例析用幾何畫板的深度迭代功能制作數(shù)學(xué)課件

施永新

摘要：在教學(xué)極限的概念和定積分的定義等涉及圖形的無限分割或與操作次數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容時，借助幾何畫板的深度迭代功能，能快速制作出集動態(tài)性、交互性、實用性于一體的輔助教學(xué)課件，有效突破了教學(xué)難點。

關(guān)鍵詞：幾何畫板；深度迭代；數(shù)學(xué)課件

幾何畫板操作簡單、功能強(qiáng)大，是廣大數(shù)學(xué)教師的首選教育軟件。筆者在用幾何畫板輔助教學(xué)的實踐中，深感幾何畫板的深度迭代功能十分強(qiáng)大?，F(xiàn)將有關(guān)輔助教學(xué)課件的設(shè)計思想和制作步驟與大家分享，以期拋磚引玉，共同提高。

● 深度迭代功能

在數(shù)學(xué)上，迭代是指把某些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、計算或其他操作的過程重復(fù)應(yīng)用于先前的相同操作的結(jié)果。這些操作必須根據(jù)某些輸入來定義輸出，迭代則是用每一步的輸出作為下一步的輸入。幾何畫板中的迭代是按一定的迭代規(guī)則，從原象到初象反復(fù)映射的過程。原象是產(chǎn)生迭代序列的初始對象，通常稱為“種子”。初象是原象經(jīng)過一定規(guī)則變換操作而得到的第一個象。幾何畫板中的深度迭代是一種帶參數(shù)的迭代，通過改變參數(shù)的值可改變迭代深度，從而使我們能對某些數(shù)學(xué)對象反復(fù)進(jìn)行相同操作的工作變得簡單易行，可實現(xiàn)人機(jī)交互、動態(tài)變換。

● 課件制作案例

1.動態(tài)演示圓的內(nèi)接與外切正多邊形

（1）設(shè)計思想

在高中數(shù)學(xué)極限的概念教學(xué)或選修課《數(shù)學(xué)史選講》中，一般都會講到我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”，其體現(xiàn)了樸素的極限思想。在教學(xué)中我們?nèi)粲脦缀萎嫲鍎討B(tài)演示圓的分割過程（如圖1），隨著分割的份數(shù)n的值越來越大，圓的內(nèi)接和外切正多邊形越來越接近于圓，并動態(tài)計算圓周率的精確度也越來越高，這有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和對極限概念的理解。

（2）制作步驟

①畫一個圓，在圓上取一點A，圓心標(biāo)記為O。將角度、距離和其他的精確度設(shè)為“十萬分之一”，新建參數(shù)n，參數(shù)值為6，計算和的值。

②雙擊圓心O，將點A按標(biāo)記角度旋轉(zhuǎn)得點，構(gòu)造線段、，過作線段的垂線a，將點A按標(biāo)記角度旋轉(zhuǎn)得點B，構(gòu)造射線OB，與直線a交于點C。

③雙擊線段，選中點C，選擇“變換→反射”，得點，構(gòu)造線段， 隱藏直線a，射線OB，線段。

④依次選中點A和參數(shù)n=6，按住shift鍵不放，選擇“變換→深度迭代”，在迭代對話框中，原象A的初象選，單擊迭代按鈕，即得圓的內(nèi)接和外切正六邊形。

⑤度量O、A兩點間的距離和線段、的長度，然后分別計算內(nèi)接正多邊形周長和外切正多邊形周長除以直徑的值，將其計算結(jié)果標(biāo)簽分別改為“的近似值1”和“的近似值2”。

⑥隱藏點A、、C、、O的標(biāo)簽，并將其點型設(shè)為稍小，隱藏?zé)o關(guān)點和一些度量值，圖1是分割份數(shù)n=9時的情形。

2.動態(tài)演示曲邊梯形的分割過程

（1）設(shè)計思想

高中數(shù)學(xué)新課程中引入了極限與微積分的基礎(chǔ)知識，其中定積分的概念歷來是一個教學(xué)難點。而借助幾何畫板的動態(tài)作圖（如圖2），對位于區(qū)間上，由函數(shù)與x軸圍成的曲邊梯形進(jìn)行任意n等份的分割，隨著分割的份數(shù)n的值越來越大，所有小矩形的面積之和無限接近所求曲邊梯形的面積。生動形象地詮釋了分割→以直代曲→求和→取極限的微積分基本思想，為學(xué)生理解和學(xué)習(xí)定積分這一抽象定義作了直觀形象的鋪墊與解釋.

（2）制作步驟

①繪制函數(shù)的圖像，隱藏網(wǎng)格，將原點標(biāo)記為O，在x軸上任意作2個點A、B。新建一個參數(shù)n，值為4。計算， 選中 標(biāo)簽，單擊右鍵，在屬性對話框數(shù)值頁面中，將其精確度設(shè)置為“十萬分之一”。

②雙擊點A，將點B按標(biāo)記比值縮放得點，分別選中A、，度量A、的橫坐標(biāo)，，并計算、，繪制，。

③過點C作x軸的平行線，交直線于點E，隱藏平行線和直線，構(gòu)造線段、、、，構(gòu)造四邊形內(nèi)部，并度量四邊形的面積，同時選中四邊形內(nèi)部和面積的度量值，再選擇“顯示→顏色→參數(shù)”，選擇雙向。

④依次選擇“”，點A和“”，同時按住shift鍵不放，選擇“變換→深度迭代”，在迭代對話框中，原象n的初象選，原象A的初象選點，單擊迭代按鈕，即得4個小矩形。隱藏?zé)o關(guān)的點和度量值等對象，圖2是n=14時的情形。

3.動態(tài)演示用正弦線畫函數(shù)的圖像

（1）設(shè)計思想

利用正弦線畫函數(shù)

的圖像，用傳統(tǒng)手工畫圖費時費力，且不便展現(xiàn)隨意改變單位圓的等分份數(shù)及平移正弦線的動態(tài)效果?，F(xiàn)用幾何畫板可實現(xiàn)動態(tài)演示單位圓的等分、平移正弦線、描點連線的作圖過程（如圖3），輸入?yún)?shù)n的值越大，單位圓等分的份數(shù)越多。單擊“平移描點”按鈕，動態(tài)演示單位圓的分割及將正弦線依次向右平移到相應(yīng)的位置，單擊“平滑連線”按鈕，動態(tài)演示一支畫筆從左到右將點連成平滑的曲線，單擊“做圖復(fù)位”按鈕，動態(tài)演示一支畫筆從右到左將正弦線和圖像擦除。整個課件交互性、動態(tài)性、實用性強(qiáng)，可隨意更改單位圓的等分份數(shù)，可反復(fù)演示作圖過程，有助于學(xué)生深刻理解正弦曲線的做圖原理與過程。

（2）制作步驟

①選擇“自定義工具欄→07新坐標(biāo)系→新坐標(biāo)系工具”（幾何畫板5.06中文版），建立坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系控制菜單中選三角坐標(biāo)系、隱藏網(wǎng)格，拖動x軸上的單位點，適當(dāng)放大單位長度，選中x軸兩端的控制點，構(gòu)造線段，線型選細(xì)線，顏色選黑色。繪制點F（6.28，0），連接OF，在線段OF上取一點G，度量點G的橫坐標(biāo)得。依次選中原點O和單位點，選擇“變換→標(biāo)記向量”，在x軸負(fù)半軸上取一點，選擇“變換→平移”，得點，構(gòu)造以為圓心，為半徑的圓，圓上任取一點H。

②新建3個參數(shù)，n=12，表示等分份數(shù)，m=1，表示迭代次數(shù)，x=0，表示迭代初始點的橫坐標(biāo)。將角度的單位改為弧度，計算弧度除以n，并將計算結(jié)果標(biāo)簽改為p，得弧度。計算的值，得，在迭代次數(shù)m=1的標(biāo)簽上單擊鼠標(biāo)右鍵，選編輯參數(shù)，計算弧度的值，得到新的m的值，即為迭代次數(shù)。

③雙擊點，將圓上點H按標(biāo)記角度弧度旋轉(zhuǎn)得點。度量點H的縱坐標(biāo)，繪制點。構(gòu)造線段，線型為實線、細(xì)線，顏色為黑色，構(gòu)造線段HK，線型為虛線。分別過點K、H作x軸的垂線，構(gòu)造垂線段并隱藏垂線。

④依次選中H點，x=0和迭代次數(shù)m=11（m的值隨G點改變）的標(biāo)簽，按住shift鍵不放，選擇“變換→深度迭代”，在迭代對話框中，H點的初象選，x=0的初象選，單擊迭代按鈕。

⑤選中點H，選擇“編輯→從圓分離點”，再選中點，選擇“編輯→合并點”，將點H與點合并，隱藏點K、，隱藏坐標(biāo)系控制菜單和迭代產(chǎn)生的表格。

⑥計算弧度，將結(jié)果標(biāo)簽改為angle，雙擊圓心，將按標(biāo)記角度angle旋轉(zhuǎn)得點M，過M點作x軸的垂線段MN，線型為實線、中等，顏色為紅色。計算的值，繪制點，構(gòu)造線段LG。

⑦在線段OF上取一點P，度量點P的橫坐標(biāo)，計算，繪制點 依次選中點P、Q，選擇“變換→自定義變換”，名稱取默認(rèn)值，構(gòu)造線段OQ，選擇“變換→P→Q的變換”，并將線段OQ隱藏。

⑧標(biāo)記向量OF，依次選中點G、F，選擇“編輯→操作類按鈕→移動”，所得按鈕標(biāo)簽改為“移線描點”，依次選中點P、F，選擇“編輯→操作類按鈕→移動”，所得按鈕標(biāo)簽改為“平滑連線”，修改點Q的標(biāo)簽，輸入英文狀態(tài)下的“！”，字型為“windings2”，字號為“48”，加粗，顏色為深綠色，這時點Q的標(biāo)簽為一支畫筆。

⑨依次選中點G、O，選擇“編輯→操作類按鈕→移動”，得“移動G→O”的一個按鈕。依次選中點P、O，選擇“編輯→操作類按鈕→移動”，得“移動P→O”的一個按鈕。選中這兩個按鈕，選擇“編輯→操作類按鈕→系列”，并將所得新按鈕的標(biāo)簽改為“做圖復(fù)位”，將原兩個按鈕隱藏。隱藏?zé)o關(guān)的點與度量值，隱藏、F兩點的標(biāo)簽，最后效果如圖3所示。

由以上案例可以看出，靈活運用幾何畫板的深度迭代功能制作課件、輔助教學(xué)，能有效彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)手段的不足，在幫助學(xué)生理解概念、性質(zhì)，詮釋抽象定義，印證數(shù)學(xué)猜想，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)等方面具有很好的作用。endprint