操作 感悟 建模

祝林

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）中總體目標(biāo)明確提出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗?！边@里第一次把“雙基”目標(biāo)拓展為“四基”目標(biāo)。而縱觀整個小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，幾乎所有的數(shù)學(xué)思想都能在這一階段找到“原型”。尤其是各冊教材中“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)，是滲透數(shù)學(xué)思想和幫助學(xué)生積累基本活動經(jīng)驗的最好時機(jī)。但是否進(jìn)行了“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)，就能滲透數(shù)學(xué)思想和積累基本活動經(jīng)驗?zāi)?？答案是否定的。下面，就以人教版五年級下冊教材中的“?shù)學(xué)廣角——找次品”為例，談?wù)勛约旱淖龇ê透邢搿?/p>

【第一次試教】

一、初步感知

出示例題：這里有5瓶鈣片，其中1瓶少了3片，設(shè)法把它找出來。（說明：那個較輕一點的我們稱之為“次品” 。討論方法得出：可以用天平把它找出來。）

師：至少稱幾次，一定能找出來？請你先思考，再用圖和文字把你的想法表示出來。（生思考，繪圖）

生1：至少用2次一定能找出來。（師板書）

■

師：和他的想法一樣的同學(xué)請舉手。（全班45人，有11人舉手）還有不同的想法嗎？

生2：我也是2次，不過想法和他不一樣。（師板書）

■

師：真不錯！和他一樣的有哪些同學(xué)？（有4人舉手，多數(shù)學(xué)生比較茫然）

二、操作、拓展

出示例題：在9個零件里有1個是次品（次品輕一些），用天平稱，至少稱幾次就一定能找出次品來？

師：請你根據(jù)剛才的學(xué)習(xí)先想一想，至少需要幾次一定能找出次品來，再畫圖說明。

生1：我先分成4份，結(jié)果是3次。（師板書）

■

生2：我也是稱3次，但分的方法不一樣。（師板書）

■

生3（急急地）：我只要用2次就行了！

（其他學(xué)生都驚奇地看著他）

生3：我把9個零件也分成3份，每份是3個……

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（有些學(xué)生還有其他方法，略）

三、歸納、總結(jié)

師：剛才我們從9個零件中，要找出1個次品，方法有很多。其中稱的次數(shù)最少的方法是2次。請你仔細(xì)觀察這些方法，想一想，怎樣稱可以使稱的次數(shù)盡可能少？

生（由于時間關(guān)系，主要在教師的講解下得到）：分成3份，能平均分的要平均分；如果不能平均分，盡可能使每份個數(shù)接近，其中2份相同，另1份與這2份差1個。這樣分，可以使稱的次數(shù)盡可能少。

四、作業(yè)

題目：有13個零件，其中有1個較輕，至少稱幾次，可以把這個零件找出來。

同樣是3次，但學(xué)生采用的方法還是不一樣，主要方法如下：

4個4個稱：

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5個5個稱：

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6個6個稱：

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另外，有的學(xué)生用4次，甚至5次，還有較多的學(xué)生不會做。

反思：“找次品”是一堂典型的滲透優(yōu)化思想的課，教學(xué)時教師不遺余力，想讓學(xué)生更好地理解“優(yōu)化”思想?？勺屑?xì)想一想，發(fā)現(xiàn)只是一廂情愿。試想，當(dāng)學(xué)生第一次接觸到這一內(nèi)容，他們的注意力都集中在了“至少用幾次”上，討論、操作、畫圖，忙得不亦樂乎，最后得出結(jié)論的卻是少數(shù)學(xué)生，而能夠說出方法的，少之又少了。由于時間消耗過多，在臨近下課的比較環(huán)節(jié)，學(xué)生基本上都處于被動狀態(tài)，教師不得不把找的方法告訴學(xué)生。在作業(yè)中，他們原來怎么想的，還是怎么做。如上述課例的作業(yè)中，在13個零件中找一個較輕的次品，都是用3次，卻是不同的分法、找法，體現(xiàn)不出“優(yōu)化”在哪里，學(xué)生認(rèn)為教師告訴他們的方法也是沒用的。顯然，第一次試教是失敗的。學(xué)生在課前與課后沒有任何“質(zhì)”的變化，在找次品的方法上都存在問題，這樣還談什么數(shù)學(xué)思想的滲透與基本經(jīng)驗的積累呢？為什么會產(chǎn)生這樣的結(jié)果？

一、對教材的解讀不到位

教師要準(zhǔn)確解讀教材，必須思考以下三個問題。

1.什么是“找次品”？

我曾調(diào)查過一些數(shù)學(xué)教師是否對本堂課的教學(xué)內(nèi)容熟知，結(jié)果絕大多數(shù)教師并不清楚。在這樣的前提下，只根據(jù)教材“照本宣科”，必將會導(dǎo)致教學(xué)的失敗?！罢掖纹贰币徽n，主要讓學(xué)生通過操作，使他們感悟到：把被測物品3等分，每次用天平測其中的2份；當(dāng)不能3等分時，讓其中的2份數(shù)量相同，另1份與這2份的數(shù)量相差1，用天平測數(shù)量相同的2份。這樣測，才能使找到次品所用的次數(shù)最少。這里主要滲透的是“優(yōu)化”的數(shù)學(xué)思想。

2.怎樣用天平“找次品”？

在教學(xué)“找次品”時，教師往往追求結(jié)論而忽視了對天平特征的分析。為什么在找次品時，要把被測物品進(jìn)行三等分？這是由測量工具——天平?jīng)Q定的。天平有兩個托盤，都可以放物品，共可放兩份，另外，旁邊還可以有一份。這樣測量時，如果平衡，則兩個托盤中的兩份都被排除；如果不平衡，則沒有次品托盤中的一份和旁邊的一份被排除。在上述案例中，由于教師從沒想過這個問題，也就缺乏了引導(dǎo)學(xué)生對被測物品進(jìn)行三等分的意識。如在第一個環(huán)節(jié)中，當(dāng)被測物品是5個時，兩個學(xué)生找的次數(shù)都是2次，但方法不一樣。由于教師對這兩種方法缺少了必要的比較、歸納，造成了學(xué)生認(rèn)為兩種都行，在接下去的學(xué)習(xí)中，仍然按自己的想法去解決問題。學(xué)生的測量方法仍然是漫無目的的。直到課的結(jié)束，學(xué)生的思維沒有得到任何的提升，方法沒有得到優(yōu)化，更別說建模了。

3.怎樣解讀教材中的“找次品”？

不妨先看看教材中的兩個例題：

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仔細(xì)分析教材，不難發(fā)現(xiàn)：教材中對這一內(nèi)容的編排，采用的都是對小數(shù)據(jù)的研究，首先被測物品是5個，在學(xué)生運(yùn)用多種方法找的基礎(chǔ)上，概括出用天平找比較便捷；接著，重點研究被測物品是9個，通過合作、交流、討論、歸納，得出最佳方法。在找到最佳方法的同時，建立起模型?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)：在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立數(shù)感和符號意識，發(fā)展運(yùn)算能力和推理能力，初步形成模型思想。因此，我們對教材中的“找次品”，可作如下解讀：

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教師通過正確解讀與處理教材，引導(dǎo)學(xué)生開展有效的學(xué)習(xí)活動：怎么找次品？讓學(xué)生在活動中感悟找次品的方法（落實基礎(chǔ)知識、基本技能目標(biāo)）。同時，通過對教材中找次品方法的優(yōu)化，引起學(xué)生的思考：為什么這樣找（落實基本思想、基本經(jīng)驗?zāi)繕?biāo)）？在學(xué)生思考的過程中，促進(jìn)學(xué)生自動建模。

二、對學(xué)生的學(xué)習(xí)起點把握不準(zhǔn)

學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，一切教學(xué)活動的開展都是圍繞學(xué)生進(jìn)行的。因此，能否起到高效的教學(xué)效果，取決于能否準(zhǔn)確把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點。對學(xué)生而言，找次品一課，是一節(jié)思維含量高、難度大的課，而教師對學(xué)生的學(xué)習(xí)起點把握不準(zhǔn)主要體現(xiàn)在：

1.與學(xué)生抽象思維能力水平脫節(jié)

“找次品”表面上看是從生活中抽取出的學(xué)習(xí)內(nèi)容，實際上與學(xué)生的生活現(xiàn)實相差甚遠(yuǎn)。學(xué)生從來沒有接觸過類似的內(nèi)容，沒有相應(yīng)的感性認(rèn)識，一下子要提高到抽象的思維高度，思維的跳躍性太大，學(xué)生難以企及，表現(xiàn)在課堂上，學(xué)生一直處于被動、茫然狀態(tài)。

2.學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)跟不上

要找到次品，又要解釋給別人聽，除了要有較好的抽象思維能力外，還需要具備高超、簡練的作圖能力和準(zhǔn)確、有條理的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，這三者缺一不可。作為五年級的小學(xué)生，他們在這三方面還十分欠缺，而教師又要讓他們能較好地去完成“找次品”的任務(wù)，似乎有點“強(qiáng)人所難”。

3.“以己代生”式的教學(xué)

由于找次品的內(nèi)容教師以前沒有接觸過，只通過閱讀《教師用書》得知找次品的方法。在進(jìn)行教學(xué)時，教師很想把這個結(jié)論“告訴”學(xué)生，但又要讓學(xué)生在操作中感悟。由此，造成了像上述案例中沒有目的、沒有歸納提升、沒有層次的操作，在臨近下課，教師不得不把結(jié)論告訴學(xué)生。這是一種典型的“以己代生”的思維方式，也是不了解學(xué)生的結(jié)果。教師在課前認(rèn)為內(nèi)容比較簡單，學(xué)生能比較容易理解、掌握，在這種“想當(dāng)然”的思想下進(jìn)行的教學(xué)肯定是低效的，甚至是無效的。

由于上述原因，使學(xué)生在缺乏數(shù)學(xué)思維的操作、探究的基礎(chǔ)上，無法積累明確的操作經(jīng)驗，無法獲得切身的感悟，以致建模成為“空中樓閣”。

根據(jù)上面的反思，我重新設(shè)計了教學(xué)，在第二次試教中，效果明顯好于第一次。

【片斷一：孕伏分三份】

學(xué)習(xí)例1：這里有5瓶鈣片，其中1瓶少了3片，設(shè)法把它找出來。（說明：那個較輕一點的我們稱之為“次品”。討論方法得出：可以用天平把它找出來。）

師：至少稱幾次，一定能找出來？請你先思考，再用圖和文字把你的想法表示出來。（生思考，繪圖）

生1：至少用2次一定能找出來。先給它們編號，從1號到5號。先在天平兩邊各放1號和2號，如果天平不平衡，就能找到；如果平衡，就在兩邊分別放3號和4號，如果天平不平衡，就能找到，如果平衡，那么5號就是了。

師：還有不同的想法嗎？

生2：我也是2次，不過想法和他不一樣。先分成3份，其中1、2號為一份，3、4號為一份，5號一個一份。在天平兩邊分別放1、2和3、4號，如果平衡，那么5號就是次品；如果不平衡，再稱輕的那兩個，在天平兩邊各放一個，肯定能找出。

師（引導(dǎo)）：同樣是用2次，可是他們分的方法卻不同。我們想一想，用天平要盡快、一定找到次品，每次淘汰的數(shù)量越多越好呢？還是越少越好？

生3（不以為然）：當(dāng)然是越多越好了。

師：那么我們來比較這兩種分法的第一次稱（第一次都不能找到）。第一種是每個1份，共5份。第二種先是2個2個分，剩下的1個單獨(dú)分，共3份。第一次稱，哪種方法淘汰得快？

■

生3（短暫的思考后）：第一種淘汰2個，就是在天平上的2個；第二種是淘汰3個，就是天平上一邊都是正品的2個，再加上旁邊的一個。所以第二種淘汰得快。

師（追問）：是這樣的嗎？（板書：分5份第1次淘汰2個；分3份第1次淘汰3個）

師：都是用2次找到次品，可是由于分的方法不同，在找的過程中淘汰的個數(shù)卻是不一樣的。根據(jù)經(jīng)驗想一想：如果鈣片數(shù)量越來越多，找出其中1瓶較輕的，你是一個一個分呢？還是分成3份？

生（大多數(shù)）：分成3份，這樣淘汰得多。（少數(shù)學(xué)生表示懷疑。）

評析：在這一片斷中，學(xué)生不但明確了“次品”的含義，而且根據(jù)知識和經(jīng)驗，明白了“至少、一定”的意思，把運(yùn)氣排除在外。而更為重要的是，當(dāng)被測物品是5個時，盡管分成5份和分成3份找的次數(shù)都是2，教師并沒有就此收手，而讓學(xué)生結(jié)合圖示比較得出：分成3份，第1次找淘汰的個數(shù)比分成5份淘汰的要多，即逐群檢驗比逐個檢驗速度快。這更符合學(xué)生的生活經(jīng)驗。同時，這里通過比較得出的結(jié)論用板書寫下來，目的是讓學(xué)生在無意識中形成一種定式：分成3份較好一些。盡管還有一些學(xué)生表示懷疑，但這種分法為接下去的學(xué)習(xí)提供了方法暗示。

【片斷二：明晰分三份】

師：剛才在5瓶鈣片中，用天平找1瓶較輕的，我們至少用2次，一定能夠找到。如果在6瓶鈣片中，有1瓶較輕的，用天平稱至少幾次，一定能找到？

生（脫口而出）：3次。

師：不要忙著回答，請用剛才的學(xué)習(xí)方法，來研究一下。（生思考、畫圖，師巡視）

生1：我是一個一個分的，先測①號和②號，平衡；再測③號和④號，平衡；最后測⑤號和⑥號，肯定找到。用了3次。

生2：我只用了2次。剛才在5瓶鈣片中找時，我們說分成3份找，淘汰得多、快?，F(xiàn)在有6瓶，分成3份的話，正好2瓶1份，先測①②和③④，如果不平衡，假設(shè)在①②中，就測①②，肯定找到；如果平衡，就測⑤和⑥，肯定找到。（圖略）

（師心中暗暗高興，正想小結(jié)）

生3（急急地）：我也是兩次。我分成①②③和④⑤⑥兩份，第一次測，肯定能確定在哪一邊。接著就測那一邊的3個，再用1次也一定能找到。這樣共用2次。

師：大家對生3的回答有什么看法？

生4：如果分2份的話，第1次淘汰3個；如果分3份的話，第1次可以淘汰4個，還是分3份好。

生3：可我也是2次啊。

生5：這里是6瓶，要是7瓶的話，你怎么分2份?。?/p>

（生3抓頭，回答不上）

師：剛才生4說，分成3份的話，第1次可以淘汰4個，分成2份的話，第1次只能淘汰3個，分成6份的話，第1次淘汰幾個？

生：2個。

師：你有沒有想過，為什么分成3份淘汰得多？這里是巧合呢，還是有規(guī)律的？

生6（迫不及待地）：我知道了，我知道了，天平有兩個托盤，各放1份，旁邊再放1份，這樣找，每次有2份被淘汰，就最快了。

師（抓住不放）：是這樣的嗎？

（給學(xué)生足夠的時間思考，慢慢地，點頭、若有所思的學(xué)生越來越多。）

評析：在5個被測物品的基礎(chǔ)上，再加1個，找到次品，至少測幾次一定能找到？學(xué)生的第一印象是3次。因為5個是2次，被測物品多了，找的次數(shù)當(dāng)然也多了。是這樣的嗎？學(xué)生通過研究發(fā)現(xiàn)這是錯覺。在6個被測物品中找1個次品，是對教材進(jìn)行解讀后補(bǔ)充進(jìn)去的。用意有三：一是讓學(xué)生進(jìn)一步明確，把被測物品分成3份，淘汰得越快。至此，學(xué)生已經(jīng)初步形成“分三份”的意識。二是，讓學(xué)生初步感知，找的次數(shù)并不一定隨著被測物品數(shù)量的增多而增加。三是當(dāng)數(shù)量是6時，分3份剛好平均分，這是非常重要的，為接下去研究在9個物品中找1個次品埋下伏筆。

【片斷三：明確三等分】

教學(xué)例2：在9個零件里有1個是次品（次品輕一些），用天平稱，至少稱幾次就一定能找出次品來？

生1：我分成3份：1個、1個、7個，……共要3次。

生2：我也分成3份：2個、2個、5個，……共要3次。

生3：我也分成3份：3個、3個、3個，……只要2次。

生4：我也分成3份：4個、4個、1個，……共要3次。

生5（欲言又止，在教師的鼓勵下）：我分成4份：2個、2個、2個、3個，……共用3次。

（先討論，排除生5的回答。）

師：同樣都是分成3份，可是找的次數(shù)卻不一樣，你發(fā)現(xiàn)什么？

生6（舉手的越來越多）：我發(fā)現(xiàn)9是3的倍數(shù)，當(dāng)是3的倍數(shù)時，平均分最好了，這樣淘汰得快，所以用的次數(shù)就少了。剛才6個就是這樣的。

師（追問）：要不是3的倍數(shù)呢？

生6：也要分3份，讓其中的2份一樣多，另一份要最接近，就是只能差1個，這樣用天平測，淘汰得才快?。ㄌ昧耍。?/p>

評析：至此，用天平找次品的方法學(xué)生已經(jīng)明了！這是學(xué)生操作、畫圖、感悟的結(jié)果。這里的成功因素主要有兩點：一是暗示起到了較好的作用。從課始的討論“為什么分3份”，學(xué)生有了一個模糊的意識，隨著課的推進(jìn)，這個意識逐漸清晰、明了，并主導(dǎo)著學(xué)生分的方法。二是腦中有天平。天平的特征是能同時稱2份，當(dāng)學(xué)生理解這一特征時，他們就時時想天平：要想找得快，就要淘汰得快。當(dāng)上面兩個因素合二為一時，學(xué)生輕易得出了找的方法。這樣的設(shè)計，目標(biāo)明確，難點分化，層層推進(jìn)，感悟充分，水到渠成！“三等分”（或分三份）的模型已在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中清晰建立起來。

（責(zé)編 金 鈴）

師：大家對生3的回答有什么看法？

生4：如果分2份的話，第1次淘汰3個；如果分3份的話，第1次可以淘汰4個，還是分3份好。

生3：可我也是2次啊。

生5：這里是6瓶，要是7瓶的話，你怎么分2份??？

（生3抓頭，回答不上）

師：剛才生4說，分成3份的話，第1次可以淘汰4個，分成2份的話，第1次只能淘汰3個，分成6份的話，第1次淘汰幾個？

生：2個。

師：你有沒有想過，為什么分成3份淘汰得多？這里是巧合呢，還是有規(guī)律的？

生6（迫不及待地）：我知道了，我知道了，天平有兩個托盤，各放1份，旁邊再放1份，這樣找，每次有2份被淘汰，就最快了。

師（抓住不放）：是這樣的嗎？

（給學(xué)生足夠的時間思考，慢慢地，點頭、若有所思的學(xué)生越來越多。）

評析：在5個被測物品的基礎(chǔ)上，再加1個，找到次品，至少測幾次一定能找到？學(xué)生的第一印象是3次。因為5個是2次，被測物品多了，找的次數(shù)當(dāng)然也多了。是這樣的嗎？學(xué)生通過研究發(fā)現(xiàn)這是錯覺。在6個被測物品中找1個次品，是對教材進(jìn)行解讀后補(bǔ)充進(jìn)去的。用意有三：一是讓學(xué)生進(jìn)一步明確，把被測物品分成3份，淘汰得越快。至此，學(xué)生已經(jīng)初步形成“分三份”的意識。二是，讓學(xué)生初步感知，找的次數(shù)并不一定隨著被測物品數(shù)量的增多而增加。三是當(dāng)數(shù)量是6時，分3份剛好平均分，這是非常重要的，為接下去研究在9個物品中找1個次品埋下伏筆。

【片斷三：明確三等分】

教學(xué)例2：在9個零件里有1個是次品（次品輕一些），用天平稱，至少稱幾次就一定能找出次品來？

生1：我分成3份：1個、1個、7個，……共要3次。

生2：我也分成3份：2個、2個、5個，……共要3次。

生3：我也分成3份：3個、3個、3個，……只要2次。

生4：我也分成3份：4個、4個、1個，……共要3次。

生5（欲言又止，在教師的鼓勵下）：我分成4份：2個、2個、2個、3個，……共用3次。

（先討論，排除生5的回答。）

師：同樣都是分成3份，可是找的次數(shù)卻不一樣，你發(fā)現(xiàn)什么？

生6（舉手的越來越多）：我發(fā)現(xiàn)9是3的倍數(shù)，當(dāng)是3的倍數(shù)時，平均分最好了，這樣淘汰得快，所以用的次數(shù)就少了。剛才6個就是這樣的。

師（追問）：要不是3的倍數(shù)呢？

生6：也要分3份，讓其中的2份一樣多，另一份要最接近，就是只能差1個，這樣用天平測，淘汰得才快?。ㄌ昧耍。?/p>

評析：至此，用天平找次品的方法學(xué)生已經(jīng)明了！這是學(xué)生操作、畫圖、感悟的結(jié)果。這里的成功因素主要有兩點：一是暗示起到了較好的作用。從課始的討論“為什么分3份”，學(xué)生有了一個模糊的意識，隨著課的推進(jìn)，這個意識逐漸清晰、明了，并主導(dǎo)著學(xué)生分的方法。二是腦中有天平。天平的特征是能同時稱2份，當(dāng)學(xué)生理解這一特征時，他們就時時想天平：要想找得快，就要淘汰得快。當(dāng)上面兩個因素合二為一時，學(xué)生輕易得出了找的方法。這樣的設(shè)計，目標(biāo)明確，難點分化，層層推進(jìn)，感悟充分，水到渠成！“三等分”（或分三份）的模型已在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中清晰建立起來。

（責(zé)編 金 鈴）

師：大家對生3的回答有什么看法？

生4：如果分2份的話，第1次淘汰3個；如果分3份的話，第1次可以淘汰4個，還是分3份好。

生3：可我也是2次啊。

生5：這里是6瓶，要是7瓶的話，你怎么分2份?。?/p>

（生3抓頭，回答不上）

師：剛才生4說，分成3份的話，第1次可以淘汰4個，分成2份的話，第1次只能淘汰3個，分成6份的話，第1次淘汰幾個？

生：2個。

師：你有沒有想過，為什么分成3份淘汰得多？這里是巧合呢，還是有規(guī)律的？

生6（迫不及待地）：我知道了，我知道了，天平有兩個托盤，各放1份，旁邊再放1份，這樣找，每次有2份被淘汰，就最快了。

師（抓住不放）：是這樣的嗎？

（給學(xué)生足夠的時間思考，慢慢地，點頭、若有所思的學(xué)生越來越多。）

評析：在5個被測物品的基礎(chǔ)上，再加1個，找到次品，至少測幾次一定能找到？學(xué)生的第一印象是3次。因為5個是2次，被測物品多了，找的次數(shù)當(dāng)然也多了。是這樣的嗎？學(xué)生通過研究發(fā)現(xiàn)這是錯覺。在6個被測物品中找1個次品，是對教材進(jìn)行解讀后補(bǔ)充進(jìn)去的。用意有三：一是讓學(xué)生進(jìn)一步明確，把被測物品分成3份，淘汰得越快。至此，學(xué)生已經(jīng)初步形成“分三份”的意識。二是，讓學(xué)生初步感知，找的次數(shù)并不一定隨著被測物品數(shù)量的增多而增加。三是當(dāng)數(shù)量是6時，分3份剛好平均分，這是非常重要的，為接下去研究在9個物品中找1個次品埋下伏筆。

【片斷三：明確三等分】

教學(xué)例2：在9個零件里有1個是次品（次品輕一些），用天平稱，至少稱幾次就一定能找出次品來？

生1：我分成3份：1個、1個、7個，……共要3次。

生2：我也分成3份：2個、2個、5個，……共要3次。

生3：我也分成3份：3個、3個、3個，……只要2次。

生4：我也分成3份：4個、4個、1個，……共要3次。

生5（欲言又止，在教師的鼓勵下）：我分成4份：2個、2個、2個、3個，……共用3次。

（先討論，排除生5的回答。）

師：同樣都是分成3份，可是找的次數(shù)卻不一樣，你發(fā)現(xiàn)什么？

生6（舉手的越來越多）：我發(fā)現(xiàn)9是3的倍數(shù)，當(dāng)是3的倍數(shù)時，平均分最好了，這樣淘汰得快，所以用的次數(shù)就少了。剛才6個就是這樣的。

師（追問）：要不是3的倍數(shù)呢？

生6：也要分3份，讓其中的2份一樣多，另一份要最接近，就是只能差1個，這樣用天平測，淘汰得才快?。ㄌ昧耍。?/p>

評析：至此，用天平找次品的方法學(xué)生已經(jīng)明了！這是學(xué)生操作、畫圖、感悟的結(jié)果。這里的成功因素主要有兩點：一是暗示起到了較好的作用。從課始的討論“為什么分3份”，學(xué)生有了一個模糊的意識，隨著課的推進(jìn)，這個意識逐漸清晰、明了，并主導(dǎo)著學(xué)生分的方法。二是腦中有天平。天平的特征是能同時稱2份，當(dāng)學(xué)生理解這一特征時，他們就時時想天平：要想找得快，就要淘汰得快。當(dāng)上面兩個因素合二為一時，學(xué)生輕易得出了找的方法。這樣的設(shè)計，目標(biāo)明確，難點分化，層層推進(jìn)，感悟充分，水到渠成！“三等分”（或分三份）的模型已在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中清晰建立起來。

（責(zé)編 金 鈴）