常見錯例面面觀

王新奇

銳角三角函數(shù)在中考中的考查一般不會單獨出現(xiàn)較大難度的考題，但是很多同學(xué)在解題中錯誤百出，失分嚴(yán)重. 下面就平時同學(xué)們在銳角三角函數(shù)問題中一些常見的錯誤進(jìn)行舉例分析，以引起大家的注意.

1. 概念理解不透徹

例1 在Rt△ABC中，各邊的長度都擴(kuò)大3倍，那么銳角A的三角函數(shù)值（ ）.

A. 都擴(kuò)大3倍 B. 都擴(kuò)大4倍

C. 不能確定 D. 沒有變化

【錯解】A.

【分析】三角形三邊都擴(kuò)大3倍后的三角形與原三角形相似，所以直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值不變. 錯解沒有真正理解三角函數(shù)的概念.

【正解】D. 三角函數(shù)的值是直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值，大小只與角的度數(shù)有關(guān)，與邊的大小無關(guān).

2. 忽視求三角函數(shù)的限制條件

例2 （2012·江西內(nèi)江）如圖1，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為（ ）.

A. B.

C. D.

【分析】在本題的解答過程中，根據(jù)sinA=，部分同學(xué)會錯誤地得出sinA=，導(dǎo)致結(jié)果與選項不符，要么隨便選一個，降低了正確率，要么開始重新審題，浪費了寶貴的考試時間. 這個錯誤的根源在于沒有真正理解正弦的概念，沒有掌握銳角三角函數(shù)的使用條件：在直角三角形中. 因此本題需先尋找∠A所在的直角三角形，而圖中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，這就需要添加輔助線，構(gòu)造直角三角形. 如圖1，連接CD，得到CD⊥AB，sinA===.

在斜三角形中求三角函數(shù)值時往往需要作高（形內(nèi)或者形外）構(gòu)造直角三角形.

3. 忽視分類討論

例3 Rt△ABC的兩條邊分別是6和8，求其最小角的正弦值.

【錯解】∵6和8是直角三角形的兩邊，∴斜邊是10，∴最小角的正弦值是.

【分析】已知條件中并沒有指明6和8是兩條直角邊，所以本題應(yīng)分兩種情況：

（1） 6和8是兩條直角邊；

（2） 6是直角邊，8是斜邊.

很多同學(xué)錯在忽視了第2種情況.

【正解】當(dāng)6和8是兩條直角邊時，斜邊是10，所以最小角的正弦值是.

當(dāng)6是直角邊，8是斜邊時，則另一直角邊是=2，所以最小角的正弦值是=. 綜上可知，最小角的正弦值是或.

4. 忽視銳角三角函數(shù)的范圍

例4 已知α為銳角，4tan2α-3=0，求tanα.

【錯解】∵4tan2α-3=0，∴tan2α=，

∴tanα=±.

【分析】銳角三角函數(shù)值等于相應(yīng)直角三角形的邊的比，所以tanα>0.

【正解】∵4tan2α-3=0，∴tan2α=，∴tanα=

±. ∵tanα>0，∴tanα=.

銳角三角函數(shù)值都是正數(shù)，在求解時不能忘記.

5. 混淆特殊角三角函數(shù)值的變化規(guī)律

例5 銳角α滿足

A. 30°<α<45° B. 60°<α<90°

C. 45°<α<60° D. α<30°

【錯解】A.

【分析】正弦值與正切值都隨銳角度數(shù)的增大而增大，而余弦值是隨銳角度數(shù)的增大而減小. 本題錯在沒有準(zhǔn)確掌握特殊角的三角函數(shù)，將特殊角的三角函數(shù)值張冠李戴，混淆了銳角的正弦值、余弦值的變化規(guī)律.

【正解】∵cos60°=，cos45°=，又∵余弦值隨銳角度數(shù)的增大而減小，∴cos60°

在銳角范圍內(nèi)，正弦與正切可以看成是單調(diào)遞增函數(shù)，即度數(shù)大三角函數(shù)值就大；而余弦正好相反.

6. 主觀臆斷

例6 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，則sin=______.

【錯解】∵sinA===，

∴sin=.

【分析】本題錯在將∠A的一半的正弦值看作是∠A的正弦的一半，兩者顯然不等. 如sin60°=，而sin30°=. 本題正確的解法是先求出∠A的度數(shù)，然后再求其正弦值.

【正解】∵sinA===，

∴∠A=60°，∠A=30°. ∴sin=.

求一個角一半的三角函數(shù)值，應(yīng)先求出這個角的度數(shù)，然后再求其三角函數(shù)值，一定不能用三角函數(shù)值的一半作為角的一半的三角函數(shù)值.

以上典型錯誤選自同學(xué)們的平時作業(yè)和練習(xí)當(dāng)中，同學(xué)們不僅要知道這些地方容易出錯，更要對錯解進(jìn)行認(rèn)真分析，了解產(chǎn)生錯解的各種原因，逐漸形成良好的知識結(jié)構(gòu)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，從而避免類似的錯誤再度發(fā)生.

（作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校）

銳角三角函數(shù)在中考中的考查一般不會單獨出現(xiàn)較大難度的考題，但是很多同學(xué)在解題中錯誤百出，失分嚴(yán)重. 下面就平時同學(xué)們在銳角三角函數(shù)問題中一些常見的錯誤進(jìn)行舉例分析，以引起大家的注意.

1. 概念理解不透徹

例1 在Rt△ABC中，各邊的長度都擴(kuò)大3倍，那么銳角A的三角函數(shù)值（ ）.

A. 都擴(kuò)大3倍 B. 都擴(kuò)大4倍

C. 不能確定 D. 沒有變化

【錯解】A.

【分析】三角形三邊都擴(kuò)大3倍后的三角形與原三角形相似，所以直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值不變. 錯解沒有真正理解三角函數(shù)的概念.

【正解】D. 三角函數(shù)的值是直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值，大小只與角的度數(shù)有關(guān)，與邊的大小無關(guān).

2. 忽視求三角函數(shù)的限制條件

例2 （2012·江西內(nèi)江）如圖1，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為（ ）.

A. B.

C. D.

【分析】在本題的解答過程中，根據(jù)sinA=，部分同學(xué)會錯誤地得出sinA=，導(dǎo)致結(jié)果與選項不符，要么隨便選一個，降低了正確率，要么開始重新審題，浪費了寶貴的考試時間. 這個錯誤的根源在于沒有真正理解正弦的概念，沒有掌握銳角三角函數(shù)的使用條件：在直角三角形中. 因此本題需先尋找∠A所在的直角三角形，而圖中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，這就需要添加輔助線，構(gòu)造直角三角形. 如圖1，連接CD，得到CD⊥AB，sinA===.

在斜三角形中求三角函數(shù)值時往往需要作高（形內(nèi)或者形外）構(gòu)造直角三角形.

3. 忽視分類討論

例3 Rt△ABC的兩條邊分別是6和8，求其最小角的正弦值.

【錯解】∵6和8是直角三角形的兩邊，∴斜邊是10，∴最小角的正弦值是.

【分析】已知條件中并沒有指明6和8是兩條直角邊，所以本題應(yīng)分兩種情況：

（1） 6和8是兩條直角邊；

（2） 6是直角邊，8是斜邊.

很多同學(xué)錯在忽視了第2種情況.

【正解】當(dāng)6和8是兩條直角邊時，斜邊是10，所以最小角的正弦值是.

當(dāng)6是直角邊，8是斜邊時，則另一直角邊是=2，所以最小角的正弦值是=. 綜上可知，最小角的正弦值是或.

4. 忽視銳角三角函數(shù)的范圍

例4 已知α為銳角，4tan2α-3=0，求tanα.

【錯解】∵4tan2α-3=0，∴tan2α=，

∴tanα=±.

【分析】銳角三角函數(shù)值等于相應(yīng)直角三角形的邊的比，所以tanα>0.

【正解】∵4tan2α-3=0，∴tan2α=，∴tanα=

±. ∵tanα>0，∴tanα=.

銳角三角函數(shù)值都是正數(shù)，在求解時不能忘記.

5. 混淆特殊角三角函數(shù)值的變化規(guī)律

例5 銳角α滿足

A. 30°<α<45° B. 60°<α<90°

C. 45°<α<60° D. α<30°

【錯解】A.

【分析】正弦值與正切值都隨銳角度數(shù)的增大而增大，而余弦值是隨銳角度數(shù)的增大而減小. 本題錯在沒有準(zhǔn)確掌握特殊角的三角函數(shù)，將特殊角的三角函數(shù)值張冠李戴，混淆了銳角的正弦值、余弦值的變化規(guī)律.

【正解】∵cos60°=，cos45°=，又∵余弦值隨銳角度數(shù)的增大而減小，∴cos60°

在銳角范圍內(nèi)，正弦與正切可以看成是單調(diào)遞增函數(shù)，即度數(shù)大三角函數(shù)值就大；而余弦正好相反.

6. 主觀臆斷

例6 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，則sin=______.

【錯解】∵sinA===，

∴sin=.

【分析】本題錯在將∠A的一半的正弦值看作是∠A的正弦的一半，兩者顯然不等. 如sin60°=，而sin30°=. 本題正確的解法是先求出∠A的度數(shù)，然后再求其正弦值.

【正解】∵sinA===，

∴∠A=60°，∠A=30°. ∴sin=.

求一個角一半的三角函數(shù)值，應(yīng)先求出這個角的度數(shù)，然后再求其三角函數(shù)值，一定不能用三角函數(shù)值的一半作為角的一半的三角函數(shù)值.

以上典型錯誤選自同學(xué)們的平時作業(yè)和練習(xí)當(dāng)中，同學(xué)們不僅要知道這些地方容易出錯，更要對錯解進(jìn)行認(rèn)真分析，了解產(chǎn)生錯解的各種原因，逐漸形成良好的知識結(jié)構(gòu)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，從而避免類似的錯誤再度發(fā)生.

（作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校）

銳角三角函數(shù)在中考中的考查一般不會單獨出現(xiàn)較大難度的考題，但是很多同學(xué)在解題中錯誤百出，失分嚴(yán)重. 下面就平時同學(xué)們在銳角三角函數(shù)問題中一些常見的錯誤進(jìn)行舉例分析，以引起大家的注意.

1. 概念理解不透徹

例1 在Rt△ABC中，各邊的長度都擴(kuò)大3倍，那么銳角A的三角函數(shù)值（ ）.

A. 都擴(kuò)大3倍 B. 都擴(kuò)大4倍

C. 不能確定 D. 沒有變化

【錯解】A.

【分析】三角形三邊都擴(kuò)大3倍后的三角形與原三角形相似，所以直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值不變. 錯解沒有真正理解三角函數(shù)的概念.

【正解】D. 三角函數(shù)的值是直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值，大小只與角的度數(shù)有關(guān)，與邊的大小無關(guān).

2. 忽視求三角函數(shù)的限制條件

例2 （2012·江西內(nèi)江）如圖1，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為（ ）.

A. B.

C. D.

【分析】在本題的解答過程中，根據(jù)sinA=，部分同學(xué)會錯誤地得出sinA=，導(dǎo)致結(jié)果與選項不符，要么隨便選一個，降低了正確率，要么開始重新審題，浪費了寶貴的考試時間. 這個錯誤的根源在于沒有真正理解正弦的概念，沒有掌握銳角三角函數(shù)的使用條件：在直角三角形中. 因此本題需先尋找∠A所在的直角三角形，而圖中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，這就需要添加輔助線，構(gòu)造直角三角形. 如圖1，連接CD，得到CD⊥AB，sinA===.

在斜三角形中求三角函數(shù)值時往往需要作高（形內(nèi)或者形外）構(gòu)造直角三角形.

3. 忽視分類討論

例3 Rt△ABC的兩條邊分別是6和8，求其最小角的正弦值.

【錯解】∵6和8是直角三角形的兩邊，∴斜邊是10，∴最小角的正弦值是.

【分析】已知條件中并沒有指明6和8是兩條直角邊，所以本題應(yīng)分兩種情況：

（1） 6和8是兩條直角邊；

（2） 6是直角邊，8是斜邊.

很多同學(xué)錯在忽視了第2種情況.

【正解】當(dāng)6和8是兩條直角邊時，斜邊是10，所以最小角的正弦值是.

當(dāng)6是直角邊，8是斜邊時，則另一直角邊是=2，所以最小角的正弦值是=. 綜上可知，最小角的正弦值是或.

4. 忽視銳角三角函數(shù)的范圍

例4 已知α為銳角，4tan2α-3=0，求tanα.

【錯解】∵4tan2α-3=0，∴tan2α=，

∴tanα=±.

【分析】銳角三角函數(shù)值等于相應(yīng)直角三角形的邊的比，所以tanα>0.

【正解】∵4tan2α-3=0，∴tan2α=，∴tanα=

±. ∵tanα>0，∴tanα=.

銳角三角函數(shù)值都是正數(shù)，在求解時不能忘記.

5. 混淆特殊角三角函數(shù)值的變化規(guī)律

例5 銳角α滿足

A. 30°<α<45° B. 60°<α<90°

C. 45°<α<60° D. α<30°

【錯解】A.

【分析】正弦值與正切值都隨銳角度數(shù)的增大而增大，而余弦值是隨銳角度數(shù)的增大而減小. 本題錯在沒有準(zhǔn)確掌握特殊角的三角函數(shù)，將特殊角的三角函數(shù)值張冠李戴，混淆了銳角的正弦值、余弦值的變化規(guī)律.

【正解】∵cos60°=，cos45°=，又∵余弦值隨銳角度數(shù)的增大而減小，∴cos60°

在銳角范圍內(nèi)，正弦與正切可以看成是單調(diào)遞增函數(shù)，即度數(shù)大三角函數(shù)值就大；而余弦正好相反.

6. 主觀臆斷

例6 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，則sin=______.

【錯解】∵sinA===，

∴sin=.

【分析】本題錯在將∠A的一半的正弦值看作是∠A的正弦的一半，兩者顯然不等. 如sin60°=，而sin30°=. 本題正確的解法是先求出∠A的度數(shù)，然后再求其正弦值.

【正解】∵sinA===，

∴∠A=60°，∠A=30°. ∴sin=.

求一個角一半的三角函數(shù)值，應(yīng)先求出這個角的度數(shù)，然后再求其三角函數(shù)值，一定不能用三角函數(shù)值的一半作為角的一半的三角函數(shù)值.

以上典型錯誤選自同學(xué)們的平時作業(yè)和練習(xí)當(dāng)中，同學(xué)們不僅要知道這些地方容易出錯，更要對錯解進(jìn)行認(rèn)真分析，了解產(chǎn)生錯解的各種原因，逐漸形成良好的知識結(jié)構(gòu)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，從而避免類似的錯誤再度發(fā)生.

（作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校）