題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”的模式展開，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用過(guò)程，從而更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí). “數(shù)學(xué)建模”，一是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要求，二是數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的體現(xiàn)，是“應(yīng)用—拓展”的前提，所以，初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)特別重視學(xué)生建模能力的培養(yǎng). 學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，應(yīng)注意把握逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升的原則，并貫穿學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程.

數(shù)學(xué)建模的過(guò)程

數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)的原理、方法、語(yǔ)言解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，數(shù)學(xué)建模的過(guò)程主要包括4個(gè)環(huán)節(jié)：

（1）問(wèn)題分析：了解問(wèn)題的實(shí)際背景材料，分析并找出問(wèn)題的本質(zhì).

（2）假設(shè)化簡(jiǎn)：確定影響研究對(duì)象的主要因素，忽略次要因素，以便簡(jiǎn)化問(wèn)題，并進(jìn)行數(shù)學(xué)描述和抓住問(wèn)題的本質(zhì).

（3）建模求解：根據(jù)分析建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)方法或計(jì)算機(jī)程序（軟件包）對(duì)模型進(jìn)行求解.

（4）驗(yàn)證修改：檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠穹蠈?shí)際，并對(duì)它做出解釋，最后將它應(yīng)用于實(shí)際生產(chǎn)、生活中，產(chǎn)生社會(huì)效益或經(jīng)濟(jì)效益.

需要注意的是，數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題往往不是一個(gè)單純的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它往往涉及其他學(xué)科知識(shí)以及生活知識(shí). 數(shù)學(xué)建模的過(guò)程是一個(gè)多學(xué)科的合作過(guò)程，它促使學(xué)生融會(huì)貫通各門課程中學(xué)到的知識(shí)；促使學(xué)生根據(jù)需要查閱資料、獲取知識(shí)；促使學(xué)生圍繞問(wèn)題收集信息，深化對(duì)問(wèn)題的了解，并在此基礎(chǔ)上解決問(wèn)題. 數(shù)學(xué)建模還可以培養(yǎng)學(xué)生推演、探索、猜想、計(jì)算，以及使用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)等的能力.

建模解題的案例分析

數(shù)學(xué)模型大致可分為三種類型，其中的一種是應(yīng)用型數(shù)學(xué)模型，它涉及面廣、數(shù)量眾多，對(duì)科學(xué)的發(fā)展起著直接的作用，既是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力的關(guān)鍵，又是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的源泉. 構(gòu)造這種模型需具有相當(dāng)廣度和深度的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，以及對(duì)實(shí)際問(wèn)題的透徹認(rèn)識(shí). 應(yīng)用型數(shù)學(xué)模型又可分為物理系統(tǒng)和非物理系統(tǒng)兩類. 屬于物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如天體運(yùn)行模型等，經(jīng)常見(jiàn)到，而屬于非物理系統(tǒng)的模型則如社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、心理等問(wèn)題.

數(shù)學(xué)建模的宣傳語(yǔ)是：數(shù)學(xué)無(wú)所不在、無(wú)所不能. 具備數(shù)學(xué)修養(yǎng)的學(xué)生會(huì)在現(xiàn)實(shí)生活中不斷地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并利用掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題. 以下的實(shí)例就是一個(gè)典型的通過(guò)建立“數(shù)學(xué)模型”解決問(wèn)題的典例.

例題？搖 一種電訊信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31 km，現(xiàn)要求：在一邊長(zhǎng)為30 km的正方形城區(qū)選擇若干個(gè)安裝點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)安裝一個(gè)這樣的轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號(hào)能完全覆蓋這個(gè)城市.

（1）能否找到這樣的4個(gè)安裝點(diǎn)，使得這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達(dá)到預(yù)設(shè)要求？

（2）至少需要選擇多少個(gè)安裝點(diǎn)，才能使這些安裝點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達(dá)到預(yù)設(shè)要求？

答題要求：請(qǐng)?jiān)诮獯饡r(shí)畫出必要的示意圖，并用必要的計(jì)算推理和文字來(lái)說(shuō)明你的理由.

分析？搖 抓住覆蓋建模. 覆蓋在這里指一個(gè)圓或多個(gè)圓對(duì)其他圖形不遺漏但可以重復(fù)地遮蓋住. 就（1）而言，可以設(shè)想把正方形平均分成4個(gè)面積相等的小正方形，如圖1所示，AE=15 km<31 km，所以4個(gè)點(diǎn)選在4個(gè)小正方形的中心即可；又想，如圖2所示，連結(jié)2條對(duì)角線，把正方形分成4個(gè)全等的等腰直角三角形，4個(gè)點(diǎn)選在直角三角形斜邊的中點(diǎn)（即正方形各邊中點(diǎn)）；由此想象生發(fā)開去，過(guò)正方形中心的2條相互垂直的直線可以把正方形的面積4等分，如圖3所示，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，且點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離不大于30 km，4個(gè)點(diǎn)選在每個(gè)任意小四邊形非直角頂點(diǎn)連線段的中點(diǎn)處，這樣就有無(wú)窮多個(gè)答案；還有一類，如圖4所示，把正方形的面積分成4個(gè)全等的小矩形，4個(gè)點(diǎn)選在矩形中心，理由是直徑為31 km的圓蓋住的長(zhǎng)為30 km的矩形的最大寬為 km，×4>30.

對(duì)于（2），1個(gè)點(diǎn)不行，如圖5所示，理由是直徑為31 km的圓蓋住的長(zhǎng)為30 km的矩形的最大寬為 km. 那2個(gè)點(diǎn)呢？也不行，如圖6所示，理由是直徑為31 km的2個(gè)相交圓蓋住的長(zhǎng)為30 km的矩形的最大面積為（30×）×2. 那3個(gè)點(diǎn)呢？可以. 如圖7所示，先用直徑為31 km的1個(gè)圓蓋住30×的矩形，然后再把剩下的矩形分成2個(gè)近似正方形的矩形，3個(gè)點(diǎn)選在3個(gè)矩形的中心；由此想象生發(fā)開去，如圖8所示，使BE=DG=CG，3個(gè)點(diǎn)選在3個(gè)矩形的中心，設(shè)AE=x，則ED=30-x，DH=15. 由BE=DG得x2+302=152+（30-x）2，解得x=3.75，因?yàn)锽E=< 31，所以此方法可實(shí)現(xiàn)預(yù)設(shè)要求. 由上可知，要實(shí)現(xiàn)預(yù)設(shè)要求，至少需要3個(gè)點(diǎn).

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)而求解的能力，考查運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的意識(shí)和能力，側(cè)重于對(duì)過(guò)程性閱讀和探究能力的考查，讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題理解、探究、發(fā)展的一般過(guò)程，獲得研究問(wèn)題的方法，關(guān)注學(xué)生類比、猜想、拓廣的思維方法的形成過(guò)程，注重對(duì)學(xué)習(xí)方式的引導(dǎo).

數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)對(duì)于學(xué)習(xí)解題方法具有積極作用. 在目前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于應(yīng)試的壓力，解題教學(xué)往往側(cè)重于“解”本身而不在于“學(xué)解”，也就是題海戰(zhàn)術(shù). 對(duì)于大量的練習(xí)，學(xué)生學(xué)會(huì)了很多種類型題的解法，但一旦遇到新類型的題目，還是不會(huì)“解”，而這些會(huì)解的題目在今后的生活和工作中也基本無(wú)用. 所以解題教學(xué)的關(guān)鍵是“學(xué)解”，重“質(zhì)”而不是重“量”.

在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中，由于現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題千變?nèi)f化，隨著時(shí)間的變化，會(huì)有不停的新問(wèn)題出現(xiàn)，沒(méi)有人能夠把所有問(wèn)題都總結(jié)下來(lái)，讓學(xué)生去練習(xí)，所以題海戰(zhàn)術(shù)此時(shí)就失效了，學(xué)生只能從數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的第一步開始，仔細(xì)分析問(wèn)題（弄清問(wèn)題），獨(dú)立思考并發(fā)揮創(chuàng)新思維建立模型（制訂計(jì)劃），使用合適的方法解答（執(zhí)行計(jì)劃），在驗(yàn)證環(huán)節(jié)中，還必須對(duì)建立的模型和解答做進(jìn)一步驗(yàn)證和反思（回顧）. 這樣的過(guò)程會(huì)在無(wú)形中“逼迫”學(xué)生使用正確的解題方法.

良好的解題能力對(duì)于數(shù)學(xué)建模具有事半功倍的作用. 當(dāng)你學(xué)會(huì)使用正確的解題方法，擁有組織良好、數(shù)量龐大的知識(shí)體系以及思維體系時(shí)，就能擁有良好的解題能力. 遇到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題建立模型時(shí)，也不需要處處都創(chuàng)新，畢竟前人的經(jīng)驗(yàn)對(duì)我們來(lái)說(shuō)成本低廉，且使用這些成本低廉的經(jīng)驗(yàn)?zāi)芷鸬绞掳牍Ρ兜男Ч?

數(shù)學(xué)建模解題的幾點(diǎn)要求

1. 理解實(shí)質(zhì)，注意變式. 要抓住模型的組成結(jié)構(gòu)、性質(zhì)、特征，摒除本質(zhì)以外的東西，特別要抓住幾何中大量的基本定理、公式模型.

2. 加強(qiáng)比較，注重聯(lián)系. 模型之間有區(qū)別，條件圖形的絲毫改變都可能涉及模型的改變，有時(shí)，一個(gè)題目往往是多個(gè)模型的綜合運(yùn)用，這就要求我們既狠抓基礎(chǔ)，又多練綜合題.

3. 歸納總結(jié)，提煉模型. 模型不只在書本上，更多的是我們?cè)诰毩?xí)中歸納總結(jié)的. 對(duì)于平時(shí)練習(xí)中的重要結(jié)論、規(guī)律，要注意將其提煉成一個(gè)模型.

對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的看法和意見(jiàn)

1. 數(shù)學(xué)建模作業(yè)的評(píng)價(jià)以創(chuàng)新性、現(xiàn)實(shí)性、真實(shí)性、合理性、有效性等幾個(gè)方面作為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)建模的要求不可太高.

2. 數(shù)學(xué)建模問(wèn)題難易應(yīng)適中，千萬(wàn)不要實(shí)施一些脫離中學(xué)生實(shí)際的建模教學(xué)，題目的難度以“跳一跳可以把果子摘下來(lái)”為度.

3. 建模教學(xué)應(yīng)涉及高考應(yīng)用題. 鑒于當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際，保持一定比例的高考應(yīng)用問(wèn)題是必要的，這樣有助于調(diào)動(dòng)師生參與建模教學(xué)的積極性，促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展.

4. 建議中學(xué)數(shù)學(xué)教師繼續(xù)開設(shè)“數(shù)學(xué)模型”課程，師范類高等院校專業(yè)有必要把“數(shù)學(xué)模型”列為必修課程. 中學(xué)教師只有通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)建模的系統(tǒng)學(xué)習(xí)和研究，才能準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的深度和難度，以更好地推動(dòng)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的發(fā)展.

建立數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)知識(shí)與應(yīng)用的橋梁，學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)模型對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力非常重要，亦是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的之一，為此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視從實(shí)際問(wèn)題中引出新概念、新知識(shí)，并注意培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力、豐富的想象力、創(chuàng)造性的思維能力，及抽象、分析、歸納、綜合的能力，使學(xué)生多方面、全方位地感受數(shù)學(xué)建模思想，了解數(shù)學(xué)建模的思維過(guò)程，逐漸理解和掌握數(shù)學(xué)建模的方法，以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.