課本問題的拓展延伸

蔣斌

每年中考數(shù)學(xué)試題有將近30%的題目出自課本中的典型例題、練習(xí)題、習(xí)題或復(fù)習(xí)參考題，因此，同學(xué)們要做透課本中的典型例題和習(xí)題，要善于用聯(lián)系的觀點(diǎn)研究課本中題目的變式，善于在課本中尋找中考題的“影子”，探索試題與課本題目的結(jié)合點(diǎn)，必要時再將這些問題做恰當(dāng)?shù)姆纸饣蛘?、延伸或拓展，努力使課本知識更加豐富鮮活. 本文從課本的一道習(xí)題出發(fā)，通過對其變式、探究、推廣，做到舉一反三，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考.

原題 （蘇科版教材九年級下冊第八章第2節(jié)練習(xí)）某班50名同學(xué)的身高如下（單位：cm）：

150，148，159，156，157，163，156，164，156，159，169，163，170，162，163，164，155，162，153，155，177，165，160，161，166，159，161，157，155，167，162，165，159，147，163，172，156，165，157，164，152，156，153，164，165，162，167，151，175，162.

（1） 計(jì)算這50名同學(xué)身高的平均數(shù)和方差；

（2） 請用簡單隨機(jī)抽樣方法，分別抽取樣本容量為20的兩個樣本，并分別計(jì)算這兩個樣本平均數(shù)和方差，它們的結(jié)果一致嗎？與總體的結(jié)果一致嗎？

【解析】（1） 平均數(shù)為160.58 cm，方差為40.403 6 cm2；

（2） 用簡單隨機(jī)抽樣方法，得到的樣本一為：

150，151，160，166，172，167，165，156，153，167，159，164，164，157，175，157，162，161，156，159.

平均數(shù)為161.05 cm，方差為41.247 5 cm2，大體上與總體一致.

樣本二為：

159，162，165，162，155，148，162，156，177，164，159，156，163，161，165，155，163，153，152，163.

平均數(shù)為160 cm，方差為36.8 cm2，大體上與總體一致.

說明：本題是典型的統(tǒng)計(jì)知識應(yīng)用問題. 考查了平均數(shù)、方差等反映一組數(shù)據(jù)集中或離散程度的統(tǒng)計(jì)量，抽樣的方法和用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想. 下面對本題涉及的相關(guān)統(tǒng)計(jì)知識作適當(dāng)?shù)耐卣固骄?

延伸1：數(shù)據(jù)集中程度

例1 某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組12名成員的年齡情況如下：

則這個小組成員年齡的平均數(shù)是______，中位數(shù)是______.

【解析】本題考查加權(quán)平均數(shù)和中位數(shù)，典型的錯誤是誤認(rèn)為只有5個數(shù)據(jù)，從而得到平均數(shù)為=（12+13+14+15+16）=14，中位數(shù)為12、13、14、15、16最中間的數(shù)14. 其實(shí)，本題中共12個數(shù)據(jù)，正確解法為平均數(shù)=（12×1+13×1+14×3+15×5+16×2）

=14.5，中位數(shù)為第6和第7個數(shù)的平均數(shù)，即=15.

例2 某公司員工的月工資如下表：

則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)中哪個統(tǒng)計(jì)量能客觀描述該公司員工的總體收入情況.

【解析】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5 000元、眾數(shù)3 000元、中位數(shù)3 000元. 由于這組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)明顯偏大，不宜用平均數(shù)5 000元反映這組數(shù)據(jù)的集中程度. 為了排除個別偏大數(shù)據(jù)對整組數(shù)據(jù)的影響，可采用中位數(shù)3 000元（反映中等水平）或眾數(shù)3 000元（反映多數(shù)水平）描述這組數(shù)據(jù)的集中程度.

延伸2：數(shù)據(jù)離散程度

例3 下面是甲、乙兩人10次射擊成績（環(huán)數(shù)）的條形統(tǒng)計(jì)圖，則下列說法正確的是（ ）.

A. 甲比乙的成績穩(wěn)定

B. 乙比甲的成績穩(wěn)定

C. 甲、乙兩人的成績一樣穩(wěn)定

D. 無法確定誰的成績更穩(wěn)定

【解析】選B. 從平均數(shù)角度看，甲為9環(huán)，乙為9環(huán)；從極差角度看，甲為2環(huán)，乙為2環(huán)；但從方差角度看，甲為0.8環(huán)2，乙為0.6環(huán)2，所以乙比甲的成績穩(wěn)定.

說明：極差和方差雖然都可以反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，但極差僅僅是關(guān)注了一組數(shù)據(jù)中的兩個極端，而方差反映的是一組數(shù)據(jù)的平均波動大小，更能客觀描述一組數(shù)據(jù)的離散程度. 有時極差大，方差可能反而小. 如原題中的樣本一的極差為25 cm，方差為41.247 5 cm2；樣本二的極差為29 cm，方差為36.8 cm2.

延伸3：合理選取樣本

例4 要調(diào)查城區(qū)九年級8 000名學(xué)生了解禁毒知識的情況，下列調(diào)查方式最合適的是（ ）.

A. 在某校九年級選取50名女生

B. 在某校九年級選取50名男生

C. 在某校九年級選取50名學(xué)生

D. 在城區(qū)8000名九年級學(xué)生中隨機(jī)選取50名學(xué)生

【解析】選D. 樣本的選取要有代表性、廣泛性和隨機(jī)性，故應(yīng)在城區(qū)8 000名九年級學(xué)生中隨機(jī)選取部分學(xué)生. 男生或女生不能代表所有學(xué)生，一個學(xué)校的學(xué)生不能代表整個城區(qū)的學(xué)生.

延伸4：樣本估計(jì)總體

樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)思想的應(yīng)用. 樣本的容量對估計(jì)總體的精度有影響，一般地，容量越大，精度越高.

例5 生物工作者為了估計(jì)一片山林中雀鳥的數(shù)量，設(shè)計(jì)了如下方案：先捕捉100只雀鳥，給它們做上標(biāo)記后放回山林；一段時間后，再從中隨機(jī)捕獲500只，其中有標(biāo)記的雀鳥有5只. 請你幫助工作人員估計(jì)這片山林中雀鳥的數(shù)量約有______只.

【解析】設(shè)這片山林中的所有雀鳥為x只，由于先捕捉的100只雀鳥是這片山林中所有雀鳥的一個樣本，利用樣本估計(jì)總體可得=，解得x=10 000. 即這片山林中的所有雀鳥約為10 000只.

例6 2011年5月19日，中國首個旅游日正式啟動，某校組織了由八年級800名學(xué)生參加的旅游地理知識競賽，李老師為了了解學(xué)生對旅游地理知識的掌握情況，從中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績作為樣本，把成績按優(yōu)秀、良好、及格、不及格4個級別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制了如圖的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（部分信息未給出）.

請根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：

（1） 求被抽取部分學(xué)生的人數(shù)；

（2） 請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示及格的扇形的圓心角度數(shù)；

（3） 請估計(jì)八年級800名學(xué)生中達(dá)到良好和優(yōu)秀的總?cè)藬?shù).

【解析】（1） 被抽取部分學(xué)生的人數(shù)為10÷10%=100人；

（2） 正確補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖：（圖略）圓心角度數(shù)為360°×（30÷100）=108°.

（3） 八年級800名學(xué)生中達(dá)到良好和優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)約為800×（1-10%-30%）

=480（人）.

（作者單位：昆山市玉山中學(xué)）

每年中考數(shù)學(xué)試題有將近30%的題目出自課本中的典型例題、練習(xí)題、習(xí)題或復(fù)習(xí)參考題，因此，同學(xué)們要做透課本中的典型例題和習(xí)題，要善于用聯(lián)系的觀點(diǎn)研究課本中題目的變式，善于在課本中尋找中考題的“影子”，探索試題與課本題目的結(jié)合點(diǎn)，必要時再將這些問題做恰當(dāng)?shù)姆纸饣蛘?、延伸或拓展，努力使課本知識更加豐富鮮活. 本文從課本的一道習(xí)題出發(fā)，通過對其變式、探究、推廣，做到舉一反三，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考.

原題 （蘇科版教材九年級下冊第八章第2節(jié)練習(xí)）某班50名同學(xué)的身高如下（單位：cm）：

150，148，159，156，157，163，156，164，156，159，169，163，170，162，163，164，155，162，153，155，177，165，160，161，166，159，161，157，155，167，162，165，159，147，163，172，156，165，157，164，152，156，153，164，165，162，167，151，175，162.

（1） 計(jì)算這50名同學(xué)身高的平均數(shù)和方差；

（2） 請用簡單隨機(jī)抽樣方法，分別抽取樣本容量為20的兩個樣本，并分別計(jì)算這兩個樣本平均數(shù)和方差，它們的結(jié)果一致嗎？與總體的結(jié)果一致嗎？

【解析】（1） 平均數(shù)為160.58 cm，方差為40.403 6 cm2；

（2） 用簡單隨機(jī)抽樣方法，得到的樣本一為：

150，151，160，166，172，167，165，156，153，167，159，164，164，157，175，157，162，161，156，159.

平均數(shù)為161.05 cm，方差為41.247 5 cm2，大體上與總體一致.

樣本二為：

159，162，165，162，155，148，162，156，177，164，159，156，163，161，165，155，163，153，152，163.

平均數(shù)為160 cm，方差為36.8 cm2，大體上與總體一致.

說明：本題是典型的統(tǒng)計(jì)知識應(yīng)用問題. 考查了平均數(shù)、方差等反映一組數(shù)據(jù)集中或離散程度的統(tǒng)計(jì)量，抽樣的方法和用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想. 下面對本題涉及的相關(guān)統(tǒng)計(jì)知識作適當(dāng)?shù)耐卣固骄?

延伸1：數(shù)據(jù)集中程度

例1 某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組12名成員的年齡情況如下：

則這個小組成員年齡的平均數(shù)是______，中位數(shù)是______.

【解析】本題考查加權(quán)平均數(shù)和中位數(shù)，典型的錯誤是誤認(rèn)為只有5個數(shù)據(jù)，從而得到平均數(shù)為=（12+13+14+15+16）=14，中位數(shù)為12、13、14、15、16最中間的數(shù)14. 其實(shí)，本題中共12個數(shù)據(jù)，正確解法為平均數(shù)=（12×1+13×1+14×3+15×5+16×2）

=14.5，中位數(shù)為第6和第7個數(shù)的平均數(shù)，即=15.

例2 某公司員工的月工資如下表：

則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)中哪個統(tǒng)計(jì)量能客觀描述該公司員工的總體收入情況.

【解析】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5 000元、眾數(shù)3 000元、中位數(shù)3 000元. 由于這組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)明顯偏大，不宜用平均數(shù)5 000元反映這組數(shù)據(jù)的集中程度. 為了排除個別偏大數(shù)據(jù)對整組數(shù)據(jù)的影響，可采用中位數(shù)3 000元（反映中等水平）或眾數(shù)3 000元（反映多數(shù)水平）描述這組數(shù)據(jù)的集中程度.

延伸2：數(shù)據(jù)離散程度

例3 下面是甲、乙兩人10次射擊成績（環(huán)數(shù)）的條形統(tǒng)計(jì)圖，則下列說法正確的是（ ）.

A. 甲比乙的成績穩(wěn)定

B. 乙比甲的成績穩(wěn)定

C. 甲、乙兩人的成績一樣穩(wěn)定

D. 無法確定誰的成績更穩(wěn)定

【解析】選B. 從平均數(shù)角度看，甲為9環(huán)，乙為9環(huán)；從極差角度看，甲為2環(huán)，乙為2環(huán)；但從方差角度看，甲為0.8環(huán)2，乙為0.6環(huán)2，所以乙比甲的成績穩(wěn)定.

說明：極差和方差雖然都可以反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，但極差僅僅是關(guān)注了一組數(shù)據(jù)中的兩個極端，而方差反映的是一組數(shù)據(jù)的平均波動大小，更能客觀描述一組數(shù)據(jù)的離散程度. 有時極差大，方差可能反而小. 如原題中的樣本一的極差為25 cm，方差為41.247 5 cm2；樣本二的極差為29 cm，方差為36.8 cm2.

延伸3：合理選取樣本

例4 要調(diào)查城區(qū)九年級8 000名學(xué)生了解禁毒知識的情況，下列調(diào)查方式最合適的是（ ）.

A. 在某校九年級選取50名女生

B. 在某校九年級選取50名男生

C. 在某校九年級選取50名學(xué)生

D. 在城區(qū)8000名九年級學(xué)生中隨機(jī)選取50名學(xué)生

【解析】選D. 樣本的選取要有代表性、廣泛性和隨機(jī)性，故應(yīng)在城區(qū)8 000名九年級學(xué)生中隨機(jī)選取部分學(xué)生. 男生或女生不能代表所有學(xué)生，一個學(xué)校的學(xué)生不能代表整個城區(qū)的學(xué)生.

延伸4：樣本估計(jì)總體

樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)思想的應(yīng)用. 樣本的容量對估計(jì)總體的精度有影響，一般地，容量越大，精度越高.

例5 生物工作者為了估計(jì)一片山林中雀鳥的數(shù)量，設(shè)計(jì)了如下方案：先捕捉100只雀鳥，給它們做上標(biāo)記后放回山林；一段時間后，再從中隨機(jī)捕獲500只，其中有標(biāo)記的雀鳥有5只. 請你幫助工作人員估計(jì)這片山林中雀鳥的數(shù)量約有______只.

【解析】設(shè)這片山林中的所有雀鳥為x只，由于先捕捉的100只雀鳥是這片山林中所有雀鳥的一個樣本，利用樣本估計(jì)總體可得=，解得x=10 000. 即這片山林中的所有雀鳥約為10 000只.

例6 2011年5月19日，中國首個旅游日正式啟動，某校組織了由八年級800名學(xué)生參加的旅游地理知識競賽，李老師為了了解學(xué)生對旅游地理知識的掌握情況，從中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績作為樣本，把成績按優(yōu)秀、良好、及格、不及格4個級別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制了如圖的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（部分信息未給出）.

請根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：

（1） 求被抽取部分學(xué)生的人數(shù)；

（2） 請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示及格的扇形的圓心角度數(shù)；

（3） 請估計(jì)八年級800名學(xué)生中達(dá)到良好和優(yōu)秀的總?cè)藬?shù).

【解析】（1） 被抽取部分學(xué)生的人數(shù)為10÷10%=100人；

（2） 正確補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖：（圖略）圓心角度數(shù)為360°×（30÷100）=108°.

（3） 八年級800名學(xué)生中達(dá)到良好和優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)約為800×（1-10%-30%）

=480（人）.

（作者單位：昆山市玉山中學(xué)）

每年中考數(shù)學(xué)試題有將近30%的題目出自課本中的典型例題、練習(xí)題、習(xí)題或復(fù)習(xí)參考題，因此，同學(xué)們要做透課本中的典型例題和習(xí)題，要善于用聯(lián)系的觀點(diǎn)研究課本中題目的變式，善于在課本中尋找中考題的“影子”，探索試題與課本題目的結(jié)合點(diǎn)，必要時再將這些問題做恰當(dāng)?shù)姆纸饣蛘?、延伸或拓展，努力使課本知識更加豐富鮮活. 本文從課本的一道習(xí)題出發(fā)，通過對其變式、探究、推廣，做到舉一反三，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考.

原題 （蘇科版教材九年級下冊第八章第2節(jié)練習(xí)）某班50名同學(xué)的身高如下（單位：cm）：

150，148，159，156，157，163，156，164，156，159，169，163，170，162，163，164，155，162，153，155，177，165，160，161，166，159，161，157，155，167，162，165，159，147，163，172，156，165，157，164，152，156，153，164，165，162，167，151，175，162.

（1） 計(jì)算這50名同學(xué)身高的平均數(shù)和方差；

（2） 請用簡單隨機(jī)抽樣方法，分別抽取樣本容量為20的兩個樣本，并分別計(jì)算這兩個樣本平均數(shù)和方差，它們的結(jié)果一致嗎？與總體的結(jié)果一致嗎？

【解析】（1） 平均數(shù)為160.58 cm，方差為40.403 6 cm2；

（2） 用簡單隨機(jī)抽樣方法，得到的樣本一為：

150，151，160，166，172，167，165，156，153，167，159，164，164，157，175，157，162，161，156，159.

平均數(shù)為161.05 cm，方差為41.247 5 cm2，大體上與總體一致.

樣本二為：

159，162，165，162，155，148，162，156，177，164，159，156，163，161，165，155，163，153，152，163.

平均數(shù)為160 cm，方差為36.8 cm2，大體上與總體一致.

說明：本題是典型的統(tǒng)計(jì)知識應(yīng)用問題. 考查了平均數(shù)、方差等反映一組數(shù)據(jù)集中或離散程度的統(tǒng)計(jì)量，抽樣的方法和用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想. 下面對本題涉及的相關(guān)統(tǒng)計(jì)知識作適當(dāng)?shù)耐卣固骄?

延伸1：數(shù)據(jù)集中程度

例1 某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組12名成員的年齡情況如下：

則這個小組成員年齡的平均數(shù)是______，中位數(shù)是______.

【解析】本題考查加權(quán)平均數(shù)和中位數(shù)，典型的錯誤是誤認(rèn)為只有5個數(shù)據(jù)，從而得到平均數(shù)為=（12+13+14+15+16）=14，中位數(shù)為12、13、14、15、16最中間的數(shù)14. 其實(shí)，本題中共12個數(shù)據(jù)，正確解法為平均數(shù)=（12×1+13×1+14×3+15×5+16×2）

=14.5，中位數(shù)為第6和第7個數(shù)的平均數(shù)，即=15.

例2 某公司員工的月工資如下表：

則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)中哪個統(tǒng)計(jì)量能客觀描述該公司員工的總體收入情況.

【解析】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5 000元、眾數(shù)3 000元、中位數(shù)3 000元. 由于這組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)明顯偏大，不宜用平均數(shù)5 000元反映這組數(shù)據(jù)的集中程度. 為了排除個別偏大數(shù)據(jù)對整組數(shù)據(jù)的影響，可采用中位數(shù)3 000元（反映中等水平）或眾數(shù)3 000元（反映多數(shù)水平）描述這組數(shù)據(jù)的集中程度.

延伸2：數(shù)據(jù)離散程度

例3 下面是甲、乙兩人10次射擊成績（環(huán)數(shù)）的條形統(tǒng)計(jì)圖，則下列說法正確的是（ ）.

A. 甲比乙的成績穩(wěn)定

B. 乙比甲的成績穩(wěn)定

C. 甲、乙兩人的成績一樣穩(wěn)定

D. 無法確定誰的成績更穩(wěn)定

【解析】選B. 從平均數(shù)角度看，甲為9環(huán)，乙為9環(huán)；從極差角度看，甲為2環(huán)，乙為2環(huán)；但從方差角度看，甲為0.8環(huán)2，乙為0.6環(huán)2，所以乙比甲的成績穩(wěn)定.

說明：極差和方差雖然都可以反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，但極差僅僅是關(guān)注了一組數(shù)據(jù)中的兩個極端，而方差反映的是一組數(shù)據(jù)的平均波動大小，更能客觀描述一組數(shù)據(jù)的離散程度. 有時極差大，方差可能反而小. 如原題中的樣本一的極差為25 cm，方差為41.247 5 cm2；樣本二的極差為29 cm，方差為36.8 cm2.

延伸3：合理選取樣本

例4 要調(diào)查城區(qū)九年級8 000名學(xué)生了解禁毒知識的情況，下列調(diào)查方式最合適的是（ ）.

A. 在某校九年級選取50名女生

B. 在某校九年級選取50名男生

C. 在某校九年級選取50名學(xué)生

D. 在城區(qū)8000名九年級學(xué)生中隨機(jī)選取50名學(xué)生

【解析】選D. 樣本的選取要有代表性、廣泛性和隨機(jī)性，故應(yīng)在城區(qū)8 000名九年級學(xué)生中隨機(jī)選取部分學(xué)生. 男生或女生不能代表所有學(xué)生，一個學(xué)校的學(xué)生不能代表整個城區(qū)的學(xué)生.

延伸4：樣本估計(jì)總體

樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)思想的應(yīng)用. 樣本的容量對估計(jì)總體的精度有影響，一般地，容量越大，精度越高.

例5 生物工作者為了估計(jì)一片山林中雀鳥的數(shù)量，設(shè)計(jì)了如下方案：先捕捉100只雀鳥，給它們做上標(biāo)記后放回山林；一段時間后，再從中隨機(jī)捕獲500只，其中有標(biāo)記的雀鳥有5只. 請你幫助工作人員估計(jì)這片山林中雀鳥的數(shù)量約有______只.

【解析】設(shè)這片山林中的所有雀鳥為x只，由于先捕捉的100只雀鳥是這片山林中所有雀鳥的一個樣本，利用樣本估計(jì)總體可得=，解得x=10 000. 即這片山林中的所有雀鳥約為10 000只.

例6 2011年5月19日，中國首個旅游日正式啟動，某校組織了由八年級800名學(xué)生參加的旅游地理知識競賽，李老師為了了解學(xué)生對旅游地理知識的掌握情況，從中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績作為樣本，把成績按優(yōu)秀、良好、及格、不及格4個級別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制了如圖的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（部分信息未給出）.

請根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：

（1） 求被抽取部分學(xué)生的人數(shù)；

（2） 請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示及格的扇形的圓心角度數(shù)；

（3） 請估計(jì)八年級800名學(xué)生中達(dá)到良好和優(yōu)秀的總?cè)藬?shù).

【解析】（1） 被抽取部分學(xué)生的人數(shù)為10÷10%=100人；

（2） 正確補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖：（圖略）圓心角度數(shù)為360°×（30÷100）=108°.

（3） 八年級800名學(xué)生中達(dá)到良好和優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)約為800×（1-10%-30%）

=480（人）.

（作者單位：昆山市玉山中學(xué)）